Faltung von EXP < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Fabster |
| Aufgabe | Es geht um die Lebensdauer von Glühbirnen. 1.ste Glühbirne X EXP(0,5)verteilt, 2.te Birne Y EXP(1) verteilt. Beide Lebensdauern sind stochastisch unabhängig.Die 2te Glühbirne wird erst benutzt, wenn die 1te kaputt ist.
A1. Geben sie die R-Dichte der gemeinsamen Verteilung von X und Y an.
A2. Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach insgesamt 4 Jahren auch die 2te Glühbirne defekt ist. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bis jetzt bin ich soweit:
EXP(0,5) = 0,5 [mm] *e^{-0.5x}
[/mm]
EXP(1) = [mm] e^{-y}
[/mm]
Riemann Dichte ist doch dann:
[mm] \integral_{k=0}^{l}{EXP(0,5)*EXP(1)dx}
[/mm]
=
[mm] \integral_{k=0}^{l}{0,5*e^{-0,5k}*e^{-(x-k)}}
[/mm]
zusammenfassen:
[mm] \integral_{k=0}^{l}{0,5*e^{x-0,5k}}
[/mm]
Meine Fragen:
Ist das so richtig?
Was mach ich mit dem k? Sonst hab ich immer gesehen, dass sich das rauskürzt, aber das schaff ich hier irgendwie nicht.
Hoffe ihr könnt mir helfen. Schreib in 1ner Woche die Klausur, und check das noch nicht so ganz(wie man sieht).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Fabster,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das muessen wir schon etwas genauer aufschreiben: [mm] $f_x:\IR\to\IR$ [/mm] mit
[mm] $f_x(x)=0.5\exp(-0.5x)$ [/mm] fuer $x>0$ und [mm] $f_x(x)=0$ [/mm] sonst sowie
[mm] $f_y:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f_y(y)=\exp(-y)$ [/mm] fuer $y>0$ und [mm] $f_y(y)=0$ [/mm] sonst.
Dann ist die gemeinsame Dichte von X und Y gegeben durch
[mm] $f:\IR^2\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x,y)=f_x(x)f_y(y)$.
[/mm]
Ich interpretiere b) so: Gesucht ist [mm] $P(Y\le 4\mid X\le [/mm] 4)$.
vg Luis
PS: Darf ich einmal fragen, wie du darauf gekommen bist, deine Frage hier
im Matheraum zu stellen? Gooegle, Empfehlung,...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Fabster |
Hi Luis,
danke erstmal für deine Tipps und deine freundliche Begrüßung.
Hatte nach Faltung von EXP gegoogelt und bin dann auf die Seite hier gestoßen.
Wie mach ich denn jetzt weiter? Ich muss doch noch das Integral von fxy bilden, muss ich das dann so machen:
[mm] \integral_{y}^{\infty}(\integral_{0}^{y}{f(xy) dx})dy
[/mm]
???
> Ich interpretiere b) so: Gesucht ist [mm]P(Y\le 4\mid X\le 4)[/mm].
Müsste das nicht auch noch mit X+Y=4 ergänzt werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> Wie mach ich denn jetzt weiter? Ich muss doch noch das
> Integral von fxy bilden, muss ich das dann so machen:
> [mm]\integral_{y}^{\infty}(\integral_{0}^{y}{f(xy) dx})dy[/mm]
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 42. Auf Seite 43 wird die gemeinsame Dichte zweier ZV
angegeben.
Ich habe den Eindruck, du willst immer so etwas wie die
gemeinsame Verteilungsfunktion bestimmen. Aber die ist hier nicht gesucht.
>
> ???
>
> > Ich interpretiere b) so: Gesucht ist [mm]P(Y\le 4\mid X\le 4)[/mm].
>
> Müsste das nicht auch noch mit X+Y=4 ergänzt werden?
Nein, wieso?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Fabster |
Ahh jetzt weiss ich warum wir aneinander vorbeireden.
Die 2te Glühbirne wird erst benutzt wenn die erste kaputt ist.
Sorry war n Fehler von mir, hätt das noch in die Aufgabenstellung miteinbringen müssen.
Ich hab nochmal im Forum geschmöckert und das hier gefunden, ist wohl ne veralgemeinerte Formel für das was ich suche.
https://matheraum.de/read?t=291262
Ich verstehe blos nicht was dieses
[mm] 1_{[1,\infty)}(z)
[/mm]
bedeuten soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ich verstehe blos nicht was dieses
> [mm]1_{[1,\infty)}(z)[/mm]
> bedeuten soll.
[mm]1_{[1,\infty)}(z)=1[/mm] fuer [mm] $z\in[1,\infty)$ [/mm] und [mm]1_{[1,\infty)}(z)=0[/mm] sonst.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Fabster |
Super und Danke
Schein es verstanden zu haben.
