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Forum "Funktionalanalysis" - Faltung Stufenfunktion
Faltung Stufenfunktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Faltung Stufenfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 So 20.01.2019
Autor: Noya

Aufgabe
Betrachte die Stufenfunktion s(x) definiert durch

[mm] s(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}, & \mbox{für } |x| \le 1 \\ 0, & \mbox{für } |x|>1 \end{cases} [/mm]

Berechne
s [mm] \ast [/mm] s
s [mm] \ast [/mm] s [mm] \ast [/mm] s

wobei mit [mm] \ast [/mm] die Faltung gemeint ist, d.h.

(s [mm] \ast [/mm] s )(x)= [mm] \int_{-\infty}^{\infty}s(t)s(x-t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}s(x)s(x-t)dt [/mm]

Hallo ihr Lieben,


(s [mm] \ast [/mm] s )(x)= [mm] \int_{-\infty}^{\infty}s(t)s(x-t)dt=\int_{-\infty}^{-1}s(t)s(x-t)dt+\int_{-1}^{1}s(t)s(x-t)dt+\int_{1}^{\infty}s(t)s(x-t)dt [/mm] = [mm] \int_{-1}^{1}s(t)s(x-t)dt [/mm] = [mm] \int_{-1}^{1}\frac{1}{2}s(x-t)dt [/mm]


Ist das soweit richtig? Ich bin total unsicher wie das genau funktioniert. Es wäre super wenn mir hier jemand helfen könnte.

Vielen dank und weiterhin ein schönes wochenende
Liebe Grüße
Noya

        
Bezug
Faltung Stufenfunktion: Mal zeichnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 So 20.01.2019
Autor: Infinit

Hallo Noya,
rein formell hast Du mit Deiner Beschreibung recht, aber Du merkst selbst schon, echt rechnen kann man damit nicht. Insofern kann ich nur empfehlen, mal die Funktion hinzumalen und die beiden Integralanteile sich dann mal anzuschauen. Damit kommt man auf jeden Fall weiter.
Ich habe das mal in folgendem Bildchen skizziert:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Die Funktion ist eine einfache Rechteckfunktion, wie ich Sie im ersten Diagramm hingemalt habe. Aus dieser Funktion bekommt man die Funktion [mm] s(-t) [/mm]durch Spiegelung an der y-Achse. Da die Funktion jedoch gerade symmetrisch zur y-Achse ist, sieht sie genauso aus. Die Integrationsvariable ist t, die konstante Verschiebung wird durch x beschrieben, wobei ich einfach mal als Beispiele die Werte [mm] x = -3 [/mm] und [mm] x = 3 [/mm] eingesetzt habe.
Wenn Du Dir nun das Faltungsintegral betrachtest
[mm] (s \star s)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) s(x-t)\, dt [/mm]
so tragen doch nur dann Teile der beiden Funktionen [mm] s(t)[/mm] und [mm] s(x-t)[/mm]  zum Ergebnis bei, die sich überlappen. Für negative x-Werte passiert dies schon mal nicht für [mm] x \leq -2 [/mm] und auch für positive x-Werte passiert dies nicht, wenn [mm] x \geq 2 [/mm]. In diesen Außenbereichen hat das Faltungsintegral den Wert 0.
Eine Überlappung und damit ein Faltungsintegral kann also nur für x-Werte auftreten, die zwischen -2 und 2 liegen. Es gibt hierbei zwei Fallunterscheidungen, die Du erkennen kannst, wenn Du die Funktion [mm] s(x-t) [/mm] im dritten Koordinatensystem von links her kommend unter dem ersten Koordinatensystem durchschiebst. Für einen x-Wert zwischen -2 und 0 ist die untere Integralgrenze -1 und die obere gerade der x-Wert + 1.
[mm] \int_{-1}^{x+1} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{4} t \vert_{-1}^{x+1} = \frac{1}{4}(x+1)+\frac{1}{4}[/mm]
Für positive x-Werte kannst Du leicht die Grenzen selbst ausrechnen, das Ergebnis gilt dann für Verschiebungen bis zu x=2.
Wenn Du das Gesamtergebnis hast, kannst Du auf die gleiche Art und Weise dieses Ergebnis noch mal mit der Originalfunktion falten. Es kommen dann demzufolge Parabelstücke raus als Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Faltung Stufenfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:57 Di 22.01.2019
Autor: Noya

Hallöchen,

> Hallo Noya,
>  rein formell hast Du mit Deiner Beschreibung recht, aber
> Du merkst selbst schon, echt rechnen kann man damit nicht.
> Insofern kann ich nur empfehlen, mal die Funktion
> hinzumalen und die beiden Integralanteile sich dann mal
> anzuschauen. Damit kommt man auf jeden Fall weiter.
>  Ich habe das mal in folgendem Bildchen skizziert:

Danke :-)

