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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Fallunterscheidung bezgl. der
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Fallunterscheidung bezgl. der: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

Fallunterscheidung bezügl. der Beträge

kann das jemand für mich lösen?

|x-3|+|x+3| < 10
und zwar einmal mit beiden inhalten positiv einmal negativ und weitere Fälle. komme da irgendwie nicht drauf klar. bitte mit ausführlichem lösungsweg.

Danke im voraus


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Mo 18.10.2010
Autor: Sax

Hi,

Untersuche die Fälle
a. x [mm] \ge [/mm] 3
b. 3 > x [mm] \ge [/mm] 0
c. 0 > x > -3
d. -3 [mm] \ge [/mm] x

Wenn du die Achsensymmetrie von f ausnutzt, kannst du c. und d. auch auf b. und a. zurückführen.

Gruß Sax.

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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

Ok. das hilft weiter aber wie komme ich zu diesen fällen. das ist mein hauptproblem

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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Mo 18.10.2010
Autor: reverend

Hallo Rofalsteil, [willkommenmr]

In Deiner Ungleichung kommen doch die beiden Terme |x-3| und |x+3| vor. Bei |x-3| ist die interessante Stelle dort, wo x=3 ist. Für x<3 verläuft diese Betragsfunktion ja anders als es (x-3) täte. Und bei |x+3| ist eben x=-3 die Stelle mit dem "Knick".

Wenn Du die beiden auf dem Zahlenstrahl markierst, dann hat er drei Bereiche, den "links" von -3, den "rechts" von +3, und den zwischen den beiden Punkten. Diese drei Bereiche musst Du einzeln untersuchen.

Grüße
reverend


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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Mo 18.10.2010
Autor: Pappus

Guten Tag!

> Fallunterscheidung bezügl. der Beträge
>  
> kann das jemand für mich lösen?

ja sicher, macht aber keiner hier: Du musst lösen!

>  
> |x-3|+|x+3| < 10

...

>  

1. Benutze die Definition von Betrag:

$|a| = [mm] \left\{\begin{array}{rcl}a&falls&a\geq 0 \\-a & falls & a < 0\end{array}\right.$ [/mm]

2. Für jeden Betrag wird die Menge [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] in zwei Intervalle geteilt. Die Kombination der Intervalle ergibt 3 Intervalle für die gesamte Ungleichung, d.h., Du bekommst drei unterschiedliche Ungleichungen, die Du getrennt lösen kannst.

Salve

Pappus

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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

kann man das zufällig irgendwie bildlich sehen? Wie würde denn die erste zeile zum errechnen des terms aussehen?



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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 Mo 18.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Daniel,


> kann man das zufällig irgendwie bildlich sehen? Wie würde
> denn die erste zeile zum errechnen des terms aussehen?

Hmmm, naja, ich mache dir einen Fall vor, den Rest erledigst du aber!

1. Fall: [mm]x<-3[/mm]

Damit ist [mm]|x-3|=-(x-3)=3-x[/mm] und [mm]|x+3|=-(x+3)=-x-3[/mm] nach Definition des Betrages; beide Ausdrücke in den Betragstrichen sind ja in diesem Falle, also für [mm]x<-3[/mm] negativ.

Die Betragsungleichung [mm]|x-3|+|x+3|<10[/mm] kannst du in diesem Falle also schreiben als

[mm]3-x+(-x-3)<10[/mm]

[mm]\Rightarrow -2x<10[/mm]

[mm]\Rightarrow x>-5[/mm]

Du hast also aus der Einschränkung des Falles [mm]x<-3[/mm] und als Lösung [mm]x>-5[/mm]


Insgesamt also [mm]-5
Die Lösungsmenge hier in diesem Fall ist also das offene Intervall [mm](-5,-3)[/mm]

Nun betrachte ganz ähnlich die anderen Fälle.

Die Gesamtlösung ergibt sich dann als Vereinigung der Lösungsmengen der Teilfälle

Gruß

schachuzipus

>  
>  


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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

ich verstehe den zusammenhang mit dem <10 nicht und wenn ich jetzt den Fall -3<x<0 oder 0<x<3 untersuchen will weiss ich nict wie ich das anwenden soll.  also für den fall x>= 3habe ich die Lösung [3,5) für den Fall x<= -3 die Lösung (-5,-3] und weiter weiss ich nicht und die anderen Fälle sind aus der Schule. Die Rechnung verstehe ich aber wie man dort hinkommt rein gar nicht.

