Familie von Mengen 2 < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Do 18.04.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | $P$ sei die Menge der Primzahlen. Man betrachte die Menge der natürlichen Zahlen $B = [mm] \{n \in \IN: (\exists p \in P) (\exists q \in P)(p \not = q \wedge n = p \cdot q)\}$. [/mm] Man definiere folgende Familie von Mengen: [mm] $\mathcal{A} [/mm] = [mm] \{A \in P(B): (\exists p \in P) (\forall x \in A) p|x\}.$
[/mm]
Beweise [mm] $\bigcap \mathcal{A} [/mm] = [mm] \emptyset$, [/mm] dabei ist [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] keine paarweise disjunktive Familie von Mengen. Vielmehr haben alle zwei Mengen, die zu [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] gehören einen nicht leeren Durchschnitt. Alle drei unterschiedliche Mengen der Familie haben jedoch kein gemeinsames Element. |
$B$ enthält folgende Elemente: $2 [mm] \cdot [/mm] 3 = 6$, $3 [mm] \cdot [/mm] 5 = 15$, $5 [mm] \cdot [/mm] 7 = 35$, $77$, $143$, $221$, ... Die Mengen der Familie sind z.B. [mm] $\{6\}, \{15\}, \{6,15\}, \{35\}$. $\{6\} \cap \{15\} [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Das widerspricht der Aufgabenstellung. Habe ich einen Denkfehler oder ist die Aufgabe falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 18.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]P[/mm] sei die Menge der Primzahlen. Man betrachte die Menge der
> natürlichen Zahlen [mm]B = \{n \in \IN: (\exists p \in P) (\exists q \in P)(p \not = q \wedge n = p \cdot q)\}[/mm].
> Man definiere folgende Familie von Mengen: [mm]\mathcal{A} = \{A \in P(B): (\exists p \in P) (\forall x \in A) p|x\}.[/mm]
>
> Beweise [mm]\bigcap \mathcal{A} = \emptyset[/mm], dabei ist
> [mm]\mathcal{A}[/mm] keine paarweise disjunktive Familie von Mengen.
> Vielmehr haben alle zwei Mengen, die zu [mm]\mathcal{A}[/mm]
> gehören einen nicht leeren Durchschnitt. Alle drei
> unterschiedliche Mengen der Familie haben jedoch kein
> gemeinsames Element.
> [mm]B[/mm] enthält folgende Elemente: [mm]2 \cdot 3 = 6[/mm], [mm]3 \cdot 5 = 15[/mm],
> [mm]5 \cdot 7 = 35[/mm], [mm]77[/mm], [mm]143[/mm], [mm]221[/mm], ...
Ich hab keine Ahnung, was Du mit ..... meinst. In obiger Aufzählung fehlt [mm] z_B. [/mm] 21=3*7 oder auch 10=2*5, ....
> Die Mengen der Familie
> sind z.B. [mm]\{6\}, \{15\}, \{6,15\}, \{35\}[/mm]. [mm]\{6\} \cap \{15\} = \emptyset[/mm].
> Das widerspricht der Aufgabenstellung. Habe ich einen
> Denkfehler oder ist die Aufgabe falsch?
Ich denke die Aufgabe ist nicht korrekt gestellt.
FRED
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