Familie von Mengen 3 < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Do 18.04.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | [mm] $\{A_i: i \in I\}$ [/mm] und [mm] $\{B_i: i \in I\} [/mm] sind indizierte Familien von Mengen. Zeige:
[mm] $(\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] )(A_i \subseteq B_i) \Rightarrow \bigcup_{i \in I} A_i \subseteq \bigcup_{i \in I} B_i$. [/mm] |
Sei $x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow (\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I)(x [mm] \in A_i)$. [/mm]
Hier fängt schon leider mein Problem an. Ich verstehe das zwar anschaulich, aber bin mir nicht sicher wie ich es formal richtig ausdrücken kann. Ich versuche "irgendwie" aber trozdem.
Für [mm] $(\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I)(x [mm] \in A_i)$ [/mm] setze ich [mm] $i_0 \in [/mm] I$ ein also [mm] $(\exists i_0 \in [/mm] I)(x [mm] \in A_{i_0})$. [/mm] Diese Aussageform ist für alle Elemente der Menge [mm] $A_{i_0}$ [/mm] wahr und nur für diese. Ich weiß aber, dass [mm] $(\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] )(A_i \subseteq B_i)$ [/mm] also auch für mein [mm] $i_0 \in [/mm] I$. Das bedeutet, alle $x [mm] \in A_{i_0}$ [/mm] liegen in [mm] $B_{i_0}$. [/mm] Die Aussageform [mm] $(\exists i_0 \in [/mm] I)(x [mm] \in B_{i_0})$ [/mm] wird für alle Elemente der Menge [mm] $A_{i_0}$ [/mm] wahr. Da [mm] $i_o$ [/mm] beliebiges $i [mm] \in [/mm] I$, kann ich nur [mm] $(\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I)(x [mm] \in B_i)$ [/mm] schreiben d.h. [mm] $\bigcup_{i \in I} B_i$. [/mm]
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Do 18.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]$\{A_i: i \in I\}$[/mm] und [mm]$\{B_i: i \in I\}[/mm] sind indizierte
> Familien von Mengen. Zeige:
> [mm](\forall i \in I )(A_i \subseteq B_i) \Rightarrow \bigcup_{i \in I} A_i \subseteq \bigcup_{i \in I} B_i[/mm].
>
> Sei [mm]x \in \bigcup_{i \in I} A_i \Leftrightarrow (\exists i \in I)(x \in A_i)[/mm].
>
> Hier fängt schon leider mein Problem an. Ich verstehe das
> zwar anschaulich, aber bin mir nicht sicher wie ich es
> formal richtig ausdrücken kann. Ich versuche "irgendwie"
> aber trozdem.
>
> Für [mm](\exists i \in I)(x \in A_i)[/mm] setze ich [mm]i_0 \in I[/mm] ein
> also [mm](\exists i_0 \in I)(x \in A_{i_0})[/mm]. Diese Aussageform
> ist für alle Elemente der Menge [mm]A_{i_0}[/mm] wahr und nur für
> diese.
den letzten Satz verstehe ich inhaltlich nicht!
> Ich weiß aber, dass [mm](\forall i \in I )(A_i \subseteq B_i)[/mm]
> also auch für mein [mm]i_0 \in I[/mm]. Das bedeutet, alle [mm]x \in A_{i_0}[/mm]
> liegen in [mm]B_{i_0}[/mm]. Die Aussageform [mm](\exists i_0 \in I)(x \in B_{i_0})[/mm]
> wird für alle Elemente der Menge [mm]A_{i_0}[/mm] wahr. Da [mm]i_o[/mm]
> beliebiges [mm]i \in I[/mm], kann ich nur [mm](\exists i \in I)(x \in B_i)[/mm]
> schreiben d.h. [mm]\bigcup_{i \in I} B_i[/mm].
Ich denke, Du meinst das richtig, aber der Aufschrieb ist echt schwer durchschaubar. So
grob gesagt denke ich, dass Du viel zu kompliziert denkst, und tatsächlich eigentlich sowas
machst:
"Sei $x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_i\,.$ [/mm] Dann ist die Menge [mm] $J(x):=\{i \in I: x \in A_i\}$ [/mm] nicht leer. Für alle $j [mm] \in [/mm] J(x)$ gilt also
$x [mm] \in A_j\,.$ [/mm] Wählen wir irgendein [mm] $i_0 \in J(x)\,,$ [/mm] so folgt ..."
