Faltung der Poisson Verteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] (\pi(\lambda_{1}) [/mm] * [mm] \pi(\lambda_{2})) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin neu hier und total verzweifelt, schreibe am Samstag die Stochastik Klausur und so ein paar Fragen kann ich mir einfach nicht selber beantworten. Hoffe das mit hier jemand helfen kann...
Also nun zu der Frage:
Bei uns im Buch ist die Faltung der Poisson Verteilung so angegeben:
[mm] (\pi(\lambda_{1}) [/mm] * [mm] \pi(\lambda_{2})) [/mm] =
[mm] \summe_{l=0}^{k} e^{-\lambda_{1}} [/mm] * [mm] \bruch{\lambda_{1}^{l}}{l!} *e^{-\lambda_{2}} [/mm] * [mm] \bruch{\lambda_{2}^{k-l}}{(k-l)!}
[/mm]
=
[mm] e^{-(\lambda_{1} +\lambda_{2})} [/mm] * [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \summe_{l=0}^{k} \vektor{k \\ l} \lambda_{1}^{l} [/mm] * [mm] \lambda_{2}^{k-l}
[/mm]
=
[mm] e^{-(\lambda_{1} +\lambda_{2})} [/mm] * [mm] \bruch{(\lambda_{1} +\lambda_{1})^{k}}{k!}
[/mm]
Wie man das e rauszieht und die 1/k! ist mir klar, nur wie kommt man auf das [mm] \vektor{k \\ l} [/mm] und wie macht man dann aus der Summe im Zwischenschritt also dem [mm] \summe_{l=0}^{k} \vektor{k \\ l} \lambda_{1}^{l} [/mm] * [mm] \lambda_{2}^{k-l} [/mm] das [mm] \bruch{(\lambda_{1} +\lambda_{1})^{k}}{k!}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](\pi(\lambda_{1})[/mm] * [mm]\pi(\lambda_{2}))[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> ich bin neu hier und total verzweifelt, schreibe am Samstag
> die Stochastik Klausur und so ein paar Fragen kann ich mir
> einfach nicht selber beantworten. Hoffe das mit hier jemand
> helfen kann...
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> Also nun zu der Frage:
>
> Bei uns im Buch ist die Faltung der Poisson Verteilung so
> angegeben:
>
> [mm](\pi(\lambda_{1})[/mm] * [mm]\pi(\lambda_{2}))[/mm] = [mm]\summe_{l=0}^{k} e^{-\lambda_{1}}[/mm] * [mm]\bruch{\lambda_{1}^{l}}{l!} *e^{-\lambda_{2}}[/mm] *[mm]\bruch{\lambda_{2}^{k-l}}{(k-l)!}[/mm]
= [mm]e^{-(\lambda_{1} +\lambda_{2})}[/mm] *[mm]\bruch{1}{k!}[/mm] * [mm]\summe_{l=0}^{k} \vektor{k \\ l} \lambda_{1}^{l}[/mm] *[mm]\lambda_{2}^{k-l}[/mm]= [mm]e^{-(\lambda_{1} +\lambda_{2})}[/mm] * [mm]\bruch{(\lambda_{1} +\lambda_{1})^{k}}{k!}[/mm]
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> Wie man das e rauszieht und die 1/k! ist mir klar, nur wie
> kommt man auf das [mm]\vektor{k \\ l}[/mm] und wie macht man dann
> aus der Summe im Zwischenschritt also dem [mm]\summe_{l=0}^{k} \vektor{k \\ l} \lambda_{1}^{l}[/mm]
> * [mm]\lambda_{2}^{k-l}[/mm] das [mm]\bruch{(\lambda_{1} +\lambda_{1})^{k}}{k!}[/mm]
dort wurde einfach nur benutzt, dass
(I) ${k [mm] \choose l}=\frac{k!}{l!*(k-l)!}$ [/mm] (bzw. die dazu äquivalente Form [mm] $\frac{1}{k!*(l-k)!}=\frac{{k \choose l}}{k!}$)
[/mm]
gilt sowie der allg. binomische Lehrsatz
(II) [mm] $(a+b)^n=\sum_{l=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] l} [mm] a^l*b^{n-l}$
[/mm]
mit [mm] $a=\lambda_1$, $b=\lambda_2$ [/mm] und $n=k$.
Also vielleicht mal so geschrieben:
[mm] $\summe_{l=0}^{k} e^{-\lambda_{1}}*\bruch{\lambda_{1}^{l}}{l!} *e^{-\lambda_{2}} *\bruch{\lambda_{2}^{k-l}}{(k-l)!}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}*\summe_{l=0}^{k} *\bruch{\lambda_{1}^{l}}{l!} *\bruch{\lambda_{2}^{k-l}}{(k-l)!}$
[/mm]
[mm] $=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}*\sum_{l=0}^k \frac{1}{k!}*\underbrace{\frac{k!}{l!*(k-l!)}}_{={k \choose l}}*\lambda_1^l*\lambda_2^{k-l}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}*\frac{1}{k!}*\sum_{l=0}^k [/mm] {k [mm] \choose l}\lambda_1^l*\lambda_2^{k-l}$ [/mm] gilt wegen (I)
und
[mm] $=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}*\frac{1}{k!}*\underbrace{\sum_{l=0}^k {k \choose l}\lambda_1^l*\lambda_2^{k-l}}_{(\lambda_1+\lambda_2)^k}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}*\frac{1}{k!}*(\lambda_1+\lambda_2)^k$ [/mm] folgt wegen (II).
Gruß,
Marcel
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