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| Aufgabe | Lemma:
Seien $ U [mm] \subset [/mm] X $, $ V [mm] \subset [/mm] Y $ und $ W [mm] \subset [/mm] Z $ Z-offen in den affin algebraischen Mengen X, Y und Z.
$$ [mm] \varphi \colon [/mm] U [mm] \rightarrow [/mm] W \ , \ [mm] \psi \colon [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] W $$
seien regulär. Dann ist das Faserprodukt $ U [mm] \times_{W} [/mm] V = [mm] \Delta/\varphi, \psi [/mm] ) $ Z-offen in einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit von $ X [mm] \times [/mm] Y $. |
Hallo, ich verstehe den Beweis dieses Lemmas an einer Stelle nicht, dabei ist das bestimmt total einfach und ich bin nur zu dumm, es zu sehen...
Beweis:
Als offene Mengen noetherscher Räume lassen sich U und V darstellen als endliche Vereinigung basisoffener Mengen:
$$ U = [mm] U_{f_{1}} \cup [/mm] ... [mm] \cup U_{f_{k}} [/mm] $$
$$ V = [mm] V_{g_{1}} \cup [/mm] ... [mm] \cup V_{g_{l}} [/mm] $$
Seien $ [mm] \varphi_{1}, [/mm] ..., [mm] \varphi_{q}, \psi_{1}, [/mm] ..., [mm] \psi_{q} [/mm] $ die Koordinatenfunktionen von $ [mm] \varphi [/mm] $ und $ [mm] \psi [/mm] $. Dann sind auf $ [mm] U_{f_{i}} [/mm] $ und $ [mm] V_{g_{j}} [/mm] $:
$$ [mm] \varphi_{p} [/mm] = [mm] \frac{\varphi_{i p}}{f_{i}^{m_{i}}} [/mm] $$
$$ [mm] \psi_{r} [/mm] = [mm] \frac{\psi_{ j r}}{g_{j}^{n_{j}}} [/mm] $$
Da W separiert ist existiert das Faserprodukt $ U [mm] \times_{W} [/mm] V $ und ist $ [mm] \Delta(\varphi, \psi) [/mm] $.
Für $ (u,v) [mm] \in U_{f_{i}}\times V_{g_{j}} [/mm] $ ist $ (u,v) [mm] \in [/mm] U [mm] \times_{W} [/mm] V $ genau dann wenn
$ [mm] \varphi(u) [/mm] = [mm] \psi(v) [/mm] $
genau dann wenn
$ [mm] g_{j}^{m_{j}+1} f_{i} (u)\varphi_{i p}'(u) \overbrace{=}^{(\*)_{i j}} f_{i}^{m_{i}+1}(u)g_{j}(v) \psi_{j p }'(v) [/mm] $ für alle p
Diese Gleichheit gilt auch in $ X [mm] \times [/mm] Y [mm] \backslash U_{f_{i}} \times V_{g_{j}} [/mm] $ (WARUM?)
Es ist also
$ F:= [mm] \{ (x,y) \in X \times Y | \ || ( \*)_{i j} ||_{i j} \}\subset [/mm] X [mm] \times [/mm] Y $ abgeschlossen und es ist
$ U [mm] \times_{W} [/mm] V = U [mm] \times [/mm] V [mm] \cap [/mm] F $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 22.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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