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Fatou's lemma: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 02:16 Mi 14.10.2015
Autor: James90

Hi!

Sei [mm] (\Omega,F,\mu) [/mm] ein Maßraum. Für eine Folge [mm] (f_n) [/mm] von nichtnegativen, numerischen, messbaren Funktionen gilt [mm] $\int\liminf_{n\to\infty}f_n d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n d\mu$ [/mm]

Mit Beppo Levi überlegt man sich leicht [mm] $\int\liminf_{n\to\infty}f_n d\mu=\lim_{n\to\infty}\int\inf_{m\ge n}f_m d\mu\le\lim_{n\to\infty}\inf_{m\ge n}\int f_m d\mu=\liminf_{n\to\infty}\int f_n d\mu$. [/mm]

Ich bin den Beweis durchgegangen, aber am Anfang habe ich ein Problem und das Ende sieht bei mir anders aus

Nach Definition gilt [mm] \liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}f_k [/mm]
Wir betrachten [mm] g_n:=\inf_{k\ge n}f_k [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm]
Offensichtlich ist [mm] $0\le g_1\le g_2\le [/mm] ... [mm] \le \infty$ [/mm]
Damit ist [mm] (g_n) [/mm] beschränkt und monoton steigend, also konvergent
Damit gilt [mm] \lim_{n\to\infty}g_n=\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}f_k [/mm]
Auf beschränkten Teilmengen reeller Zahlen existiert das Supremum und ist eindeutig, also gilt [mm] $\liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}f_k=\sup g_n=\lim_{n\to\infty}g_n. [/mm]

...Bei obiger Argumentation bin ich sehr unsicher, aber es fällt mir schwer [mm] \liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}f_k=\lim_{n\to\infty}\inf_{n\ge k}f_k [/mm] einzusehen.

Alle [mm] g_n [/mm] sind nach einem Satz aus der Vorlesung messbar, also erfüllt [mm] (g_n) [/mm] alle Voraussetzungen für Beppo Levi.
Damit gilt [mm] \lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu=\int\liminf_{n\to\infty}f_nd\mu [/mm] also wie in der Lösung [mm] \int\liminf_{n\to\infty}f_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu=\lim_{n\to\infty}\int \inf_{k\ge n}f_k d\mu [/mm]

Offensichtlich ist [mm] $g_n\le f_k$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$
Mit der Monotonie folgt [mm] $\int g_n d\mu\le\int f_k d\mu$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$
Damit gilt auch [mm] \lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu \le\lim_{n\to\infty}\int f_k d\mu [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$
Also insgesamt [mm] \int\liminf_{n\to\infty}f_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\int \inf_{k\ge n}f_k d\mu=\lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu\le\lim_{n\to\infty}\int f_k d\mu [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$

Also auch [mm] \int\liminf_{n\to\infty}f_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\int \inf_{k\ge n}f_k d\mu=\lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int f_k d\mu [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$

...Die letzte Aussage ist nur eine Vermutung von mir. Eine genaue Erklärung habe ich leider nicht

...Außerdem habe ich irgendwie einen Schritt übersprungen, denn ich habe [mm] $\lim_{n\to\infty}\inf_{m\ge n}\int f_m d\mu=\liminf_{n\to\infty}\int f_n d\mu$ [/mm] nicht gezeigt.

Wie geht das richtig?

Danke im Voraus!

        
Bezug
Fatou's lemma: Verlängerung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:54 Di 20.10.2015
Autor: James90

Bitte meine Frage um eine Woche verlängern!

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Bezug
Fatou's lemma: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:59 Mi 28.10.2015
Autor: James90

Hi! Ist meine Frage nicht richtig gestellt? Ansonsten bitte erneut um eine Woche verlängern!

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Bezug
Fatou's lemma: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 Mi 28.10.2015
Autor: tobit09

Tut mir leid, dass du noch keine Antwort erhalten hast.


> Hi! Ist meine Frage nicht richtig gestellt?

An deiner Frage auszusetzen habe ich nichts.

Es erfordert anscheinend ein bisschen Mühe, sie zu beantworten.

Ich habe die Frage seit der ersten Woche in meinem Browser geöffnet, habe aber bisher leider nicht die Zeit und Geduld gefunden, sie zu beantworten.


> Ansonsten bitte
> erneut um eine Woche verlängern!

Das habe ich getan.

Vielleicht schaffe ich es im Laufe dieser Woche endlich zu antworten.

Bezug
        
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Fatou's lemma: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Do 05.11.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
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Fatou's lemma: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:37 Fr 06.11.2015
Autor: James90

(Fälligkeit leider abgelaufen, also stelle ich erneut meine Frage. Jeder Hinweis ist willkommen!)

