Faltungsprobleme < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Fr 09.01.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Seien im Folgenden [mm] $X_1$ [/mm] und$ [mm] X_2$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen. Bestimmen sie jeweils die Verteilung von [mm] X_1+X_2.
[/mm]
$a) [mm] X_i,i=1,2,$ [/mm] ist poisson-verteilt zum Parameter$ [mm] \lambda_i [/mm] >0$
$b) [mm] X_i,i=1,2, [/mm] $ist exponentialverteilt zum Parameter$ [mm] \lambda_i [/mm] >0$
$c) [mm] X_i,i=1,2, [/mm] $ist Laplace-verteilt auf [mm] $\{1,...,n\},$wobei$ [/mm] n [mm] \in \IN$
[/mm]
$d) [mm] X_i [/mm] , i=1,2, $ist auf $[0,a] $mit $a > 0$ gleichverteilt
Hinweis zu $b). $Für $a,b>0$ heißt die durch die Dichte$ [mm] g_{a,b}(x)= \frac{b^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-bx}1_{[0,\infty)}(x)$ [/mm] gegebene Verteilung Gammaverteilung.Dabei bezeichnet [mm] $\Gamma(a) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{a-1}*e^{-x} dx} [/mm] $die Gammafunktion. |
ich könnte kotzen ich bekomme nichts von dieser Aufgabe hin. Ich fühle mich so verarscht von meinem Gehirn das ist unfassbar!!
$a) [mm] P(X_1+X_2=k)= \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l, X_2=l) [/mm] = [mm] \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l)*P( X_2=l) [/mm] = [mm] e^{-\lambda}*\frac{\lambda^{k-l}}{(k-l)!}* e^{-\lambda}*\frac{\lambda^{l}}{(l)!}.$
[/mm]
Erstes gleicheitszeichen Faltungsformel
2. Glheiteszeichen Stoch.Unab.
3. Zurückeingesetzt
ist dsa so richtig?
so b,c,d hab ich no fucking clue.. unfassbar!
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Hiho,
> [mm]a) P(X_1+X_2=k)= \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l, X_2=l) = \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l)*P( X_2=l) = e^{-\lambda}*\frac{\lambda^{k-l}}{(k-l)!}* e^{-\lambda}*\frac{\lambda^{l}}{(l)!}.[/mm]
Deine Summe sollte bei $l=0$ beginnen anstatt bei l=1, dann hast du im letzten Schritt das Summenzeichen vergessen, und dann solltest du weiter vereinfachen.
Die c) kannst du genauso machen, mach mal!
d) und b) machen wir danach.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Fr 09.01.2015 | | Autor: | LGS |
$ a) [mm] P(X_1+X_2=k)= \summe_{l=0}^{k}P(X_1=k-l, X_2=l) [/mm] = [mm] \summe_{l=0}^{k}P(X_1=k-l)\cdot{}P( X_2=l) [/mm] = [mm] \summe_{l=0}^{k}e^{-\lambda_1}\cdot{}\frac{\lambda_1^{k-l}}{(k-l)!}\cdot{} e^{-\lambda_2}\cdot{}\frac{\lambda_2^{l}}{(l)!}= e^{(-\lambda_1+-\lambda_2)}\summe_{l=0}^{k} \lambda_2^{l}*\lambda_1^{k-l}*\frac{1}{l!*(k-l)!}= e^{(-\lambda_1+-\lambda_2)}\summe_{l=0}^{k} \lambda_2^{l}*\lambda_1^{k-l}*\frac{1}{l!*(k-l)!}*\frac{k!}{k!}=e^{(-\lambda_1+-\lambda_2)}\summe_{l=0}^{k} \lambda_2^{l}*\lambda_1^{k-l}*\frac{k!}{l!*(k-l)!}*\frac{1}{k!}= e^{(-\lambda_1+-\lambda_2)}\summe_{l=0}^{k} \binom{k}{l} \lambda_2^{l}*\lambda_1^{k-l}*\frac{1}{k!}= e^{(-\lambda_1+-\lambda_2)}*\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}$
[/mm]
also ich habe das e nach vorne gezogen ,bisschen umgeformt ,eine nahhafte $0$ mit [mm] $\frac{k!}{k!}$ [/mm] (neutrales element) inder Mult. und dann Binomischer lehrsatz.