Sowas kann man machen, macht das Ganze aber etwas schwerer verständlich. Und inhaltlich
machen wir nichts anders, wenn wir es einfach so aufschreiben:
Sei $x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_i$ [/mm] beliebig. Dann existiert nach Definition der Vereinigung [mm] $\bigcup_{i \in I} A_i$ [/mm] folglich
ein [mm] $i_0 \in [/mm] I$ mit $x [mm] \in A_{i_0}\,.$ [/mm] Wegen [mm] $A_{i_0} \subseteq B_{i_0}$ [/mm] folgt aus $x [mm] \in A_{i_0}$ [/mm] somit auch $x [mm] \in B_{i_0}\,.$ [/mm] Wegen [mm] $B_{i_0} \subseteq \bigcup_{i \in I}B_i$ [/mm]
[mm] $\text{(}\,$man [/mm] beachte [mm] $i_0 \in [/mm] I$ - oder ausführlicher:
[mm] $\{i_0\} \subseteq [/mm] I [mm] \;\;\Longrightarrow\;\; \underbrace{\;\;\bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;}_{=B_{i_0}} \subseteq \bigcup_{i \in I}B_i\,\text{ )}$ [/mm]
folgt sodann auch
$$x [mm] \in \bigcup_{i \in I}B_i\,.$$
[/mm]
Da $x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_i$ [/mm] beliebig war, gilt diese Argumentationskette auch für jedes $x [mm] \in \bigcup_{i \in I}A_i\,,$
[/mm]
d.h.
[mm] $$\forall [/mm] x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_i\;\;\;\Longrightarrow\;\;\;x \in \bigcup_{i \in I} B_i\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\bigcup_{i \in I} A_i \subseteq \bigcup_{i \in I} B_i\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke, super erklärt. Dabei wird aber unbewiesenes Wissen verwendet nämlich:
1. $B_{i_0} = \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;}$
2. $ \{i_0\} \subseteq I \;\;\Longrightarrow\;\; {\;\;\bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;} \subseteq \bigcup_{i \in I}B_i\,\text{ )} $
Ich weiß, dass es "selbstverständlich" ist und erfahrene Mathematiker so was im Schlaf beweisen können aber ich möchte es trotzdem beweisen :D.
Beweis 1:
$\Rightarrow$:
Sei $x \in B_{i_0} \Rightarrow (\exists i_0)x \in B_{i_0} \Rightarrow (\exists i_0 \in \{i_0\})x \in B_{i_0}$. Wie mache ich das weiter? Wenn ich das erste $i_0$ anders benenne z.b. als $i$, wird trotzdem $i_0 = i$ gelten, also $\Rightarrow (\exists i \in \{i_0\})x \in B_i \Leftrightarrow \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;}$.
$\Leftarrow$:
Sei $x \in \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i \Leftrightarrow (\exists i_0 \in \{i\})x \in B_i$. Wenn $i \in \{i_0\}$, dann $i = i_0$ also $(\exists i_0 \in \{i_0\}) x \in B_{i_0} \Rightarrow (\exists i_0)x \in B_{i_0} \Rightarrow x \in B_{i_0}$.
Beweis 2:
Sei $x \in {\;\;\bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;} \Leftrightarrow (\exists i \in \{i_0\})x \in B_i$. Aber $i \in I$ wegen $ \{i_0\} \subseteq I$ also $(\exists i \in I) x \in B_i \Leftrightarrow x \in \bigcup_{i \in I} B_i$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, super erklärt. Dabei wird aber unbewiesenes Wissen
> verwendet nämlich:
>
> 1. [mm]B_{i_0} = \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;}[/mm]
das ist aber trivial wegen $i [mm] \in \{i_0\} \iff i=i_0\,.$ [/mm] ( Von mir aus beweise
dann auch noch diese Äquivalenz!  )
> 2. [mm]\{i_0\} \subseteq I \;\;\Longrightarrow\;\; {\;\;\bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;} \subseteq \bigcup_{i \in I}B_i\,\text{ )}[/mm]
Verallgemeinern wir das: Sind $M,N [mm] \subseteq [/mm] I$ für eine mit [mm] $I\,$ [/mm] indizierte Familie
[mm] $\{B_i: i \in I\}$ [/mm] von Mengen, so gilt:
$$(M [mm] \subseteq [/mm] N) [mm] \Longrightarrow \left(\bigcup_{m \in M}B_m \subseteq \bigcup_{n \in N}B_n\right)\,.$$
[/mm]
> Ich weiß, dass es "selbstverständlich" ist und erfahrene
> Mathematiker so was im Schlaf beweisen können aber ich
> möchte es trotzdem beweisen :D.