Hi!

Sei $ [mm] (\Omega,F,\mu) [/mm] $ ein Maßraum. Für eine Folge $ [mm] (f_n) [/mm] $ von nichtnegativen, numerischen, messbaren Funktionen gilt $ [mm] \int\liminf_{n\to\infty}f_n d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n d\mu [/mm] $

Mit Beppo Levi überlegt man sich leicht $ [mm] \int\liminf_{n\to\infty}f_n d\mu=\lim_{n\to\infty}\int\inf_{m\ge n}f_m d\mu\le\lim_{n\to\infty}\inf_{m\ge n}\int f_m d\mu=\liminf_{n\to\infty}\int f_n d\mu [/mm] $.

Ich bin den Beweis durchgegangen, aber am Anfang habe ich ein Problem und das Ende sieht bei mir anders aus

Nach Definition gilt $ [mm] \liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}f_k [/mm] $
Wir betrachten $ [mm] g_n:=\inf_{k\ge n}f_k [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $
Offensichtlich ist $ [mm] 0\le g_1\le g_2\le [/mm] ... [mm] \le \infty [/mm] $
Damit ist $ [mm] (g_n) [/mm] $ beschränkt und monoton steigend, also konvergent
Damit gilt $ [mm] \lim_{n\to\infty}g_n=\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}f_k [/mm] $
Auf beschränkten Teilmengen reeller Zahlen existiert das Supremum und ist eindeutig, also gilt $ [mm] $\liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}f_k=\sup g_n=\lim_{n\to\infty}g_n. [/mm] $

...Bei obiger Argumentation bin ich sehr unsicher, aber es fällt mir schwer $ [mm] \liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}f_k=\lim_{n\to\infty}\inf_{n\ge k}f_k [/mm] $ einzusehen.

Alle $ [mm] g_n [/mm] $ sind nach einem Satz aus der Vorlesung messbar, also erfüllt $ [mm] (g_n) [/mm] $ alle Voraussetzungen für Beppo Levi.
Damit gilt $ [mm] \lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu=\int\liminf_{n\to\infty}f_nd\mu [/mm] $ also wie in der Lösung $ [mm] \int\liminf_{n\to\infty}f_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu=\lim_{n\to\infty}\int \inf_{k\ge n}f_k d\mu [/mm] $

Offensichtlich ist $ [mm] g_n\le f_k [/mm] $ für alle $ [mm] k\ge [/mm] n $
Mit der Monotonie folgt $ [mm] \int g_n d\mu\le\int f_k d\mu [/mm] $ für alle $ [mm] k\ge [/mm] n $
Damit gilt auch $ [mm] \lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu \le\lim_{n\to\infty}\int f_k d\mu [/mm] $ für alle $ [mm] k\ge [/mm] n $
Also insgesamt $ [mm] \int\liminf_{n\to\infty}f_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\int \inf_{k\ge n}f_k d\mu=\lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu\le\lim_{n\to\infty}\int f_k d\mu [/mm] $ für alle $ [mm] k\ge [/mm] n $

Also auch $ [mm] \int\liminf_{n\to\infty}f_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\int \inf_{k\ge n}f_k d\mu=\lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int f_k d\mu [/mm] $ für alle $ [mm] k\ge [/mm] n $

...Die letzte Aussage ist nur eine Vermutung von mir. Eine genaue Erklärung habe ich leider nicht

...Außerdem habe ich irgendwie einen Schritt übersprungen, denn ich habe $ [mm] \lim_{n\to\infty}\inf_{m\ge n}\int f_m d\mu=\liminf_{n\to\infty}\int f_n d\mu [/mm] $ nicht gezeigt.

Wie geht das richtig?

Danke im Voraus!


Bezug
                
Bezug
Fatou's lemma: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Fr 06.11.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du machst eigentlich nur einen Fehler in deiner Argumentation und darum hängst du.

Deine Sachen sind soweit alle richtig, du hast nur was vergessen, aber fangen wir an:

> ...Bei obiger Argumentation bin ich sehr unsicher, aber es
> fällt mir schwer [mm]\liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}f_k=\lim_{n\to\infty}\inf_{n\ge k}f_k[/mm] einzusehen.