$c) [mm] P(X_1+X_2=k)= \summe_{l=0}^{k}P(X_1=k-l, X_2=l) [/mm] = [mm] \summe_{l=0}^{k}P(X_1=k-l)\cdot{}P( X_2=l) [/mm] = [mm] \summe_{l=0}^{k} \frac{1}{(\Omega)^{k-l}}*\frac{1}{(\Omega)^{l}}= \summe_{l=0}^{k} \frac{1}{(\Omega)^{k}}*1= \frac{1}{(\Omega)^{k}}*\summe_{l=0}^{k}1=\frac{1}{(\Omega)^{k}}*k [/mm] = [mm] \frac{k}{(\Omega)^{k}}* [/mm] $
hier weis ich leider nicht ,ob das richtig ist. Sorry wenn da bullshit steht..:(
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hiho,
deine Umforumungen zur a) sind richtig. Verwende noch $e^{-\lambda_1 + - \lambda_2} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)$
Wie ist X_1 + X_2 nun also verteilt?
> hier weis ich leider nicht ,ob das richtig ist. Sorry wenn da bullshit steht..:(
Ja. Was soll denn $\bruch{1}{(\Omega)}$ sein bitteschön?
Da steht doch ganz klar: X_i ist Laplace verteilt auf $\{1,\ldots,n\}$.
Was ist also $P(X_i = k)$ für $k\in\{1,\ldots,n\}$?
Und welche Werte kann $X_1 + X_2$ annehmen?
Und: Bei der c) muss der Summationsindex wo anfangen?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Sa 10.01.2015 | | Autor: | LGS |
ja die Laplace Verteilung ist ja die diskrete Gleichverteilung
[mm] P(X_i=k):=\{k \in \IR : 1,...,n\}= \frac{1}{n} [/mm]
[mm] $P(X_1+X_2=k)= \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l, X_2=l) [/mm] = [mm] \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l)\cdot{}P( X_2=l) [/mm] = [mm] \summe_{l=1}^{k} \frac{1}{n^{k-l}}\cdot{}\frac{1}{n^{l}}= \summe_{l=1}^{k} \frac{1}{n^{k}}\cdot{}1= \frac{1}{n^{k}}\cdot{}\summe_{l=1}^{k}1=\frac{1}{n^{k}}\cdot{}k [/mm] = [mm] \frac{k}{n^{k}}$
[/mm]
ist sie das denn nicht?
zur a noch
[mm] $e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\cdot{}\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!} [/mm] $
ist wieder poisson-verteilt!:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:15 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo LGS!
> [mm]e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\cdot{}\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}[/mm] ist wieder poisson-verteilt!:)
zum Parameter [mm] \lambda_1+\lambda_2.
[/mm]
> ja die Laplace Verteilung ist ja die diskrete Gleichverteilung
>
> [mm]P(X_i=k):=\{k \in \IR : 1,...,n\}= \frac{1}{n}[/mm]
[mm] \{k \in \IR : 1,...,n\} [/mm] macht keinen Sinn! Es ist
[mm] P(X_i=k)=\frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] k\in\{1,\ldots,n\}.
[/mm]
> [mm]P(X_1+X_2=k)= \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l, X_2=l) = \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l)\cdot{}P( X_2=l) = \summe_{l=1}^{k} \frac{1}{n^{k-l}}\cdot{}\frac{1}{n^{l}}= \summe_{l=1}^{k} \frac{1}{n^{k}}\cdot{}1= \frac{1}{n^{k}}\cdot{}\summe_{l=1}^{k}1=\frac{1}{n^{k}}\cdot{}k = \frac{k}{n^{k}}[/mm]
Nein. Vielleicht wird es dir mit einem Beispiel klar: Wir werfen
zwei (fairen) Würfel. [mm] $X\$ [/mm] sei die Augenzahl des ersten und [mm] $Y\$ [/mm] die
Augenzahl des zweiten Wurfes. $Z:=X+Y%$ sie Summe. Nun ist z.B.
[mm] P(Z=1)=P(\emptyset)=0 [/mm] (Wieso?),
[mm] P(Z=3)=P(\{(1,2),(2,1)\})=\frac{2}{36} [/mm] (Beachte den Nenner!).
(Welche Werte kann [mm] $Z\$ [/mm] noch annehmen?)
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Di 13.01.2015 | | Autor: | LGS |
> Hallo LGS!