Genau das finde ich aber gut, dass Du das nicht hinnimmst, sondern es
dann auch beweisen willst! (So ging's mir im Laufe des ganzen Studiums
auch immer ^^)
>
> Beweis 1:
> [mm]\Rightarrow[/mm]:
> Sei [mm]x \in B_{i_0} \Rightarrow (\exists i_0)x \in B_{i_0} \Rightarrow (\exists i_0 \in \{i_0\})x \in B_{i_0}[/mm].
> Wie mache ich das weiter? Wenn ich das erste [mm]i_0[/mm] anders
> benenne z.b. als [mm]i[/mm], wird trotzdem [mm]i_0 = i[/mm] gelten, also
> [mm]\Rightarrow (\exists i \in \{i_0\})x \in B_i \Leftrightarrow \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;}[/mm].
Ich sehe jetzt nicht, warum Du das so machst. Zu zeigen ist ja:
[mm] "$\subseteq$" [/mm] (nicht [mm] '$\Rightarrow$'): [/mm] Ist $x [mm] \in B_{i_0}\,,$ [/mm] so folgt $x [mm] \in \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\,.$
[/mm]
Sei dazu $x [mm] \in B_{i_0}\,.$ [/mm] Dann ist $x [mm] \in B_i$ [/mm] mit [mm] $i=i_0\,.$ [/mm] Also ist $x [mm] \in B_i$ [/mm] mit $i [mm] \in \{i_0\}$ [/mm] (deswegen der
Hinweis [mm] $i=i_0 \iff [/mm] i [mm] \in \{i_0\}\,$ [/mm] oben!). Insbesondere gilt also, dass ein $i [mm] \in \{i_0\}$ [/mm] mit $x [mm] \in B_i$ [/mm]
existiert, es folgt also $x [mm] \in \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i.$
[/mm]
(Da $x [mm] \in B_{i_0}$ [/mm] beliebig war, folgt [mm] $B_{i_0} \subseteq \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\,.$)
[/mm]
> [mm]\Leftarrow[/mm]:
Du meinst [mm] "$\supseteq$":
[/mm]
> Sei [mm]x \in \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i \Leftrightarrow (\exists i_0 \in \{i\})x \in B_i[/mm].
Nach dem [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] (ich würde hier übrigens nur eine Folgerungsrichtung,
nämlich [mm] $\Rightarrow$ [/mm] schreiben, denn unter anderem unterteilt man die Beweise
ja in Unterbeweise, um besser den Überblick zu behalten, ob die
Folgerungen alle in der jeweiligen Richtung auch gelten) meintest Du
natürlich [mm] "$\exists [/mm] i [mm] \in \{i_0\}$ [/mm] mit $x [mm] \in B_i\,.$"
[/mm]
Also:
$$x [mm] \in \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i \Rightarrow [/mm] x [mm] \in B_i \text{ für ein }i \in \{i_0\}\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{( }$Bzw. [/mm] anders formuliert:
$x [mm] \in \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i \Rightarrow \exists [/mm] i [mm] \in \{i_0\} \text{ mit }x \in B_i\,.\text{ )}$
[/mm]
Und jetzt benutze halt: $i [mm] \in \{i_0\} \Rightarrow i=i_0$ [/mm] und Du bist fertig -
aber ich sehe ja gerade, Du machst das ja:
> Wenn [mm]i \in \{i_0\}[/mm], dann [mm]i = i_0[/mm]
Mehr brauchst Du aber nicht: Wenn $x [mm] \in B_i$ [/mm] für $i [mm] \in \{i_0\}$ [/mm] ist, und dann
für $i [mm] \in \{i_0\}$ [/mm] schon [mm] $i=i_0$ [/mm] gelten muss, dann folgt doch $x [mm] \in B_{i_0}\,.$ [/mm] (Setze
bei $x [mm] \in B_i$ [/mm] einfach [mm] $i=i_0$ [/mm] ein!)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und wie gesagt, den anderen Beweis habe ich ein wenig verallgemeinert,
und dann beweise mal die verallgemeinerte Fassung:
Zu zeigen (unter den gegebenen Voraussetzungen):
$$(M [mm] \subseteq [/mm] N) [mm] \Longrightarrow \left(\bigcup_{m \in M}B_m \subseteq \bigcup_{n \in N}B_n\right)\,.$$
[/mm]
Sei $x [mm] \in \bigcup_{m \in M}B_m\,.$ [/mm] Dann ist $x [mm] \in B_m$ [/mm] für ein $m [mm] \in [/mm] M$ (anders gesagt: [mm] $\exists [/mm] m [mm] \in [/mm] M$ mit $x [mm] \in B_m$).
