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Faltungsintegral: Faltung einer Funktion
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:00 Mo 10.01.2011
Autor: likenobody

Aufgabe
Gegeben sei die Bildfunktion [mm] Y(s)=\bruch{s}{(s+1)({s^2}+1)} [/mm] berechnen Sie mit hilfe des Faltungsintegrals die zugehörige Orginalfunkton y(t), t=/>0.

mit [mm] f(t)=f1(t)\times f2(t)=\integral_{}^{}{f1(u)*f2(t-u) du} [/mm] ergibt sich [mm] f(t)=-\bruch{1}{2}{t^2}{e^-t} [/mm] ist das so Richtig?
[mm] (\times [/mm] = Faltungszeichen)

Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Faltungsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Mo 10.01.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

> Gegeben sei die Bildfunktion [mm]Y(s)=\bruch{s}{(s+1)({s^2}+1)}[/mm]
> berechnen Sie mit hilfe des Faltungsintegrals die
> zugehörige Orginalfunkton y(t), t=/>0.
>  mit [mm]f(t)=f1(t)\times f2(t)=\integral_{}^{}{f1(u)*f2(t-u) du}[/mm]
> ergibt sich [mm]f(t)=-\bruch{1}{2}{t^2}{e^-t}[/mm] ist das so
> Richtig?


Leider nein. [notok]

Poste doch dazu Deine bisherigen Rechenschritte.


>  [mm](\times[/mm] = Faltungszeichen)
>  
> Danke
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Faltungsintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Mo 10.01.2011
Autor: likenobody

Ok, meine erste überlegung war eine PBZ von  [mm] Y(s)=\bruch{s}{(s+1)({s^2}+1)} [/mm] = [mm] \bruch{S}{{s^2}+1)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(s+1)} [/mm] zu machen so erhalte ich F1(s) und F2(s) welche mit hilfe der K-Tabelle dann zu f1(t)={e^-t} und f2(t)= (1-t)* {e^-t} umgerechnet werden kann hieraus folgt dann f(t)= [mm] f1(t)\times [/mm] f2(t) = [mm] \integral_{0}^{t}{f1(u)*f2(t-u) du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{{e^-t}-(t-u)*{e^-t} du} [/mm] nach integration ergbit sich [mm] {e^-t}*(t-t-\bruch{1}{2}*{t^2}) [/mm] daruas folgt dann die vorgenannte Lösung.....

Bezug
                        
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Faltungsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Mo 10.01.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

> Ok, meine erste überlegung war eine PBZ von  
> [mm]Y(s)=\bruch{s}{(s+1)({s^2}+1)}[/mm] = [mm]\bruch{S}{{s^2}+1)}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{(s+1)}[/mm] zu machen so erhalte ich F1(s) und F2(s)
> welche mit hilfe der K-Tabelle dann zu f1(t)={e^-t} und
> f2(t)= (1-t)* {e^-t} umgerechnet werden kann hieraus folgt
> dann f(t)= [mm]f1(t)\times[/mm] f2(t) =
> [mm]\integral_{0}^{t}{f1(u)*f2(t-u) du}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{t}{{e^-t}-(t-u)*{e^-t} du}[/mm] nach integration
> ergbit sich [mm]{e^-t}*(t-t-\bruch{1}{2}*{t^2})[/mm] daruas folgt
> dann die vorgenannte Lösung.....


Zunächst mußt Du Y(s) als Produkt zweier Funktionen schreiben:

[mm]Y\left(s\right)=f_{1}\left(s\right)*f_{2}\left(s\right)[/mm]

Dann kannst Du darauf die Umkehr des Faltungssatzes anwenden.

[mm]L^{-1}\left\{ \ f_{1}\left(s\right)*f_{2}\left(s\right) \ \right\}=L^{-1}\left\{ \ f_{1}\left(s\right) \ \right\}\times L^{-1}\left\{ \ f_{2}\left(s\right) \ \right\}[/mm]

Erst dann kannst Du das Faltungsintegral bilden.


Gruss
MathePower

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Faltungsintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Mo 10.01.2011
Autor: likenobody

Zunächst mußt Du Y(s) als Produkt zweier Funktionen schreiben:

[mm] Y\left(s\right)=f_{1}\left(s\right)\cdot{}f_{2}\left(s\right) [/mm]  
  ist das nicht mit den Thermen [mm] \bruch{S}{{s^2}+1)} [/mm] *  [mm] \bruch{1}{s+1)} [/mm]  Bereits geschehen? (selbstverständlich keine PZB, einfaches Umformen)

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Faltungsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Mo 10.01.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

>  Zunächst mußt Du Y(s) als Produkt zweier Funktionen
> schreiben:
>  
> [mm]Y\left(s\right)=f_{1}\left(s\right)\cdot{}f_{2}\left(s\right)[/mm]
>    ist das nicht mit den Thermen [mm]\bruch{S}{{s^2}+1)}[/mm] *  
> [mm]\bruch{1}{s+1)}[/mm]  Bereits geschehen? (selbstverständlich
> keine PZB, einfaches Umformen)


Ja, das ist mit den beiden Termen bereits geschehen.


Gruss
MathePower

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Faltungsintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mo 10.01.2011
Autor: likenobody

aber ich versteh nicht, dann ist die erstgenannte Lösung doch korrekt?!

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Faltungsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Mo 10.01.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

> aber ich versteh nicht, dann ist die erstgenannte Lösung
> doch korrekt?!