>
>
> >
> [mm]e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\cdot{}\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}[/mm]
> ist wieder poisson-verteilt!:)
>
> zum Parameter [mm]\lambda_1+\lambda_2.[/mm]
>
> > ja die Laplace Verteilung ist ja die diskrete
> Gleichverteilung
> >
> > [mm]P(X_i=k):=\{k \in \IR : 1,...,n\}= \frac{1}{n}[/mm]
>
> Wieso ist [mm]k\in\IR?[/mm] Es ist
>
> [mm]P(X_i=k)=\frac{1}{n}[/mm] für alle [mm]k\in\{1,\ldots,n\}.[/mm]
>
> > [mm]P(X_1+X_2=k)= \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l, X_2=l) = \summe_{l=1}^{k}P(X_1=k-l)\cdot{}P( X_2=l) = \summe_{l=1}^{k} \frac{1}{n^{k-l}}\cdot{}\frac{1}{n^{l}}= \summe_{l=1}^{k} \frac{1}{n^{k}}\cdot{}1= \frac{1}{n^{k}}\cdot{}\summe_{l=1}^{k}1=\frac{1}{n^{k}}\cdot{}k = \frac{k}{n^{k}}[/mm]
>
> Nein. Vielleicht wird es dir mit einem Beispiel klar: Wir
> werfen
> zwei (fairen) Würfel. [mm]X\[/mm] sei die Augenzahl des ersten und
> [mm]Y\[/mm] die
> Augenzahl des zweiten Wurfes. [mm]Z:=X+Y%[/mm] sie Summe. Nun ist
> z.B.
>
> [mm]P(Z=1)=P(\emptyset)=0[/mm] (Wieso?),
ja das müsste doch so sein das die kleinste Augenzahl ,weil die minimale Augenzahl pro Würfel 1 ist zusammen gefasst 2 und deshalb Z=0 nicht eintreten kann
>
> [mm]P(Z=3)=P(\{(1,2),(2,1)\})=\frac{2}{36}[/mm] (Beachte den
> Nenner!).
>
> (Welche Werte kann [mm]Z\[/mm] noch annehmen?)
ich mach's mal für
[mm]P(Z=4)=P(\{(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(1,3)\})=\frac{5}{36}[/mm]
Ich hab mal ne grafik datei angehangen
[Dateianhang nicht öffentlich]
es sieht sehr symetrisch aus .Es scheint mir das der Erwartungs wert 7 ist weil dort ,der Stab des Diagramms am höchsten ist.
Also $Z$ kann werte von $2$ bis $12$ annehmen . Formal [mm] $Z\in\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$
[/mm]
>
>
> Gruß
> DieAcht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:59 Mi 14.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> ich mach's mal für [mm]P(Z=4)=P(\{(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(1,3)\})=\frac{5}{36}[/mm]
Es ist aber [mm] $1+2=2+1=3\not=4$.
[/mm]
> Also [mm]Z[/mm] kann werte von [mm]2[/mm] bis [mm]12[/mm] annehmen .
Richtig. Sonst ist was?
> Formal [mm]Z\in\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}[/mm]
[mm] $Z\$ [/mm] ist eine Zufallsvariable und keine Menge!
Nochmal und zurück zur Aufgabe.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:49 Di 20.01.2015 | | Autor: | LGS |
sorry das ich so spät antwort. Hatte zu viel in der Analysis zu tun... ;)
es ist ja erstmal die diskrete gleichverteilung,wie schon oben festgehalten und des halb ist die formel
$ [mm] P(X_i=k):=\{\frac{1}{n} : \forall k\in\{1,\ldots,n\}\}. [/mm] $
also z.bsp
$ [mm] P(X_1=k):=\{\frac{1}{n} : \forall k\in\{1,\ldots,n\}\}. [/mm] $
$ [mm] P(X_2=l):=\{\frac{1}{n} : \forall l\in\{1,\ldots,n\}\}. [/mm] $
bei zweifachen würfelwurf isses ja dann
[mm] $P(X_1+X_2=m) [/mm] $ für alle $m [mm] \in \{2,...,2n\} [/mm] $ mit $ k+l=m$
jetzt würde ich gerne die Faltungs formel für diskrete ZF anwenden ,die muss dann aber ja von $2 $bis $2n$ laufen für den rest ist die$ 0$,aber wie schreibe ich sowas auf?
lieben gruß
LGS
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Di 20.01.2015 | | Autor: | LGS |
ich hab mir gerade nochmal altklausuren an geguckt und verzweifel irgendwie ,weil es nicht in meinen Kopf rein geht,wie man nun so zwei Zufallsvarialen faltet. Das kann doch nicht irgendwie soschwer sein...:/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 22.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:18 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> eine nahhafte [mm]0[/mm] mit [mm]\frac{k!}{k!}[/mm] (neutrales element)
In [mm] \IR [/mm] ist das neutrale Element der Addition die Null und das
neutrale Element der Multiplikation die Eins. Du hast hier das
neutrale Element der Multiplikation benutzt.
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