[/mm]
Wegen $M [mm] \subseteq [/mm] N$ folgt... (das bekommst Du sicher nun alleine auch
zu Ende geschrieben).
Und beachte: Für [mm] $i_0 \in [/mm] I$ gilt [mm] $\{i_0\} \subseteq I\,$ [/mm] - daher haben wir in der
allgemeineren Fassung insbesondere das bewiesen, was Du unter 2.
formuliert hast (deswegen halt "allgemeinere Fassung")!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> Hallo,
>
> > Danke, super erklärt. Dabei wird aber unbewiesenes Wissen
> > verwendet nämlich:
> >
> > 1. [mm]B_{i_0} = \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;}[/mm]
>
> das ist aber trivial wegen [mm]i \in \{i_0\} \iff i=i_0\,.[/mm] (
> Von mir aus beweise
> dann auch noch diese Äquivalenz! )
>
[mm] $\Rightarrow$:
[/mm]
$i$ ist Element der Mengen [mm] $\{i_0\}$, [/mm] die Menge hat aber nur ein Element, nämlich [mm] $i_0$ [/mm] also muss gelten $i = [mm] i_0$.
[/mm]
[mm] $\Leftarrow$
[/mm]
Wir können Elemente zu einer Mengen zusammenfassen. Dann ist offensichtlich [mm] $i_0 \in \{i_0\}$. [/mm] Wir wissen aber, dass $i = [mm] i_0$, [/mm] deshalb $i [mm] \in \{i_0\}$.
[/mm]
>
> Und wie gesagt, den anderen Beweis habe ich ein wenig
> verallgemeinert,
> und dann beweise mal die verallgemeinerte Fassung:
> Zu zeigen (unter den gegebenen Voraussetzungen):
> [mm](M \subseteq N) \Longrightarrow \left(\bigcup_{m \in M}B_m \subseteq \bigcup_{n \in N}B_n\right)\,.[/mm]
>
> Sei [mm]x \in \bigcup_{m \in M}B_m\,.[/mm] Dann ist [mm]x \in B_m[/mm] für
> ein [mm]m \in M[/mm] (anders gesagt: [mm]\exists m \in M[/mm] mit [mm]x \in B_m[/mm]).
>
> Wegen [mm]M \subseteq N[/mm] folgt... (das bekommst Du sicher nun
> alleine auch
> zu Ende geschrieben).
> Und beachte: Für [mm]i_0 \in I[/mm] gilt [mm]\{i_0\} \subseteq I\,[/mm] -
> daher haben wir in der
> allgemeineren Fassung insbesondere das bewiesen, was Du
> unter 2.
> formuliert hast (deswegen halt "allgemeinere Fassung")!
