Faltungstheorem- Anwendung < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:59 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Lablass |
| Aufgabe | Gesucht ist das Faltungsprodukt von 2 periodischen Funktionen f und g. Die Fourierentwicklungen liegen vor (s.u.).
Auch die Fourierentwicklung der Ergebnisfunktion f*g ist bekannt (s.u.).
Das Faltungstheorem ist anzuwenden.
Das selbst errechnete Ergebnis ist auf Übereinstimmung zu prüfen. |
Hallo! (Zum Vergleich kann das Produkt der beiden Funktionen für ausreichend viele Werte auf der x-Achse (wt-Achse) mit einer Tabellenkalkulation ausgerechnet und als Ergebniskurve graphisch dargestellt werden.
Achtung: mit der Tabellenkalkulation werden nur Funktionswerte (!) über der Zeit ausgerechnet (Zeitbereich), aber nicht die Fourierkoeffizienten der Ergebnisfunktion (Frequenzbereich)!! Diese bekomme ich nur mit der Faltung).
Meine Frage:
Wodurch entsteht die Unvereinbarkeit in den Ergebnissen :
Die Fourierkoeff. der Ergebnisfunktion (=Faltungsprodukt) nach meiner Berechnung ergeben nicht das Funktionsbild über der Zeit wie die Tabellenkalkulation! -->Warum ??
Die 2 Funktionen sind:
f= sinx
g= 1/2 + [mm] 2/\pi [/mm] (sin x + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x +...) .
Zur Erläuterung: f=sinx ist die Fourierreihe eines reinen Sinus, wobei alle anderen Koeff. der Fourier-Entwicklung gleich Null sind.
g ist eine Rechteckfunktion, die auf die x-Achse hochgeschoben (+1) und dann auf Ampl. 1 normiert wurde (*0.5). Sie hat also einen Gleichanteil (1/2).
Wenn ich nun die beiden Funktionen in der Tabellenkalkulation multipliziere, für ausreichend viele x-Werte, z.B. delta x= 0,1 von 0 bis 2 Pi, so bekomme ich erwartungsgemäß als Ergebnis die positive Halbwelle des Sinus, während der Rest der Periode Null ist. (usw., periodisch).
Dies entspricht der visuellen Darstellung der Einweggleichrichtung eines Sinussignals in der Elektrotechnik.
Die Reihenentwicklung hierfür lautet: [mm] y=1/\pi [/mm] + 1/2 sinx [mm] -2/\pi(cos2x/1*3 [/mm] + cos4x/3*5 + cos6x/5*7 + ...) .
Dies kann man in gängigen Tabellenbüchern nachlesen.
Wenn ich nun das Faltungstheorem auf f und g anwende (Ausmultiplizieren der Koeffizienten und Bildung einer neuen Reihe), (allgem. Darstellung hierzu wikipedia "Faltung peroidischer Funktionen") ,
komme ich unter keinen Umständen, wie ich auch immer die Berechnung wiederhole, auf die erwiesenen Fourierkoeffezienten von y (s.o.), die man hier ja leicht herauslesen kann, sondern immer nur auf [mm] 2/\pi(sinx [/mm] + cosx), was es ja nicht sein kann.
O.g. sind ja einfache Beispiele. Wenn es hier schon nicht stimmt, brauche ich es für kompliziertere Funktionen gar nicht erst zu versuchen.
Wo liegt also mein Fehler bei der Anwendung des Faltungstheorems?
Bitte um Nachrechnung und Angabe des korrekten Algorithmus !
Bei Rückfragen: bis dann!
Gruß L.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Fr 28.01.2011 | | Autor: | chrisno |
> Wenn ich nun die beiden Funktionen in der
> Tabellenkalkulation multipliziere, für ausreichend viele
> x-Werte, z.B. delta x= 0,1 von 0 bis 2 Pi, so bekomme ich
> erwartungsgemäß als Ergebnis die positive Halbwelle des
> Sinus, während der Rest der Periode Null ist. (usw.,
> periodisch).
