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Fallunterscheidung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fallunterscheidung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Di 26.10.2004
Autor: Maya

Wer kann mir helfen, ich habe keine Ahnung wie man sowas rechnet:
[mm] 1/(1+x^2)< [/mm] 0,5
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Fallunterscheidung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Di 26.10.2004
Autor: Marcel

Hallo Maya,

> Wer kann mir helfen, ich habe keine Ahnung wie man sowas
> rechnet:
>  [mm]1/(1+x^2)<[/mm] 0,5
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Zunächst einmal ist ja offenbar [mm] $(1+x^2) [/mm] >0$ für alle $x [mm] \in \IR$, [/mm] deswegen gilt:
[mm] $(\star)$ $\frac{1}{1+x^2}<0,5$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
$1<0,5+0,5x²$
[mm] $\gdw$ [/mm]
$2<1+x²$
[mm] $\gdw$ [/mm]
$x²-1>0$

Wegen der dritten bin. Formel gilt:
[mm] $\gdw$ [/mm]
$(x+1)(x-1)>0$.

Fazit:
[mm] $(\star)$ $\frac{1}{1+x^2}<0,5$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
$(x+1)(x-1)>0$

Nun hast du ein Produkt mit zwei Faktoren, dass Produkt ist genau dann größer Null, wenn entweder jeder der Faktoren $>0$ ist
oder
wenn jeder der Faktoren $<0$ ist.

Die Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] gilt also genau dann, wenn einer der folgenden zwei Fälle erfüllt ist:

1.Fall:
$(x+1)>0$ und $(x-1)>0$
[mm] $\gdw$ [/mm]
$x>-1$ und $x>1$
[mm] $\gdw$ [/mm]
$x>1$.

2.Fall:
$(x+1)<0$ und $(x-1)<0$
$x<-1$ und $x<1$
[mm] $\gdw$ [/mm]
$x<-1$.

Mit anderen Worten:
Die Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] gilt für alle [mm]x \in ]-\infty;-1[ \; \cup \; ]1;\infty[=\{ r \in \IR: r<-1 \,\, \mbox{oder} \,\, r>1\}[/mm].

Oder einfach nochmal in Worten:
Die Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] gilt genau dann, wenn entweder $x>1$ oder $x<-1$ ist.

Liebe Grüße,
Marcel

Bezug
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