Dann poste doch, wie Du auf dieses f(t) gekommen bist.


Gruss
MathePower

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Faltungsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Mo 10.01.2011
Autor: Calli


> aber ich versteh nicht, dann ist die erstgenannte Lösung
> doch korrekt?!

Hey likenobody !

Deine "Lösung"
[mm] $f(t)=-\frac{t^2}{2}\,e^{-t}$ [/mm]
kannst Du ja durch Transformation in den Bildbereich auf ihre Richtigkeit überprüfen.

Ciao Calli


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Faltungsintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 Mi 12.01.2011
Autor: likenobody

ich habe durch auftrennen und invertieren der Laplace funktion die Orginalfunktionen f1(t)={e^-^t} und f2(t)= cos (-t) diese müssten ja jetzt noch gefaltet werden, was dann ja dem [mm] \integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos (-t-u) du} [/mm] entspricht... ist mein ansatz bis hier richtig`? und wie löse ich nun das integral?

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Faltungsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Mi 12.01.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

> ich habe durch auftrennen und invertieren der Laplace
> funktion die Orginalfunktionen f1(t)={e^-^t} und f2(t)= cos
> (-t) diese müssten ja jetzt noch gefaltet werden, was dann


Es muss [mm]f_{2}\left(t\right)=\cos\left(\blue{t}\right)[/mm] sein.


> ja dem [mm]\integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos (-t-u) du}[/mm]
> entspricht... ist mein ansatz bis hier richtig'? und wie


Damit das Integral:

[mm]\integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos (t-u) du}[/mm]


> löse ich nun das integral?


Nun, z.B. mit der partielle Integration.


Gruss
MathePower

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Faltungsintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Mi 12.01.2011
Autor: likenobody

Ich habe durch Produktitegration das ergebniss y(t)= sin(t)+{e^-t}-cos(t) ist diese Lösung dann so korrekt, oder habe ich hierbei wieder etwas übersehen?

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Faltungsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Mi 12.01.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

> Ich habe durch Produktitegration das ergebniss y(t)=
> sin(t)+{e^-t}-cos(t) ist diese Lösung dann so korrekt,
> oder habe ich hierbei wieder etwas übersehen?  


Hier hast Du einen Faktor [mm]\not= 1[/mm] übersehen.


Gruss
MathePower

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Faltungsintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Mi 12.01.2011
Autor: likenobody

Ich glaube meinen fehler gefunden zu haben: y(t)=
{e^-t}-cos(t)-sin(t) ich habe das Vorzeichen von  [mm] -{e^0} [/mm]  übersehen... oder meintest du einen anderen faktor?

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Faltungsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mi 12.01.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

> Ich glaube meinen fehler gefunden zu haben: y(t)=
>  {e^-t}-cos(t)-sin(t) ich habe das Vorzeichen von  [mm]-{e^0}[/mm]  


Das meinte ich nicht.


> übersehen... oder meintest du einen anderen faktor?  


Das Integral ist bis auf den Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] richtig berechnet worden.


Gruss
MathePower

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Faltungsintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Fr 14.01.2011
Autor: likenobody

Ich kann meinen Fehler nicht finden, bzw. mir nicht erklären, wo der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] herkommt. Hier mal meine bisherigen Ansätze:

[mm] \integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos(t-u) du} [/mm] =
[{e^-^u}*sin(t-u)] - [mm] \integral_{0}^{t}{-{e^-^u}*sin(t-u) du} [/mm] = 0 - [mm] {e^0} [/mm] * sin (t) - [mm] [{e^u} [/mm] * - cos(t-u)] = -sin(t)+{e^-^t} - cos (t)

wo liegt mein fehler? was mache ich falsch?

Bezug
                                                                
Bezug
Faltungsintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Fr 14.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo linkenobody,



> Ich kann meinen Fehler nicht finden, bzw. mir nicht
> erklären, wo der Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] herkommt. Hier mal
> meine bisherigen Ansätze:
>
> [mm]\integral_{0}^{t}{{e^-^u}* cos(t-u) du}[/mm] =
> [{e^-^u}*sin(t-u)]

Hier fehlt doch ein "-" ...

> - [mm]\integral_{0}^{t}{-{e^-^u}*sin(t-u) du}[/mm]
> = 0 - [mm]{e^0}[/mm] * sin (t) - [mm][{e^u}[/mm] * - cos(t-u)] =
> -sin(t)+{e^-^t} - cos (t)
>
> wo liegt mein fehler? was mache ich falsch?

Mal ohne Grenzen:

[mm]\red{\int{e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du}} \ = \ -e^{-u}\cdot{}\sin(t-u) \ - \ \int{e^{-u}\cdot{}\sin(t-u) \ du} \ [/mm]

[mm]= \ -e^{-u}\cdot{}\sin(t-u) \ - \ \left( \ \left[e^{-u}\cdot{}\cos(t-u)\right] \ - \ \int{-e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du} \ \right)[/mm]

[mm]= \ -e^{-u}\cdot{}\sin(t-u) \ - \ e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ - \ \int{e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du} \ [/mm]

Also [mm]\red{\int{e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du}} \ =\ -e^{-u}\cdot{}\left[\sin(t-u) \ + \ \cos(t-u)\right] \ - \ \red{\int{e^{-u}\cdot{}\cos(t-u) \ du}} \ [/mm]


Jetzt nach dem roten Integral umstellen und danach auflösen ...

Gruß

schachuzipus



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