Das würde ich aber nicht erwarten. Das würde ja nur bei einer punktweisen Multiplikation herauskommen, aber nicht bei einer Faltung.
Wenn Du das in der Tabellenkalkulation machen willst, dann so:
nimm von der Rechteckfunktion zwei Perioden.
Nimm von der Sinusfunktion eine Periode, plaziere sie neben der zweiten Periode der Rechteckfunktion.
Stell ein Ergebnisregister beriet, also eine Satz Zellen, in denen Du die Ergebnisse der folgenden Rechnungen aufaddierst. Dieses benötigt nur die Länge einer Periode.
Plaziere dies neben der Sinusfunktion.
Nun geht es los: Multipliziere die Werte der Zellen der Sinusfunktion und des danebenstehenden Teils der Rechteckfunktion. Addiere die Ergebnisse in die nebenstehenden Zellen des Ergebnisregisters.
Nun verschiebe die Rechteckfunktion um eine Zelle. Multipliziere und Addiere. Verschieb wieder, Multipliziere und Addiere. Verschieben .... so lange, bis Du eine Periode abgearbeitet hast.
Dann fehlt noch die Normierung, aber das ist im Moment nicht so wichtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Lablass |
(Konkretisierung):
Vielen Dank für die Aufnahme des Problems.
Der beschriebene Weg (chrisno) ist eine Simulation der Faltung mit der Tab-Kalk.
(Faltung ist also demnach etwas anderes als punktweise Multiplikation der Funktionswerte. Faltung heißt Verschiebung einer Funktion über die andere und Multiplikation der jeweiligen Werte, und Addition). Das ist klar.
Allerdings ist das nicht genau meine Fragestellung!
Es geht darum, mit dem Faltungstheorem anhand der 2 real vorliegenden Funktionen (Sinus und hochgeschobenes Rechteck) das Faltungsprodukt f*g zu errechnen.
D.h., es sind die Fourierkoeffizienten der Ergebnisfunktion zu ermitteln!
Ich bitte um Rechenvorschläge, oder noch besser um ein Ergebnis.
Das Faltungstheorem besagt, daß man durch Multiplikation der
(komplexen) Koeffizienten die Koeffizienten der Ergebnisfunktion erhält.
Was also kommt bei den gegebenen Fourierreihen (s. Aufgabenstellung) dabei heraus???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Sa 29.01.2011 | | Autor: | chrisno |
Ohne das ich nun nachrechne, wenn Du etwas Falsches erwartest, könnte es doch sein, dass Du richtig gerechnet hast und das nur nicht merkst.
Übrigens ist meine Beschreibung der Durchführung der Faltung auch noch falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Lablass |
Wie lautet das Ergebnis?
L.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mo 31.01.2011 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du die allgemeine Aufmerksamkeit haben willst, ist es besser, wieder Fragen zu stellen. Meine Anmerkung von Gestern scheint verloren gegangen zu sein. Du kommst auf $ [mm] 2/\pi(sinx [/mm] + cosx)$. Das rechne mal vor, denn ich sehe nicht, wie der cos Term dazukommt. Ansonsten geht das Ergebnis in die richtige Richtung. Du meinst, es sollte $ [mm] y=1/\pi [/mm] + 1/2 sinx [mm] -2/\pi(cos2x/1\cdot{}3 [/mm] + cos4x/3*5 + cos6x/5*7 + ...)$ herauskommen. Damit liegst Du falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Di 01.02.2011 | | Autor: | Lablass |
Ja, danke für den Tip. Als (neue) Frage kann ich das jetzt aber schlecht formulieren, es ist erstmal wieder eine Mitteilung:
Langsam glaube ich jetzt auch, daß ich den Rechenalgorithmus zwar richtig angehe, nur aber andere und demnach falsche Ergebnisse erwarte.
Das würde ja nur bedeuten, daß ich die FALTUNG von f und g [mm] (f\otimesg) [/mm] immer noch
verwechsele mit der Multiplikation der Fkt-Werte von f und g (f [mm] \odot [/mm] g).