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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mo 18.10.2010
Autor: fred97

Dann nehmen wir uns mal den Fall -3<x<0 vor.

In diesem Fall ist x-3 <0 und x+3>0, somit ist

            |x-3|=3-x und |x+3|=x+3.

Aus der ursprünglichen Ungleichung wird dann:

               3-x+x+3<10,

also     9<10.


Edit: da muß natürlich 6<10 stehen  !!!

Das bedeutet: die ursprüngliche Ungl. ist richtig für jedes x mit: -3<x<0

FRED

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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

warum ist  |x-3|=3-x und |x+3|=x+3.



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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Mo 18.10.2010
Autor: fred97

Nochmal:

        

$ |a| = [mm] \left\{\begin{array}{rcl}a&falls&a\geq 0 \\-a & falls & a < 0\end{array}\right. [/mm] $


FRED

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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

sorry hatte sich schon erledigt aber müsste die lösung nicht 6<10 anstatt 9<10 sein?

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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Mo 18.10.2010
Autor: fred97


> sorry hatte sich schon erledigt aber müsste die lösung
> nicht 6<10 anstatt 9<10 sein?  

Upps, Du hast recht, da hab ich mich verschrieben

FRED


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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

wovon ist es abhängig ob ich sage x>3 oder x >=3 genauso wie bei den anderen.

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Fallunterscheidung bezgl. der: Definitionssache
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Mo 18.10.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Rofalstein!


Wo genau Du die Grenze ziehst mit der Fallunterscheidung (bzw. welchem Intervall Du den Grenzfall zuordnest) ist im Grunde egal.

Aber gemäß Definition der Betragsfunktion (bereits mehrfach genannt hier), muss es $x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 3$ lauten.


Gruß vom
Roadrunner


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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

verstehe das halt nicht ganz. bei einem anderen Beispiel:

|x| + |x - 2| = 4  bei x<=0 beide therme negativ. und warum?


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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mo 18.10.2010
Autor: fred97


> verstehe das halt nicht ganz. bei einem anderen Beispiel:
>  
> |x| + |x - 2| = 4  bei x<=0 beide therme negativ. und
> warum?


Wenn x [mm] \le [/mm] 0, so ist x-2 [mm] \le [/mm] 0-2=-2<0

FRED

>  


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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

und genau das verstehe ich nicht. ´gibt es da eine ausführliche auflösung der beträge? also bei x<= 0

wäre der erste therm ja x<= 0 under zweite x-2<=0 also wenn x null wäre, dann wäre der erste therm doch positiv oder nicht?

Bezug
                                                                                                                
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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Mo 18.10.2010
Autor: reverend

Hallo nochmal,

ich glaube, du machst Dir da ein Problem, wo keins ist.

> und genau das verstehe ich nicht. ´gibt es da eine
> ausführliche auflösung der beträge? also bei x<= 0
>  
> wäre der erste therm ja x<= 0 under zweite x-2<=0 also
> wenn x null wäre, dann wäre der erste therm doch positiv
> oder nicht?

1) Term, nicht Therm. Das Wort hat mit Wärme nichts zu tun. Also ohne h!

2) Null ist doch sozusagen weder positiv noch negativ. Die Betragsdefinition hast Du doch hier schon bekommen, da wird Null eben zur positiven Seite hinzugeschlagen. Vor allem geht es aber darum, dass die Null nicht zu beiden Seiten, sondern nur zu genau einer gezählt wird, sonst wäre die Definition der Betragsfunktion eben keine Funktion mehr.

3) Was meinst Du denn mit "ausführliche Auflösung der Beträge"? Es ist doch schon ausgiebig vorgemacht worden.
[haee]

Grüße
reverend


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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

Scheinbar bin ich nach 10 Jahren Schulabstinez einfach nur zu doof.

