Fakultät auflösen & lim < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Habe zwei unterschiedliche Fragen:
1.
Gegeben: 10.000.000 < n!
Wie kann ich die Fakultät auf die andere Seite bringen, damit ich n alleine auf einer Seite habe? Hab das jetzt so gemacht das n = 11 ist weil 11! > 10.000.000 und 10! < 10.000.000 Ist das so richtig?
2.
Aufabe: Geben Sie Beispiele von paaren reeler Zahlenfolgen (an)n [mm] \in \IN
[/mm]
und (bn)n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an = [mm] \infty
[/mm]
und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bn = 0 an, so dass jeweils eine der folgenden Aussagen gilt:
(i) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (anbn) = 0
(ii) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (anbn) = 42
(iii) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (anbn) = c wobei c [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt sei
(iv) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (anbn) = [mm] \infty
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Mfg
Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo
> Habe zwei unterschiedliche Fragen:
> 1.
> Gegeben: 10.000.000 < n!
> Wie kann ich die Fakultät auf die andere Seite bringen,
> damit ich n alleine auf einer Seite habe? Hab das jetzt so
> gemacht das n = 11 ist weil 11! > 10.000.000 und 10! <
> 10.000.000 Ist das so richtig?
Wenn die Aufgabe ist, das größtmögliche n zu finden, dann ist das korrekt gelöst, denke ich.
>
> 2.
> Aufabe: Geben Sie Beispiele von paaren reeler Zahlenfolgen
> (an)n [mm]\in \IN
[/mm]
> und (bn)n [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] an = [mm]\infty
[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] bn = 0 an, so dass jeweils
> eine der folgenden Aussagen gilt:
> (i) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (anbn) = 0
> (ii) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (anbn) = 42
> (iii) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (anbn) = c wobei c [mm]\in \IR[/mm]
> beliebig gewählt sei
> (iv) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (anbn) = [mm]\infty
[/mm]
Ich würde hierfür die Folgen [mm] a_n = d \cdot n^k[/mm] und [mm] b_n = e \cdot \frac{1}{n^l} [/mm]in allen möglichen Variationen für $k, l [mm] \in \IN$ [/mm] und $d,e [mm] \in \IR$ [/mm] verwenden:
Offensichtlich gilt: [mm] \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}d \cdot n^k = \infty [/mm] und [mm] \lim_{n \to \infty} b_n [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] e [mm] \cdot \frac{1}{n^l} [/mm] = 0[/mm]
Damit sind die Voraussetzung erfüllt. Jetzt zu den einzelnen Fällen:
(i) Für [mm]\lim_{n \to \infty} a_n b_n = 0 [/mm] muss [mm] $b_n$ [/mm] "schneller" gegen 0 gehen, als [mm] $a_n$. [/mm] Dies ist genau dann der Fall, wenn $k<l$ ist.
Also z.B. [mm] $a_n [/mm] = n$ und [mm] $b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}$. [/mm] Dann gilt:
[mm]\lim_{n \to \infty}a_n b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0[/mm]
(ii) In diesem fall muss gelten $k = l$ und ich wähle $d=42$, also z.B. [mm] $a_n [/mm] =42 [mm] \cdot [/mm] n$ und [mm] b_n =\frac{1}{n}[/mm]. Dann folgt:
[mm]\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \lim_{n \to \infty}\frac{42n}{n} = \lim_{n \to \infty} 42 = 42 [/mm]
(iii) Machst du wie (ii) nur mit $d=c$
(iv) Kannst du dir überlegen, dass [mm] $a_n$ [/mm] "schneller wachsen" soll, als [mm] $b_n$. [/mm] Hast du eine Idee?
Gruß Micha 
PS: Es ist empfehlenswert, 2 verschieden Fragen, in 2 verschiedenen Frage-Strängen unterzubringen, damit man die übersicht behält.
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Hi
Danke erstmal an Micha. Hätte vorher schreiben sollen, dass ein Beispiel gerreicht hätte:) Deswegen ein besonderes Dankeschön:) Ich werde mich an dein "PS:" nächstes mal halten.
