Falscher Beweis zu Wurzel(7) ? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Do 27.09.2007 | | Autor: | enoemos |
| Aufgabe | In dem Buch "Brückenkurs Mathematik" von Dr. Karl Busch (3. Aufl.) findet sich folgender Widerspruchsbeweis, dass [mm] \wurzel{7} \not\in \IQ [/mm] ist:
Annahme [mm] \wurzel{7} \in \IQ \Rightarrow \wurzel{7} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q}; [/mm] p,q [mm] \in \IN [/mm] ; p,q teilerfremd (*)
7 = [mm] \bruch{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2= [/mm] 7 * [mm] q^2
[/mm]
7 ist Teiler von [mm] p^2 \Rightarrow [/mm] 7 ist Teiler von p
p = 7 * r [mm] \Rightarrow p^2 [/mm] = 49 * [mm] r^2 [/mm] =7 * [mm] q^2 [/mm] ; [mm] q^2 [/mm] = 7 * [mm] r^2 \Rightarrow [/mm] 7 ist Teiler von q;
p und q haben den gemeinsamen Teiler 7. Widerspruch zu (*) |
Meines Erachtens ist dieser Beweis falsch, denn ich könnte analog auch "beweisen", dass [mm] \wurzel{9} \not\in \IQ [/mm] ist. Ich denke, den Fehler gefunden zu haben, aber ich wollte von euch wissen, ob ihr auch meint, dass der Herr Professor hier einen Denkfehler begangen hat (und wo).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Do 27.09.2007 | | Autor: | Devoras |
Nein, da ist kein Fehler. Schauen wir mal nach, was passiert, wenn man den Beweis mit 9 durchführt.
Annahme [mm] \wurzel{9} \in \IQ \Rightarrow \wurzel{9} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q}; [/mm] p,q [mm] \in \IN [/mm] ; p,q teilerfremd (*)
9 = [mm] \bruch{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2= [/mm] 9 * [mm] q^2
[/mm]
9 ist Teiler von [mm] p^2 [/mm]
Soweit so gut. Nun ist 9 aber keine Primzahl, sondern zerlegt sich in 3*3, daher wäre es falsch zu folgern:
[mm] \Rightarrow [/mm] 9 ist Teiler von p
Der Beweis ist richtig, funktioniert aber nur für Primzahlen, und deren Wurzel liegt ja bekanntlich nicht in [mm] \IQ [/mm] .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Do 27.09.2007 | | Autor: | enoemos |
Danke! Da habe ich dann wohl denn Denkfehler begangen. Ich hatte mir gedacht, dass die angesproche Folgerung grundsätzlich nicht zulässig wäre. Habe aber nicht überlegt, dass das für Primzahlen ja immer funktioniert.
Sind aber trotzdem einige Fehler in dem Buch ...
MfG enoemos
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 30.09.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Der Beweis ist richtig, funktioniert aber nur für
> Primzahlen, und deren Wurzel liegt ja bekanntlich nicht in
> [mm]\IQ[/mm] .
Also er funktioniert auch fuer ganze Zahlen, die nicht durch das Quadrat einer Primzahl geteilt werden (und die nicht grad [mm] $\pm [/mm] 1$ sind), also z.B. fuer 6 und 10. Man muss halt nur bei der Argumentation $10 [mm] \mid x^2 \Rightarrow [/mm] 10 [mm] \mid [/mm] x$ etc. etwas mehr aufpassen (etwa alle Primfaktoren einzelnd betrachten).
LG Felix
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Es ist ein falscher Beweis, da jeder Bruch unendlich gekürzt werden kann, ohne dass ganze Zahen in Nenner und Zähler stehen.
Beweis [mm] k\in \IN [/mm] fehlt.
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