Bei dem ersten Beispiel: |x-3|+|x+3|<10 muss ich ja wissen welche Fälle ich unterscheiden muss.
Habe jetzt die Fälle x ≤ -3 und x ≥ + unterschieden aber nur in der FH mitgeschrieben und wie genau die dahin gekommen sind weiss ich halt nicht.

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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Mo 18.10.2010
Autor: angela.h.b.


> Scheinbar bin ich nach 10 Jahren Schulabstinez einfach nur
> zu doof.
>  
> Bei dem ersten Beispiel: |x-3|+|x+3|<10 muss ich ja wissen
> welche Fälle ich unterscheiden muss.

Hallo,

die Fälle richten sich nach den Termen |x-3| und |x+3|.

Was ist |x-3|?
Wenn [mm] x-3\ge [/mm] 0,was gleichbedeutend ist mit [mm] x\ge [/mm] 3, dann ist |x-3|=x-3.
Wenn [mm] x-3\< [/mm] 0, was gleichbedeutend ist mit x< 3, dann ist |x-3|=-(x-3).


Jetzt schauen wir |x+3| an.
Für [mm] x\ge [/mm] -3 ist |x+3|=x+3,
für x< -3 ist |x+3|=-(x+3).

Untersuchen müßten wir also 4 Fälle:

A. [mm] x\ge [/mm] 3 und gleichzeitig [mm] x\ge [/mm] -3
B. [mm] x\ge [/mm] 3 und gleichzeitig x<-3
C. x< 3 und gleichzeitig [mm] x\ge [/mm] -3
D. x< 3 und gleichzeitig x < -3.

Nimm nun dien Zahlenstrahl zur Hilfe, Pappus hatte Dir das eigentlich schon gesagt.

Markiere für A die Zahlen, die [mm] \ge [/mm] 3 und [mm] \ge [/mm] -3 sind.
Auf welche Zahlen trifft beides zu? Auf die, die [mm] \ge [/mm] 3 sind.

Markiere für B die Zahlen, die [mm] \ge [/mm] 3 und <-3 sind.
Gibt's welche, die beide Eigenschaften haben?

Die anderen beiden Fälle entsprechend.
Ergebnis?

Gruß v. Angela















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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Mo 18.10.2010
Autor: Pappus


> kann man das zufällig irgendwie bildlich sehen? Wie würde
> denn die erste zeile zum errechnen des terms aussehen?
>  
>  

Offensichtlich hast Du gewaltige Schwierigkeiten eine solche Ungleichung systematisch zu bearbeiten. Deswegen ausnahmsweise:

[mm] $|x-3|=\left\{ \begin{array}{rcl}x-3 & falls & x-3\>=0, d.h. x\geq 3 \\ -(x-3) & falls & x-3 < 0, d.h. x<3 \end{array}\right. [/mm] $

[mm] $|x+3|=\left\{ \begin{array}{rcl}x+3 & falls & x+3\>=0, d.h. x\geq -3 \\ -(x+3) & falls & x+3 < 0, d.h. x<-3 \end{array}\right. [/mm] $

Wenn Du für den ersten Betrag die Farbe blau wählst und für den zweiten die Farbe rot, dann sieht das so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Nun kannst Du Dir die linken Seiten der Ungleichung zusammenbauen.

1. Fall: x < -3 (dann ist im Übrigen x automatisch kleiner als 3)

$-(x-3)+(-(x+3)) < [mm] 10~\wedge~x<-3$ [/mm]

Jetzt lösen!

2. Fall:

... und alles weitere überlasse ich Dir.

Salve

Pappus

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Bezug
Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

Also dass mit den Termen habe ich verstanden, wann was positiv oder negativ ist, aber in der Fh war der Fall den du mir aufgezeigt hast x<= -3. tut das was zur sache? und das mit dem zahlenstrahl ist mir noch nicht ganz einleuchtend. warum da steht beide x... zum beispiel

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Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mo 18.10.2010
Autor: angela.h.b.


> Also dass mit den Termen habe ich verstanden, wann was
> positiv oder negativ ist, aber in der Fh war der Fall den
> du mir aufgezeigt hast x<= -3. tut das was zur sache?

Hallo,

das ist nicht sooo wichtig.

Du kannst für |x+3| auch die Fälle [mm] x\le-3 [/mm] und x>-3 unterscheiden.