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Hier die Erläuterung meiner Rechnung:
In Wikipedia: Faltung --> Faltung periodischer Funktionen steht der einzige brauchbare Artikel, den ich gefunden habe. Hieraus kann man eine praktisch anwendbare Berechnung ableiten.
Wenn f(t)= [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{njwt}
[/mm]
und g(t)= [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} d_{n} e^{njwt} [/mm] , dann ist:
(f*g)(t) = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} d_{n} e^{njwt} [/mm] ,
wobei [mm] e^{njwt}= [/mm] cos nwt +jsin nwt .
[mm] c_{n} [/mm] möchte ich nun schreiben als [mm] \vektor{a_{n} \\ b_{n}}, [/mm] sowie
[mm] d_{n} [/mm] als [mm] \vektor{e_{n} \\ h_{n}} [/mm] .
Das sind skalare Vektoren, und a und b sind die Koeffizienten der cos- und sin- Anteile einer allgemeingültigen Fourierreihe f(t) , und e und h desgleichen für g(t).
Ihr "Pythagoraswert" ergibt dann die jeweilige Länge des komplexen Zeigers der zugehörigen Ordnungszahl (Oberwelle).
D.h., [mm] Betrag(c_{n})=\wurzel{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} [/mm] .
Und [mm] Betrag(d_{n})=\wurzel{e_{n}^{2}+h_{n}^{2}} [/mm] .
((e und h habe ich nur gewählt, weil f und g ja schon vergeben sind)).
Nun brauche ich nur noch je eine Tabelle zur Berechnung der Vektoren
[mm] c_{n} [/mm] und [mm] d_{n} [/mm] aufzustellen, und dann die (skalaren) Ergebnisse für [mm] c_{n} [/mm] und [mm] d_{n} [/mm] zu multiplizieren (s. Faltungstheorem wikipedia), und dann habe ich die
komplexe Fourierreihe des Faltungsproduktes :
Wenn jetzt f(t)= 1/2 + 2/pi (sin wt + 1/3 sin 3wt + 1/5 sin 5wt + ...) und
g(t)= sin wt, also g= 0 + (sin wt +0 +0 ...) ist, dann:
f: . n [mm] a_{n}.............................b_{n}........................... c_{n} [/mm] (s.o.)
0 0 1/2 1/2
1 0 2/ [mm] \pi [/mm] .. 2/ [mm] \pi
[/mm]
2 0 0 0
3 0 [mm] 2/3\pi [/mm] .... [mm] 2/3\pi
[/mm]
4 0 0 0
5 0 [mm] 2/5\pi [/mm] .... [mm] 2/5\pi
[/mm]
g:.. n [mm] e_{n}.........................h_{n}............................d_{n}
[/mm]
0 0 0 0
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0
==> [mm] c_{0}\odot d_{0}=0
[/mm]
[mm] c_{1}\odot d_{1}=2/\pi\odot [/mm] 1 [mm] =2/\pi [/mm]
[mm] c_{2}\odot d_{2}=0
[/mm]
usw.
[mm] ==>f\otimesg=2/\pi\odot e^{jwt} [/mm] = [mm] 2/\pi [/mm] (coswt + j sinwt),
also im realen Zeitbereich [mm] 2/\pi [/mm] coswt + [mm] 2/\pi [/mm] sinwt.
Dieses Ergebnis ist, wie man sieht, nicht die Fourierreihe der Halbsinus-Funktion, sondern nur wieder ein phasenverschobener Sinus als Summenfunktion, also sinus omega-t plus phi.
Jetzt könnte ich eine Frage daraus machen, z.B.: Ist dieses Ergebnis überhaupt richtig, und wie muß ich das interpretieren (vorausgesetzt, ich habe mich nicht total verrechnet)?
Gruß L.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Di 01.02.2011 | | Autor: | chrisno |
> Ja, danke für den Tip. Als (neue) Frage kann ich das jetzt
> aber schlecht formulieren, es ist erstmal wieder eine
doch, einfach Frage mit Bezug auf das Bisherige.
