Fast überall < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Fr 13.08.2010 | | Autor: | hula |
Hallo Leute,
Ich möchte folgendes zeigen:
Sei $\ f $ eine nicht negative messbare Funktion, [mm] f: X \to [0,+ \infty] [/mm]. Wobei $\ (X, [mm] \mathcal{M}, \mu) [/mm] $ ein Massraum ist.
[mm] \integral f d\mu (x) = 0 [/mm] genau dann, wenn $\ f = 0$ fast überall.
Also ich bin bei der Richtung $\ [mm] \Rightarrow [/mm] $. Ich zeige dir Kontraposition:
Sei also $\ f > 0 $ fast überall zu zeigen ist, dass das $\ [mm] \integral [/mm] f > 0$.
Dazu sei [mm] X_k := \{ x \in X | f(x) \ge \bruch{1}{k} \} [/mm] ( $\ k [mm] \ge [/mm] 1$). Dass sind messbare Mengen. Zudem ist $\ [mm] (X_k) [/mm] $ eine aufsteigende Folge. Nun zu meinen 2 Fragen:
1. Wieso ist [mm] \bigcup_k X_k = \{x \in X | f(x)[/mm] > [mm] 0 \} [/mm] und nicht gröser gleich.
2. Wieso gilt folgendes: [mm] 0 < \mu{\{x \in X | f(x) > 0\}} [/mm].
Ich weiss, dass mein $\ f $ nur auf Mengen mit Masse null verschwindet, sonst ist es immer grösser als null. Aber es könnte doch trotzdem sein, dass das Mass dieser Menge auch null ist. Oder woraus folgt das?
Schon mal danke für die Ausführungen!
greetz hula
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Fr 13.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
>
> Ich möchte folgendes zeigen:
>
> Sei [mm]\ f[/mm] eine nicht negative messbare Funktion, [mm]f: X \to [0,+ \infty] [/mm].
> Wobei [mm]\ (X, \mathcal{M}, \mu)[/mm] ein Massraum ist.
>
> [mm]\integral f d\mu (x) = 0 [/mm] genau dann, wenn [mm]\ f = 0[/mm] fast
> überall.
>
> Also ich bin bei der Richtung [mm]\ \Rightarrow [/mm]. Ich zeige dir
> Kontraposition:
>
> Sei also [mm]\ f > 0[/mm] fast überall
Das ist sehr unglücklich ausgedrückt !!
> zu zeigen ist, dass das [mm]\ \integral f > 0[/mm].
>
> Dazu sei [mm]X_k := \{ x \in X | f(x) \ge \bruch{1}{k} \}[/mm] ( [mm]\ k \ge 1[/mm]).
> Dass sind messbare Mengen. Zudem ist [mm]\ (X_k)[/mm] eine
> aufsteigende Folge. Nun zu meinen 2 Fragen:
>
> 1. Wieso ist [mm]\bigcup_k X_k = \{x \in X | f(x)[/mm] > [mm]0 \} [/mm] und
> nicht gröser gleich.
Die Inklusion
[mm]\bigcup_k X_k \subseteq \{x \in X | f(x)[/mm] > [mm]0 \} [/mm]
dürfte klar sein, oder ?
Sei x [mm] \in [/mm] X und f(x)>0. Dann gibt es ein k [mm] \in \IN [/mm] mit f(x) [mm] \ge [/mm] 1/k, also: x [mm] \in X_k.
[/mm]
> 2. Wieso gilt folgendes: [mm]0 < \mu{\{x \in X | f(x) > 0\}} [/mm].
Das ist doch gerade Deine Annahme bei Deinem Widerspruchsbeweis !!!!
FRED
>
> Ich weiss, dass mein [mm]\ f[/mm] nur auf Mengen mit Masse null
> verschwindet, sonst ist es immer grösser als null. Aber es
> könnte doch trotzdem sein, dass das Mass dieser Menge auch
> null ist. Oder woraus folgt das?
> Schon mal danke für die Ausführungen!
>
> greetz hula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Fr 13.08.2010 | | Autor: | hula |
Erste Frage ist geklärt, da hatte ich wohl ein Brett vor dem Kopf. Aber danke für deine Antwort!
> 2. Wieso gilt folgendes: [mm]0 < \mu{ (\{x \in X | f(x) > 0\}) } [/mm].
>
>
> Das ist doch gerade Deine Annahme bei Deinem
> Widerspruchsbeweis !!!!
>
>
> FRED
> >
Es kann sein, dass ich etwas falsch verstehe: Was ich sicher sagen kann, ist, dass $\ [mm] \mu{\{x \in X | f(x) = 0\}} [/mm] = 0 $. Die Mengen für die das gilt sind "klein" (im Sinne, dass sie eben Masse 0 haben). Aber woher weiss ich, dass die anderen Mengen nicht auch Masse 0 haben könnten. Es könnte doch z.B. sein $\ [mm] \mu{(X)} [/mm] = 0$. Sicherlich ist das nur eine Kleinigkeit, aber um präzise zu sein, müsste man doch sagen, dass es Mengen gibt, die nicht verschwindende Masse haben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Fr 13.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Frage: was bedeutet $ \ f = 0 $ fast überall für eine nichtnegative Funktion ?
Antwort: [mm] $\mu (\{x \in X: f(x)>0 \})= [/mm] 0
Frage: was ist die Negation von: $ \ f = 0 $ fast überall ????ß
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Fr 13.08.2010 | | Autor: | hula |
shame on me.....
|
|
|
|
