Faltung mit Einsfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Stefan- |
Hallo,
ich habe eine Faltung einer T-periodischen Fkt f mit der Eins-Fkt, also (f*1). Erhalte ich damit [mm] \bruch{1}{T} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{T}{f(x-t)*1 dt} [/mm] ? Bin mir bei der Einsfunktion nicht sicher, ich denke ja dass das f(x) = 1 wäre, also konstant . Allerdings wurde mir gesagt, zur Eins-Fkt. gehöre die Fourier-Reihe [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty}{\delta_{1k}*e^{ikx}}, [/mm] das ergäbe aber doch f(x) = [mm] e^{ix}? [/mm] Gibt es da verschieden Eins-Funktionen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 So 21.05.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Stefan,
aus Deiner Aufgabenbeschreibung geht leider nicht genau hervor, wofür das Ganze gut sein soll. Ich versuche deswegen mal alle Möglichkeiten, die mir so einfallen, hier aufzuzählen.
1) Wenn Du die Faltung der Einsfunktion, von der ich mal annehme, dass sie sich über den kompletten Zeitbereich erstreckt, mit einer beliebigen periodischen Funktion durchführst, kommst Du auf die Formel, die Du angegeben hast, wenn auch mit leicht anderen Grenzen, da die Faltung über den gesamten Zeitbereich definiert ist. Es ergibt sich also laut Definition $$
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) d\tau [/mm] . $$
Deine Normierung auf die Periodendauer deutet daraufhin, dass Du die Fouriertransformierte einer periodischen Zeitfunktion suchst, das steht aber nirgendwo.
2) Sollte es darum gehen, auf die Fouriertransformierte einer Zeitfunktion zu kommen, die zeitbegrenzt ist und periodisch fortgesetzt wird, so ergibt sich diese aus Abtastproben des Spektrums des ursprünglichen Signals, die im Abstand [mm] \bruch{1}{T} [/mm] genommen werden und mit dem eben angegebenen Bruch noch skaliert werden.
3) Der von Dir erwähnte Dirac-Impuls ist die Fouriertransformierte zur Eins-Funktion. Die von Dir angegebene Reihe kann sich jedoch nur ergeben, wenn eine Einsfunktion abgetastet wird.
Hier geht also ziemlich viel durcheinander, aber ich hoffe, ich konnte Dir mit meinen Tipps etwas weiterhelfen und habe hoffentlich nicht noch mehr zur Verwirrung beigetragen.
Viele Grüße,
Infinit
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