>
> Gruß,
> Marcel
Sei $x [mm] \in \bigcup_{m \in M}$ \Leftrightarrow $(\exists [/mm] m [mm] \in [/mm] M)x [mm] \in [/mm] B$. Da $M [mm] \subseteq [/mm] N$, gilt [mm] $(\exists [/mm] m [mm] \in [/mm] N)x [mm] \in B_m$. [/mm] Jetzt weiß ich nicht wie ich das ausdrücken soll. $m [mm] \in [/mm] N$ - das bedeutet, dass $m$ irgendein $n$ sein muss, da $n$ alle beliebige Elemente der Menge $N$ sind also [mm] $(\exists [/mm] n [mm] \in [/mm] N) x [mm] \in B_n \Leftrightarrow \bigcup_{n \in N} B_n$. [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > Danke, super erklärt. Dabei wird aber unbewiesenes Wissen
> > > verwendet nämlich:
> > >
> > > 1. [mm]B_{i_0} = \bigcup_{i \in \{i_0\}}B_i\;\;}[/mm]
> >
> > das ist aber trivial wegen [mm]i \in \{i_0\} \iff i=i_0\,.[/mm] (
> > Von mir aus beweise
> > dann auch noch diese Äquivalenz! )
> >
> [mm]\Rightarrow[/mm]:
> [mm]i[/mm] ist Element der Mengen [mm]\{i_0\}[/mm], die Menge hat aber nur
> ein Element, nämlich [mm]i_0[/mm] also muss gelten [mm]i = i_0[/mm].
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> Wir können Elemente zu einer Mengen zusammenfassen. Dann
> ist offensichtlich [mm]i_0 \in \{i_0\}[/mm]. Wir wissen aber, dass [mm]i = i_0[/mm],
> deshalb [mm]i \in \{i_0\}[/mm].
>
>
>
> >
> > Und wie gesagt, den anderen Beweis habe ich ein wenig
> > verallgemeinert,
> > und dann beweise mal die verallgemeinerte Fassung:
> > Zu zeigen (unter den gegebenen Voraussetzungen):
> > [mm](M \subseteq N) \Longrightarrow \left(\bigcup_{m \in M}B_m \subseteq \bigcup_{n \in N}B_n\right)\,.[/mm]
>
> >
> > Sei [mm]x \in \bigcup_{m \in M}B_m\,.[/mm] Dann ist [mm]x \in B_m[/mm] für
> > ein [mm]m \in M[/mm] (anders gesagt: [mm]\exists m \in M[/mm] mit [mm]x \in B_m[/mm]).
>
> >
> > Wegen [mm]M \subseteq N[/mm] folgt... (das bekommst Du sicher nun
> > alleine auch
> > zu Ende geschrieben).
> > Und beachte: Für [mm]i_0 \in I[/mm] gilt [mm]\{i_0\} \subseteq I\,[/mm]
> -
> > daher haben wir in der
> > allgemeineren Fassung insbesondere das bewiesen, was Du
> > unter 2.
> > formuliert hast (deswegen halt "allgemeinere Fassung")!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Sei [mm]x \in \bigcup_{m \in M}[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](\exists m \in M)x \in B[/mm].
Da meinst Du wohl:
Sei [mm]x \in \bigcup_{m \in M}B_m[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](\exists m \in M)x \in B_m[/mm].
> Da [mm]M \subseteq N[/mm], gilt [mm](\exists m \in N)x \in B_m[/mm].
Damit hast Du doch: [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm]
Fertig !
FRED
> Jetzt
> weiß ich nicht wie ich das ausdrücken soll. [mm]m \in N[/mm] - das
> bedeutet, dass [mm]m[/mm] irgendein [mm]n[/mm] sein muss, da [mm]n[/mm] alle beliebige
> Elemente der Menge [mm]N[/mm] sind also [mm](\exists n \in N) x \in B_n \Leftrightarrow \bigcup_{n \in N} B_n[/mm].
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 20.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> Da meinst Du wohl:
>
> Sei [mm]x \in \bigcup_{m \in M}B_m[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](\exists m \in M)x \in B_m[/mm].
>
> > Da [mm]M \subseteq N[/mm], gilt [mm](\exists m \in N)x \in B_m[/mm].
>
> Damit hast Du doch: [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm]
>
> Fertig !
OK, du hast aber gezeigt $x [mm] \in \bigcup_{m \in N}B_m$, [/mm] wir müssen aber zeigen, dass $x [mm] \in \bigcup_{n \in N}B_n$. [/mm] Es ist für mich selbstverständlich, dass wenn $x [mm] \in \bigcup_{m \in N}B_m$, [/mm] dann auch $x [mm] \in \bigcup_{n \in N}B_n$. [/mm] Muss man das aber nicht irgendwie begründen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Da meinst Du wohl:
> >
> > Sei [mm]x \in \bigcup_{m \in M}B_m[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](\exists m \in M)x \in B_m[/mm].