>  
> Die Funktion ist eine einfache Rechteckfunktion, wie ich
> Sie im ersten Diagramm hingemalt habe. Aus dieser Funktion
> bekommt man die Funktion [mm]s(-t) [/mm]durch Spiegelung an der
> y-Achse. Da die Funktion jedoch gerade symmetrisch zur
> y-Achse ist, sieht sie genauso aus. Die
> Integrationsvariable ist t, die konstante Verschiebung wird
> durch x beschrieben, wobei ich einfach mal als Beispiele
> die Werte [mm]x = -3[/mm] und [mm]x = 3[/mm] eingesetzt habe.
>  Wenn Du Dir nun das Faltungsintegral betrachtest
>  [mm](s \star s)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) s(x-t)\, dt[/mm]
>  
> so tragen doch nur dann Teile der beiden Funktionen [mm]s(t)[/mm]
> und [mm]s(x-t)[/mm]  zum Ergebnis bei, die sich überlappen. Für
> negative x-Werte passiert dies schon mal nicht für [mm]x \leq -2[/mm]
> und auch für positive x-Werte passiert dies nicht, wenn [mm]x \geq 2 [/mm].
> In diesen Außenbereichen hat das Faltungsintegral den Wert
> 0.

Zeichnen hilft wirklich .. Danke

>  Eine Überlappung und damit ein Faltungsintegral kann also
> nur für x-Werte auftreten, die zwischen -2 und 2 liegen.

> Es gibt hierbei zwei Fallunterscheidungen, die Du erkennen
> kannst, wenn Du die Funktion [mm]s(x-t)[/mm] im dritten
> Koordinatensystem von links her kommend unter dem ersten
> Koordinatensystem durchschiebst. Für einen x-Wert zwischen
> -2 und 0 ist die untere Integralgrenze -1 und die obere
> gerade der x-Wert + 1.
>  [mm]\int_{-1}^{x+1} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{4} t \vert_{-1}^{x+1} = \frac{1}{4}(x+1)+\frac{1}{4}[/mm]
>  

für das x zwischen 0 und 2
müssten die Integralgrenzen x-1 und 1 sein oder täsuche ich mich da gerade und somit wäre das Integral dann
gerade der x-Wert + 1.

>  [mm]\int_{x-1}^{1} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{4} t \vert_{x-1}^{1} = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}(x-1)[/mm]

und somit

(s [mm] \star [/mm] s)(x) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} [/mm] s(t) [mm] s(x-t)\, [/mm] dt = [mm] \frac{1}{4}(x+1)+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(x-1)=1 [/mm] für x [mm] \in [/mm] [-2,2]
sonst ist es 0.

Ist das Korrekt? Irgendwie verwirrt mich das alles so.

> Für positive x-Werte kannst Du leicht die Grenzen selbst
> ausrechnen, das Ergebnis gilt dann für Verschiebungen bis
> zu x=2.
>  Wenn Du das Gesamtergebnis hast, kannst Du auf die gleiche
> Art und Weise dieses Ergebnis noch mal mit der
> Originalfunktion falten. Es kommen dann demzufolge
> Parabelstücke raus als Ergebnis.
>  Viele Grüße,
>  Infinit


Bezug
                        
Bezug
Faltung Stufenfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Di 22.01.2019
Autor: luis52

Moin Noya, ich moechte Infinit keinesfalls ins Handwerk pfuschen, aber *mir* hilft es in solchen Faellen haeufig, mit der Indikatorfunktion zu arbeiten.  Die Indikatorfunktion einer Menge $M$ ist definiert durch [mm] $I_M(x)=1$ [/mm] fuer [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $I_M(x)=0$ [/mm] fuer [mm] $x\notin [/mm] M$. Somit kann man schreiben:  [mm] $s(x)=\frac{1}{2}I_{[-1,1]}(x)$. [/mm]

Es folgt

[mm] \begin{matrix} (s \ast s )(x) &=&\int_{-\infty}^{\infty}s(t)s(x-t)dt \\ &=&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}I_{[-1,1]}(t)\cdot\frac{1}{2}I_{[-1,1]}(x-t)dt \\ &=&\frac{1}{4}\int_{0}^{1}I_{[-1,1]}(x-t)dt \end{matrix} [/mm]

Der Integrand ist genau dann Eins, wenn gilt [mm] $x-1\le [/mm] t [mm] \le [/mm] x+1$.  Das $x$ kannst du nicht frei waehlen, denn das $t$ variiert zwischen $-1$ und $+1$.  Es muss  eines von zwei Kriterien erfuellen:  [mm] $-1\le x+1\le [/mm] +1 [mm] \iff -2\le x\le [/mm] 0$ (der von Infinit durchgerechnete Fall) und [mm] $-1\le x-1\le [/mm] +1 [mm] \iff 0\le x\le [/mm] 2$.  *Ich* erhalte dann $(s [mm] \ast [/mm] s [mm] )(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{4}$. [/mm]
      

Bezug
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