Eine letzte Frage noch:
Es ist ja nur ne Riemann Dichte wenn das Integral von 0 bis unendlich =1 ist.
Muss ich das hier auch noch zeigen?
Wenn ich meine Werte von oben einsetze komm ich auf
1*0,5 * [mm] e^{-z} [/mm] * [mm] 2*(e^{0,5z}-1)
[/mm]
= [mm] e^{-0,5z}-1
[/mm]
wenn ich jetzt für z unendlich einsetze, dann geht das ja gegen -1.
Also müsste ich das doch noch mit c=-1 ausgleichen oder ist das egal???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Fabster,
kann dir leider im Moment nicht folgen.
> Eine letzte Frage noch:
> Es ist ja nur ne Riemann Dichte wenn das Integral von 0
> bis unendlich =1 ist.
> Muss ich das hier auch noch zeigen?
Von welcher Dichte reden wir gerade?
>
> Wenn ich meine Werte von oben
Wo ist denn oben?
> einsetze komm ich auf
>
> 1*0,5 * [mm]e^{-z}[/mm] * [mm]2*(e^{0,5z}-1)[/mm]
> = [mm]e^{-0,5z}-1[/mm]
> wenn ich jetzt für z unendlich einsetze, dann geht das ja
> gegen -1.
> Also müsste ich das doch noch mit c=-1 ausgleichen oder
> ist das egal???
Jetzt habe ich vollends den Faden verloren, sorry.
vg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 So 27.01.2008 | | Autor: | Fabster |
Sorry ist n bischen unübersichtlich geworden.
Die Formel für die gemeinsame R-Dichte von 2 Verteilungen ist
[mm] \integral_{R}^{}{f_x(u)f_y(z-u)du}
[/mm]
=
wenn ich da zwei EXP Verteilungen einsetzte und Aufleite
[mm] e^{-\lambda_2z} \lambda_1 \lambda_2 \integral_{0}^{z}{e^{u(\lambda_2-\lambda_1)}du}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} e^{-\lambda _2 z} (e^{z(\lamda_2 - \lambda_1)} [/mm] - 1)
Werte von oben eingesetz [mm] \lambda_2 [/mm] = 1 , [mm] \lambda_1 [/mm] = 0,5
=
[mm] e^{-z}*(e^{0,5z} [/mm] -1)
Müsste diese R-Dichte nicht für z gegen unendlich = 1 sein???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 So 27.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Sorry ist n bischen unübersichtlich geworden.
>
> Die Formel für die gemeinsame R-Dichte von 2 Verteilungen
> ist
> [mm]\integral_{R}^{}{f_x(u)f_y(z-u)du}[/mm]
> =
>
Gruebel, gruebel, ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
Hier steht (vermutlich) die Dichte von $X+Y$. Ich dachte, es geht
um die gemeinsame Dichte von $(X,Y)$. In deiner urspruenglichen
Frage war von $X+Y$ aber nicht die Rede...
Also: Was ist die Frage?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 So 27.01.2008 | | Autor: | Fabster |
Man hat 2 Glühbirnen deren Brenndauer bis sie kaputt sind EXP verteilt sind. Die Erste ist EXP(0,5) die 2te EXP(1) verteilt.
Die 2te wird erst benuzt wenn die 1te kaputt ist.
Frage 1:
R-Dichte der gemeinsamen Verteilung von X und Y
Frage 2:
Wahrscheinlichkeit, dass beide Birnen nach 4 Jahren kaputt gehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 So 27.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Man hat 2 Glühbirnen deren Brenndauer bis sie kaputt sind
> EXP verteilt sind. Die Erste ist EXP(0,5) die 2te EXP(1)
> verteilt.
> Die 2te wird erst benuzt wenn die 1te kaputt ist.
>
> Frage 1:
> R-Dichte der gemeinsamen Verteilung von X und Y
Gut, das haben wir bereits geloest.
> Frage 2:
> Wahrscheinlichkeit, dass beide Birnen nach 4 Jahren kaputt
> gehen.
Wir brauchen also [mm] $P(X+Y\le [/mm] 4)$. Ich denke, da ist
https://matheraum.de/read?t=82652
hilfreich.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 So 27.01.2008 | | Autor: | Fabster |
Soweit war ich ja auch schon.
Meine Frage ist jetzt ob die das Integral von 0 bis [mm] \infty [/mm] =1 sein muss???
Und wenn ja wie ich das zeige?