Noch mal zum Problem 1. Also gibt es keine Umkehrfunktion oder ähnliches für die Fakultät? Wäre nett wenn noch jemand das bestätigen könnte ob es richtig ist. Zitat: ".., denke ich" ist ja nicht 100% sicher:)
Michel: Ich denke mal dann bei (IV) kommt an= n³ bn = 1/n²
n³/n² = n = [mm] \infty
[/mm]
?
Na ja, bin mir sogar relativ sicher und ist ja logisch:)
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Also die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen (an) und die angegebenen [mm] \varepsilon [/mm] - Werte jweils ein n [mm] \varepsilon \in \IN, [/mm] so dass |an| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] n [mm] \varepsilon [/mm] gilt:
an = 1/n!
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-3}
[/mm]
Hab dann * [mm] 10^{3} [/mm] und * (n!) gerechnet
-> [mm] 10^{3}< [/mm] n!
dann muss ich doch n= 11 nehmen, statt n = 10, weil
10! = 3628800 < [mm] 10^{3}
[/mm]
11! = 39916800 > [mm] 10^{3}
[/mm]
(Wie ich sehe hast du auch das < zeichen andersrum :))
mfg
markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
> Also die Aufgabe lautet:
> Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen (an) und die
> angegebenen [mm]\varepsilon[/mm] - Werte jweils ein n [mm]\varepsilon \in \IN,[/mm]
> so dass |an| < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] n [mm]\varepsilon[/mm]
> gilt:
> an = 1/n!
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]10^{-3}
[/mm]
> Hab dann * [mm]10^{3}[/mm] und * (n!) gerechnet
> -> [mm]10^{3}<[/mm] n!
>
> dann muss ich doch n= 11 nehmen, statt n = 10, weil
> 10! = 3628800 < [mm]10^{3}
[/mm]
> 11! = 39916800 > [mm]10^{3}
[/mm]
> (Wie ich sehe hast du auch das < zeichen andersrum :))
> mfg
> markus
>
Gut dass du die komplette Aufgabe stellst, ich glaube nämlich du hast hier einiges durcheinandergeworfen.
Zunächst einmal ist [mm] $10^3 [/mm] = 1000$ und nich $10.000.000 = [mm] 10^7$.
[/mm]
Die Ausgangsgleichung ist folgende:
[mm] a_n = \frac{1}{n!} < \varepsilon = 10^{-3} = \frac{1}{1000}[/mm]
also: [mm] \frac{1}{n!} < \frac{1}{1000}[/mm]
Gesucht ist ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] ab dem das erfüllt ist. (Anmerkung: [mm] $a_n$ [/mm] ist offensichtlich eine Nullfolge.)
Also stellen wir die Gleichung nach n um. Da $n!$ wie auch 1000 größer 0 sind, darf ich einfach beide Seiten damit multiplizieren, und die Ungleichungsrelation bleibt erhalten:
[mm] \frac{1}{n!} < \frac{1}{1000}[/mm]
[mm]\gdw 1000 < n![/mm]
Also in Worten: Ab welchem n ist n Fakultät größer als 1000 ? Man könnte hier locker sagen ab $n= 12378912397$, man sucht aber das kleinste n, dass die Gleichung erfüllt. Durch probieren erhält man:
$6! = 720 <1000$ und $ 7! = 5040 > 1000$
Also ab $n=7$ ist [mm] $a_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-3}$.
[/mm]
Sollten noch Fragen sein, nur zu!
Gruß Micha
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Hi
Sry, bin hier mit zwei Aufgaben etwas durcheinander geraten und bin auch schon etwas unkonzentriert gewesen und hab den Abschreibfehler net bemerkt.:) Das sollte [mm] 10^{-7} [/mm] sein. Aber wie ich an deiner Rechnung mit hoch3 sehe, hab ich richtig gerechnet:) Weil dann ist es n=11 damit [mm] a_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-7}.
[/mm]
Danke
Mfg
Markus
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Hi Michel
Jo, das haben wir gut gelöst:)
Denke mal du wirst noch öfter beiträge von mir sehen, bin erst im ersten Semester:D (wie ich sehe bist du auch nicht viel weiter) Na ja, ich verstehe jetzt immerhin mit am meisten aus meiner Gruppe:)
Dnake
mfg
markus
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super, ich denke du hast es verstanden!