> >
> > > Da [mm]M \subseteq N[/mm], gilt [mm](\exists m \in N)x \in B_m[/mm].
> >
> > Damit hast Du doch: [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm]
> >
> > Fertig !
>
> OK, du hast aber gezeigt [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm], wir
> müssen aber zeigen, dass [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_n[/mm]. Es
> ist für mich selbstverständlich, dass wenn [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm],
> dann auch [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_n[/mm]. Muss man das aber
> nicht irgendwie begründen?
Nein, Du kannst auch schreiben:
[mm]x \in \bigcup_{Otto \in N}B_{Otto}[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Sa 20.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> > > Da meinst Du wohl:
> > >
> > > Sei [mm]x \in \bigcup_{m \in M}B_m[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](\exists m \in M)x \in B_m[/mm].
> > >
> > > > Da [mm]M \subseteq N[/mm], gilt [mm](\exists m \in N)x \in B_m[/mm].
> >
> >
> > > Damit hast Du doch: [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm]
> > >
> > > Fertig !
> >
> > OK, du hast aber gezeigt [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm], wir
> > müssen aber zeigen, dass [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_n[/mm]. Es
> > ist für mich selbstverständlich, dass wenn [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm],
> > dann auch [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_n[/mm]. Muss man das aber
> > nicht irgendwie begründen?
>
> Nein, Du kannst auch schreiben:
>
> [mm]x \in \bigcup_{Otto \in N}B_{Otto}[/mm]
>
> FRED
>
Ich kann für [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_{m}[/mm] nicht einfach [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_{n}[/mm] schreiben, da $m$ kein beliebiges Element von $N$, sondern $M [mm] \subseteq [/mm] N$. Das heißt theoretisch könnte ich ein $n$ finden, so dass $n [mm] \neq [/mm] m$. Ich muss also doch logisch begründen können, dass wenn $m [mm] \in [/mm] N$, dann kann ich ein $n$ finden, so dass $m = n$ (weil $M [mm] \subseteq [/mm] N$), deshalb liegt mein $x$ auch in [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_{n}[/mm]. Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 So 21.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > Da meinst Du wohl:
> > > >
> > > > Sei [mm]x \in \bigcup_{m \in M}B_m[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](\exists m \in M)x \in B_m[/mm].
> > > >
> > > > > Da [mm]M \subseteq N[/mm], gilt [mm](\exists m \in N)x \in B_m[/mm].
>
> > >
> > >
> > > > Damit hast Du doch: [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm]
> > > >
> > > > Fertig !
> > >
> > > OK, du hast aber gezeigt [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm], wir
> > > müssen aber zeigen, dass [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_n[/mm]. Es
> > > ist für mich selbstverständlich, dass wenn [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_m[/mm],
> > > dann auch [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_n[/mm]. Muss man das aber
> > > nicht irgendwie begründen?
> >
> > Nein, Du kannst auch schreiben:
> >
> > [mm]x \in \bigcup_{Otto \in N}B_{Otto}[/mm]
> >
> > FRED
> >
>
> Ich kann für [mm]x \in \bigcup_{m \in N}B_{m}[/mm] nicht einfach [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_{n}[/mm]
> schreiben,
Natürlich kannst Du das !!
> da [mm]m[/mm] kein beliebiges Element von [mm]N[/mm], sondern [mm]M \subseteq N[/mm].
> Das heißt theoretisch könnte ich ein [mm]n[/mm] finden, so dass [mm]n \neq m[/mm].
> Ich muss also doch logisch begründen können, dass wenn [mm]m \in N[/mm],
> dann kann ich ein [mm]n[/mm] finden, so dass [mm]m = n[/mm] (weil [mm]M \subseteq N[/mm]),
> deshalb liegt mein [mm]x[/mm] auch in [mm]x \in \bigcup_{n \in N}B_{n}[/mm].
> Ist das richtig?
Wenn m [mm] \in [/mm] M und M [mm] \subseteq [/mm] N, dann ist m [mm] \in [/mm] N.
Wo ist Dein Problem ???
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 21.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erstmal: Fred hat mit allem, was er (hier) sagt, recht! (Allgemeiner will ich
das nicht formulieren, auch, wenn er bisher nur seltenst falsch lag!)