> Mitteilung:
> Langsam glaube ich jetzt auch, daß ich den
> Rechenalgorithmus zwar richtig angehe, nur aber andere und
> demnach falsche Ergebnisse erwarte.
> Das würde ja nur bedeuten, daß ich die FALTUNG von f und
> g [mm](f\otimesg)[/mm] immer noch
> verwechsele mit der Multiplikation der Fkt-Werte von f und
> g (f [mm]\odot[/mm] g).
Bei meiner Darstellung des Algrithmus habe ich einen Schritt vergessen. Ich habe nämlich auch punktweise multiplizert. Entscheidend ist folgendes:
Nimm einen Punkt der Sinus-Funktion. Da Du eine Rechteckfunktion hast, trage diesen Wert an allen Stellen ein, an denen die Rechteckfunktion auf 1 ist. Mache das mit jedem Punkt der Sinusfunktion. Danach verschiebst Du das Rechteck um eine Stelle. Und wieder jeden Punkt auf das Ganze Rechteck verteilen. Dieses Verteilen hatte ich vergessen. Genau das macht die Faltung aus.
Wenn Du Dir das überlegst, dann kommt da der Sinus unversehrt wieder raus.
> -----------
> ==> [mm]c_{0}\odot d_{0}=0[/mm]
> [mm]c_{1}\odot d_{1}=2/\pi\odot[/mm]
> 1 [mm]=2/\pi[/mm]
> [mm]c_{2}\odot d_{2}=0[/mm]
> usw.
> [mm]==>f\otimesg=2/\pi\odot e^{jwt}[/mm] = [mm]2/\pi[/mm] (coswt + j sinwt),
> also im realen Zeitbereich [mm]2/\pi[/mm] coswt + [mm]2/\pi[/mm] sinwt.
[mm] c_n [/mm] und [mm] d_n [/mm] sind doch komplexe Zahlen. So wie Du es aufgeschrieben hast, sind sie rein imaginär. Damit kann kein cos Term entstehen und der einsame Simus bleibt übrig.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:33 Mi 02.02.2011 | | Autor: | Lablass |
| Aufgabe | | ...die Aussage falsch, daß die Fourierkoeffizienten des Faltungsprodukts die gewöhnlichen komponentenweisen Produkte der Koeffizienten von f und g sind. |
nee, cn und dn sind keine komplexen Zahlen, denn sie sind nur die Koeffizienten von der Funktion f oder g. Sie sind skalare Vektoren, also nur Zahlen,
die jeweils dem cos- und sin- Anteil der Funktion zugeordnet sind.
Sie bestimmen, wie schon gesagt, die Länge des Vektors der jeweiligen Ordnungszahl, also Oberschwingung, mit Pythagoras.
So hat jede Oberschwingung ihre eigene Amplitude (Wurzel a Quadrat plus B Quadrat) und ihre eigene Umlauffrequenz (n mal Omega t).
Die komplexe Zahl besteht aus der Multiplikation der Längenkoeffizienten mit der e-Funktion, die für sich den Einheitsvektor darstellt.
Wenn cn und dn auch noch komplex wären, so käme nur Blödsinn dabei heraus. Das habe ich auch schon alles ausprobiert.
z.B. cn=(an + jbn) , und das noch mal (cosx + jsinx ),
Dafür gibt es aber keinen logischen Grund.
Deshalb Blödsinn, weil bn ja schon dem jsinx zugeordnet ist, usw.
Es sind also doch nur skalare Vektoren.
Vektoren, die [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] heißen, und der Operand e hoch jnwt heißt.
D.h., die Inhalte des Vektors sind die Koeffizienten von cos nwt und
jsin nwt.
L.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 03.02.2011 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du da so sicher bist, dann überlasse ich das Problem anderen. Nur ein Hinweis: aus Deinem Argument folgt, dass die Koeffizeinten für sin nx und cos nx immer gleich groß sind.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Fr 04.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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