> und
> das mit dem zahlenstrahl ist mir noch nicht ganz
> einleuchtend. warum da steht beide x... zum beispiel

Vielleicht formulierst Du diese Frage noch etwas aus...
Ich weiß nicht, was Du meinst.

Gruß v. Angela


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Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

auf jedenfall lösung Fall 1: -5,-3
Fall 2: x>=3
x-3+x+3<10
x<5
und weiter kein plan

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Bezug
Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Mo 18.10.2010
Autor: angela.h.b.


> auf jedenfall lösung Fall 1: -5,-3
>  Fall 2: x>=3
>  x-3+x+3<10
>  x<5
>   und weiter kein plan

Hallo,

es ist zu anstrengend, wenn man sich als Antwortender alles selbst zusammenklauben soll.
Du kannst und das Helfen doch ein bißchen angenehm machen, oder?

Was meinst Du mit Fall 1? Welche x betrachtest Du hier?
Woie sieht die Ungleichung für diesen Fall aus, und wie hast Du sie gelöst?

In Deinem Fall 2 sind all die Zahlen, die gleichzeitig [mm] \ge [/mm] 3 und <5 sind, Lösungen, also die x mit [mm] 3\le [/mm] x< 5.

Gruß v. Angela


Bezug
                                        
Bezug
Fallunterscheidung bezgl. der: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

Also Fall 1: x < -3
-(x-3)+(-(x+3)<10
-x+3-x-3<10
-2x<10 |/(-2)
x>-5

Fall 2: x>=3
x-3+x+3<10
2x<10 |/2
X<5

Fall 3? Vielleicht -3<=x<3 ?
und dann?
Ich glaube es wird dann:
-(x-3)+x+3<10
-x+3+x+3<10
6<10

aber wie schreibe ich in den fällen die lösungsmengen genau auf?


Bezug
                                                
Bezug
Fallunterscheidung bezgl. der: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Mo 18.10.2010
Autor: angela.h.b.


> Also Fall 1: x < -3
>  -(x-3)+(-(x+3)<10
>  -x+3-x-3<10
>  -2x<10 |/(-2)
>  x>-5

Hallo,

also lösen alle [mm] x\in [/mm] (-5, -3) die Ungleichung.

>  
> Fall 2: x>=3
>  x-3+x+3<10
>  2x<10 |/2
>  X<5

Also lösen alle [mm] x\in [/mm] [3,5) die Ungleichung.

>  
> Fall 3? Vielleicht -3<=x<3 ?

Ja.

>  und dann?
>  Ich glaube es wird dann:
>  -(x-3)+x+3<10
>  -x+3+x+3<10
>  6<10

Dies ist eine wahre Aussage.
Das sagt uns: alle x im hier betrachteten Intervall [-3, 3) lösen die Ungleichung.

Insgesamt: alle x, die in einem der Intervalle (-5,-3), [-3,3), [3,5) liegen,
(in Zeichen: [mm] x\in (-5,-3)\cup [-3,3)\cup [/mm] [3,5))
lösen die Ungleichung, also alle [mm] x\in [/mm] (-5,5).

Das wäre die Lösungsmenge in Intervallschreibweise.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                        
Bezug
Fallunterscheidung bezgl. der: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Mo 18.10.2010
Autor: Rofalstein

so langsam komme ich dahinter. Danke auch für die Mühe. Aber wann schreibt man denn die eckigen klammern und wann nicht? Ich wünsche schonmal eine gute nacht allen bis demnächst.

Bezug
                                                                
Bezug
Fallunterscheidung bezgl. der: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Mo 18.10.2010
Autor: angela.h.b.


> so langsam komme ich dahinter. Danke auch für die Mühe.
> Aber wann schreibt man denn die eckigen klammern und wann
> nicht? Ich wünsche schonmal eine gute nacht allen bis
> demnächst.

Hallo,

[mm] x\in [/mm] [5,6) bedeutet [mm] 5\le [/mm] x<6.

Die Zahlen bei den runden Klammern gehören nicht zum Intervall, die bei den eckigen gehören dazu.

Manchmal schreibt man statt [5,6) auch [5,6[.

Gruß v. Angela



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