Ich schreibe nur
[mm] $$\bigcup_{m \in M}B_m$$
[/mm]
und
[mm] $$\bigcup_{n \in N}B_n\,,$$
[/mm]
weil dann bei den Indizes an den [mm] $B_k$ [/mm] auch sofort klar ist, aus welcher
Menge sie sind. Das ist nicht immer sinnvoll und auch nicht immer gut,
manchmal sogar verwirrend, hier erscheint es mir aber didaktisch gut.
Erstmal zur Erläuterung: (Sei stets $M [mm] \subseteq [/mm] N$ etc. pp., wie ich es schon voraussetzte
in der Formulierung!)
Auch
[mm] $$\bigcup_{m \in M}B_m \subseteq \bigcup_{m \in \red{\,N\,}}B_m$$
[/mm]
dürfte man bei der zu beweisenden Aussage schreiben. Der Grund ist,
dass der Laufindex "rechterhand bei der Vereinigung" quasi 'neu
initialisiert wird', um das Ganze ein wenig "in Computersprache" zu
beschreiben. Nichtsdestotrotz sorgt das manchmal zur Verwirrung, daher
versuche ich meist, Laufindizes - bei "Anfängern" - zumindest nicht 'in
direkter Nachbarschaft' wiederzuverwenden!
Aber machen wir das nun nochmal, in der Hoffnung, dass damit alle
Zweifel verschwinden und das Ganze nun ganz klar wird:
Wir wollen [mm] $\bigcup_{r \in M}B_r \subseteq \bigcup_{s \in N}B_s$ [/mm] beweisen. (Ich nehme jetzt
extra mal andere Indizes, damit man den "kleinen didaktischen
Unterschied" wahrnimmt.) Und wie gesagt: Es war $M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq I\,,$
[/mm]
mit einer Indexmenge [mm] $I\,.$
[/mm]
Ist $x [mm] \in \bigcup_{r \in M} B_r\,,$ [/mm] so existiert ein [mm] $r_0 \in [/mm] M$ mit $x [mm] \in B_{r_0}\,.$ [/mm] Wegen $M [mm] \subseteq [/mm] N$ folgt
aus [mm] $r_0 \in [/mm] M$ sofort auch [mm] $r_0 \in N\,.$ [/mm] Also existiert ein [mm] $s_0 \in [/mm] N$ mit $x [mm] \in B_{s_0}\,$ [/mm] - setze
nämlich einfach [mm] $s_0:=r_0\,.$ [/mm] Es folgt $x [mm] \in \bigcup_{s \in N} B_s\,.$
[/mm]
(Da $x [mm] \in \bigcup_{r \in M} B_r$ [/mm] beliebig war, ...) Fertig! [mm] $\Box$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:35 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> erstmal: Fred hat mit allem, was er (hier) sagt, recht!
> (Allgemeiner will ich
> das nicht formulieren, auch, wenn er bisher nur seltenst
> falsch lag!)
Moin Marcel,
danke für die Blumen !
Gruß Fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Moin Fred,
> > Hallo,
> >
> > erstmal: Fred hat mit allem, was er (hier) sagt, recht!
> > (Allgemeiner will ich
> > das nicht formulieren, auch, wenn er bisher nur
> seltenst
> > falsch lag!)
>
> Moin Marcel,
>
> danke für die Blumen !
gerne, aber ich kann nichts für die Wahrheit. (Die einzigen Fehler, an
die ich mich bei Dir erinnere, resultierten entweder aus Verschreibern oder
'Verlesern'!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > erstmal: Fred hat mit allem, was er (hier) sagt, recht!
> > > (Allgemeiner will ich
> > > das nicht formulieren, auch, wenn er bisher nur
> > seltenst
> > > falsch lag!)
> >
> > Moin Marcel,
> >
> > danke für die Blumen !
>
> gerne, aber ich kann nichts für die Wahrheit. (Die
> einzigen Fehler, an
> die ich mich bei Dir erinnere, resultierten entweder aus
> Verschreibern oder
> 'Verlesern'!)
Hallo Marcel,
nochmals danke für die Blumen. Aber obiges stimmt nicht. Ich habe (nicht nur) in diesem Forum schon einige male mächtig Mist gebaut.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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