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Fallunterscheidung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Do 20.11.2003
Autor: Ute

Gegeben ist die quadratische Funktion f durch f(x) = x²+5x +c. Untersuche, wie viele Nullstellen die Funktion f hat. Führe eine Fallunterscheidung für den Parameter c durch.

Wie kann ich die Anzahl der Nullstellen untersuchen? Ich dachte, das seien immer 2?!

Und was ist eine Fallunterscheidung?

        
Bezug
Fallunterscheidung?: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:12 Do 20.11.2003
Autor: Stefan

Liebe Ute,

es hat doch nicht jede quadratische Funktion zwei Nullstellen!

Stell dir doch mal eine nach oben geöffnete Parabel vor, deren Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt. Hat die vielleicht Nullstellen? Nein, denn sie schneidet oder berührt die x-Achse ja nirgendswo.

Jetzt schauen wir uns mal deine Funktionsgleichung an:

[mm]f(x) = x²+5x +c[/mm]

Es handelt sich ja um eine nach oben geöffnete Parabel. Das c steht ja irgendwie für die Verschiebung nach oben oder unten. Es wird also sicherlich c's geben, die so groß sind, dass der Scheitelpunkt so weit oben ist, nämlich oberhalb der x-Achse, dass  die Funktion f  keine Nullstellen hat. Andererseits wird es aber auch c's geben, die so klein sind, dass der Scheitelpunkt so weit unten ist, nämlich unterhalb der x-Achse, dass die Parabel die x-Achse schneidet und somit f Nullstellen besitzt.

Es liegt jetzt an dir herauszufinden, für welche c's die Funktion zwei Nullstellen besitzt, eine Nullstelle oder keine Nullstelle.

Dazu gibt es prinzipiell zwei Möglichkeiten:

Möglichkeit 1: Rechne den Scheitelpunkt [mm]S_c=(x_c,y_c)[/mm] in Abhängigkeit von c aus. Wenn [mm]y_c>0[/mm] ist, dann hat die Funktion f keine Nullstelle. Wenn [mm]y_c=0[/mm] ist, dann hat die Funktion f genau eine Nullstelle und wenn schließlich [mm]y_c<0[/mm] gilt, dann hat die Funktion f zwei Nullstellen.

Möglichkeit 2: Versuche die Nullstellen mit der p-q-Formel zu berechnen (oder mit quadratischer Ergänzung). Jetzt kann das klappen (wenn unter der Wurzel 0 steht, dann hast du eine Nullstelle oder was Positives steht, dann hast du zwei Nullstellen) oder nicht klappen (wenn unter der Wurzel was Negatives steht, dann hast du keine Nullstelle). Man kann auch direkt die von c abhängige Diskriminante [mm]D_c=p^2 - 4q[/mm] berechnen (mit [mm]p=5, q=c[/mm], das ist gerade der mit 4 multiplizierte Teil unter der Wurzel in der p-q-Formel) und dann schauen, wann D positiv, gleich 0 oder negativ wird. Für die [mm]c[/mm], für die [mm]D_c[/mm] positiv ist, gibt es dementsprechend zwei Nullstellen, usw.

Melde dich mal mit Fragen oder einem Lösungsvorschlag. :-)

Liebe Grüße
Stefan


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