Wenn die Fläche unter der Kurve = 1 ist, kann ich ja einfach für die Grenzen 0 und 4 einsetzten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 So 27.01.2008 | | Autor: | luis52 |
In dem Link von mir genannten Link ist m.E. ein Fehler. Die Dichte lautet:
$ [mm] f_{X_1+X_2}(x) [/mm] = [mm] \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2} \cdot \left( e^{-\lambda_2 x} - e^{-\lambda_1 x} \right) [/mm] $ fuer $x>0$ und $ [mm] f_{X_1+X_2}(x) [/mm] =0$ sonst.
> Soweit war ich ja auch schon.
Hoere ich hier etwas Ungeduld heraus? ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]") Dieses Hin und Her wuerde uns
erspart bleiben, wenn die Aufgabenstellungen vollstaendig gepostet wuerden...
>
> Meine Frage ist jetzt ob die das Integral von 0 bis [mm]\infty[/mm]
> =1 sein muss???
Kannst du gerne ueberpruefen, aber hier wurde der Faltungssatz angewandt, der die
*Dichte* von [mm] $X_1+X_2$ [/mm] beschreibt. Insofern ist diese Arbeit ueberfluessig.
>
> Und wenn ja wie ich das zeige?
Na, so schwer ist das ja nicht. Zu ueberpruefen ist
[mm] $\int_0^\infty f_{X_1+X_2}(x) \,dx=1$.
[/mm]
>
> Wenn die Fläche unter der Kurve = 1 ist, kann ich ja
> einfach für die Grenzen 0 und 4 einsetzten.
Dann mal los. Bin gespannt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 So 27.01.2008 | | Autor: | Fabster |
Nein keine Ungeduld, hab mich nur über mich selber geärgert, da man sich, wie du schon sagtest, einiges hätte ersparen können....
Wir hatten ja schon
[mm] f_{X_1+X_2}(x) [/mm] = [mm] \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2} \cdot \left( e^{-\lambda_2 x} - e^{-\lambda_1 x} \right) [/mm]
da jetzt für [mm] \lambda_2 [/mm] 0,5 und für [mm] \lambda_1 [/mm] 1 eingesetz
[mm] f_{X_1+X_2}(x) [/mm] = [mm] \frac{1 *0,5}{1 - 0,5} \cdot \left( e^{-0,5 x} - e^{-1 x} \right) [/mm]
für x=4 eingesetzt
[mm] f_{X_1+X_2}(4) [/mm] = [mm] \frac{1 *0,5}{1 - 0,5} \cdot \left( e^{-2} - e^{-4} \right)
[/mm]
=
[mm] e^{-2} [/mm] - [mm] e^{-4} \approx [/mm] 0,117 = 11,7%
=> Die Wahrscheinlichkeit das beide Glühbirnen nach 4 Jahren kaputt ist 11,7% ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 So 27.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Fabster,
> => Die Wahrscheinlichkeit das beide Glühbirnen nach 4
> Jahren kaputt ist 11,7% ist
Das stimmt nicht. Du musst bedenken, dass mit
$ [mm] f_{X_1+X_2}(x) [/mm] $ = $ [mm] \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2} \cdot \left( e^{-\lambda_2 x} - e^{-\lambda_1 x} \right) [/mm] $
die *Dichte* von [mm] $X_1+X_2$ [/mm] gegeben ist. Wir benoetigen jedoch die
*Verteilungsfunktion* [mm] $F_{X_1+X_2}(x)=P(X_1+X_2\le [/mm] x)$, also [mm] $F_{X_1+X_2}(x)=0$ [/mm] fuer [mm] $x\le [/mm] 0$ und
[mm] $F_{X_1+X_2}(x)=\int_0^xf_{X_1+X_2}(t)\,dt=\frac{1}{\lambda_1 -\lambda_2} \cdot \left(\lambda_1(1- e^{-\lambda_2 x}) -\lambda_2(1- e^{-\lambda_1 x}) \right) [/mm] $
fuer $x>0$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 So 27.01.2008 | | Autor: | Fabster |
Ahhh, ich glaub ich verstehe.
[mm] f_x_1_x_2(x) [/mm] ist aber doch die Riemann Dichte der Verteilung?
Ich dachte bis jetzt die R-Dichte würde reichen, und dass die Verteilungsfunktion nur ne Erleichterung für die Berechnung wäre.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 So 27.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ahhh, ich glaub ich verstehe.
> [mm]f_x_1_x_2(x)[/mm] ist aber doch die Riemann Dichte der
> Verteilung?
Genau.
>
> Ich dachte bis jetzt die R-Dichte würde reichen, und dass
> die Verteilungsfunktion nur ne Erleichterung für die
> Berechnung wäre.
>
Werte der Dichte liefern keine Wahrscheinlichkeiten, wohl aber Flaechen
darunter. Zu deren Berechnung verwendet man die Verteilungsfunktion.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 So 27.01.2008 | | Autor: | Fabster |
Super, dann nochmal vielen Dank für Deine Hilfe.
Ist wirklich super das Board
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