Faltung von Dichten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 So 16.01.2011 | | Autor: | Druss |
Die Faltung zweier Dichten ist wie folgt definiert:
[mm] F_Z [/mm] (z) = [mm] P(X+Y\le [/mm] z)
= [mm] \int\int_A [/mm] f(u,v) du dv wobei [mm] A=\{(x,y):x+y\le z\}
[/mm]
= [mm] \int\limits_{u=-\infty}^\infty \int\limits_{v=-\infty}^{z-u} [/mm] f(u,v) du dv
[mm] \rightarrow [/mm] Frage 1: wieso kann [mm] u\in\mathbb{R} [/mm] sein. Dann ist es doch schon möglich, dass u>z ist ??
[mm] \rightarrow [/mm] Antwort 1: v muss eben keinen Positiven Wert annehmen. Deswegen ist [mm] x+y\le [/mm] z kein Problem wenn u>z ist.
Subst.: x=u , y=v+u
= [mm] \int\limits_{x=-\infty}^\infty \int\limits_{y=-\infty}^{z} [/mm] f(x,y-x) dy dx
[mm] \rightarrow [/mm] Frage 2: wie komme ich drauf, dass meine obere Integrationsgrenzen von y nun z ist? Ich sehe nicht wie ich das durch die Substitution hinbekomme.
= [mm] \int\limits_{y=-\infty}^{z} \int\limits_{x=-\infty}^\infty [/mm] f(x,y-x) dx dy
Somit ist
= [mm] \int\limits_{x=-\infty}^\infty [/mm] f(x,z-x) dx die zugehörige Dichtefunktion von [mm] f_Z [/mm] ( z) von Z.
[mm] \rightarrow [/mm] Frage 3: verstehe nicht wie ich auf dieses Endergebnis komme...
vielen Dank für Hilfe!
mfg
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Hallo Druss,
> Die Faltung zweier Dichten ist wie folgt definiert:
>
> [mm]F_Z[/mm] (z) = [mm]P(X+Y\le[/mm] z)
>
> = [mm]\int\int_A[/mm] f(u,v) du dv wobei [mm]A=\{(x,y):x+y\le z\}[/mm]
> =
> [mm]\int\limits_{u=-\infty}^\infty \int\limits_{v=-\infty}^{z-u}[/mm] f(u,v) du dv
>
> [mm]\rightarrow[/mm] Frage 1: wieso kann [mm]u\in\mathbb{R}[/mm] sein. Dann
> ist es doch schon möglich, dass u>z ist ??
> [mm]\rightarrow[/mm] Antwort 1: v muss eben keinen Positiven Wert
> annehmen. Deswegen ist [mm]x+y\le[/mm] z kein Problem wenn u>z ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Subst.: x=u , y=v+u
>
> = [mm]\int\limits_{x=-\infty}^\infty \int\limits_{y=-\infty}^{z}[/mm] f(x,y-x) dy dx
>
> [mm]\rightarrow[/mm] Frage 2: wie komme ich drauf, dass meine obere
> Integrationsgrenzen von y nun z ist? Ich sehe nicht wie ich
> das durch die Substitution hinbekomme.
Alte obere Grenze: [mm]v=z-u[/mm], also [mm]\red{v+u=z}[/mm]
Mit der Substitution [mm]y=v+u[/mm] ist das aber gerade [mm]\red{z=v+u=y}[/mm], also neue obere Grenze $y=z$
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> = [mm]\int\limits_{y=-\infty}^{z} \int\limits_{x=-\infty}^\infty[/mm] f(x,y-x) dx dy
>
>
> Somit ist
>
> = [mm]\int\limits_{x=-\infty}^\infty[/mm] f(x,z-x) dx die
> zugehörige Dichtefunktion von [mm]f_Z[/mm] ( z) von Z.
>
> [mm]\rightarrow[/mm] Frage 3: verstehe nicht wie ich auf dieses
> Endergebnis komme...
Wie hängen denn Dichtefunktion und Verteilungsfunktion zusammen??
Kläre das, dann ist auch deine Frage geklärt 
>
> vielen Dank für Hilfe!
>
> mfg
>
Gruß
schachuzipus
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