Erstere Gleichheit ist einfach die Definition des [mm] $\liminf$, [/mm] zweitere Gleichheit folgt aus:

Sei [mm] $a_n$ [/mm] eine monoton wachsende Folge, dann gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = [mm] \sup_{n \ge 0} a_n$ [/mm]

Setze [mm] $a_n [/mm] = [mm] \inf_{k\ge n}f_k$. [/mm]

Nun zu deinem eigentlichen Fehler:

> Offensichtlich ist [mm]g_n\le f_k[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]

[ok]

> Mit der Monotonie folgt [mm]\int g_n d\mu\le\int f_k d\mu[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]

[ok]

> Damit gilt auch [mm]\lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu \le\lim_{n\to\infty}\int f_k d\mu[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]

Und die Aussage ist falsch.
Das hättest du auch an folgendem erkennen können: Die Bemerkung dahinter "für alle [mm]k\ge n[/mm]" macht ja gar keinen Sinn, denn die Ungleichung hängt ja gar nicht mehr von k ab!
Du bildest rechts nämlich einen Grenzwert für [mm] $n\to\infty$ [/mm] und da $k [mm] \ge [/mm] n$ gilt, folgt auch [mm] $k\to\infty$ [/mm] und schon hängt die rechte Seite gar nicht mehr von k ab.

Was ist nun richtig? Eigentlich hast du nur eine Kleinigkeit vergessen, nämlich:

> Offensichtlich ist [mm]g_n\le f_k[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]
> Mit der Monotonie folgt [mm]\int g_n d\mu\le\int f_k d\mu[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]

Die zielführende Schlussfolgerung wäre nun:
Also gilt auch [mm]\int g_n d\mu\le \inf_{k\ge n}\int f_k d\mu[/mm]

Nun hängen beide Seiten wieder nur von n ab und du kannst mit deiner Grenzwertbildung fortsetzen und erhälst auch den von dir vermissten Ausdruck :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Fatou's lemma: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:42 Di 10.11.2015
Autor: James90

Hi Gono und auch hier: vielen Dank für deine Antwort!

> Hiho,
>  
> du machst eigentlich nur einen Fehler in deiner
> Argumentation und darum hängst du.
>  
> Deine Sachen sind soweit alle richtig, du hast nur was
> vergessen, aber fangen wir an:
>  
> > ...Bei obiger Argumentation bin ich sehr unsicher, aber es
> > fällt mir schwer
> [mm]\liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}f_k=\lim_{n\to\infty}\inf_{n\ge k}f_k[/mm]
> einzusehen.
>  
> Erstere Gleichheit ist einfach die Definition des [mm]\liminf[/mm],
> zweitere Gleichheit folgt aus:
>  
> Sei [mm]a_n[/mm] eine monoton wachsende Folge, dann gilt
> [mm]\lim_{n\to\infty} a_n = \sup_{n \ge 0} a_n[/mm]
>  
> Setze [mm]a_n = \inf_{k\ge n}f_k[/mm].

Okay, danke!

> Nun zu deinem eigentlichen Fehler:
>  
> > Offensichtlich ist [mm]g_n\le f_k[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]
> [ok]
>  
> > Mit der Monotonie folgt [mm]\int g_n d\mu\le\int f_k d\mu[/mm] für
> alle [mm]k\ge n[/mm]
>
> [ok]
>  
> > Damit gilt auch [mm]\lim_{n\to\infty}\int g_n d\mu \le\lim_{n\to\infty}\int f_k d\mu[/mm]
> für alle [mm]k\ge n[/mm]
>
> Und die Aussage ist falsch.
> Das hättest du auch an folgendem erkennen können: Die
> Bemerkung dahinter "für alle [mm]k\ge n[/mm]" macht ja gar keinen
> Sinn, denn die Ungleichung hängt ja gar nicht mehr von k
> ab!
>  Du bildest rechts nämlich einen Grenzwert für [mm]n\to\infty[/mm]
> und da [mm]k \ge n[/mm] gilt, folgt auch [mm]k\to\infty[/mm] und schon hängt
> die rechte Seite gar nicht mehr von k ab.

Die rechte Seite hängt doch dann nicht mehr von n ab, oder?

> Was ist nun richtig? Eigentlich hast du nur eine
> Kleinigkeit vergessen, nämlich:
>  
> > Offensichtlich ist [mm]g_n\le f_k[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]
> > Mit der Monotonie folgt [mm]\int g_n d\mu\le\int f_k d\mu[/mm] für
> alle [mm]k\ge n[/mm]
>
> Die zielführende Schlussfolgerung wäre nun:
>  Also gilt auch [mm]\int g_n d\mu\le \inf_{k\ge n}\int f_k d\mu[/mm]

Cool, danke!
  

> Nun hängen beide Seiten wieder nur von n ab und du kannst
> mit deiner Grenzwertbildung fortsetzen und erhälst auch
> den von dir vermissten Ausdruck :-)

Es folgt [mm] $\lim_{n\to\infty}g_n d\mu\le\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}\int f_k d\mu$ [/mm]

zu zeigen bleibt [mm] $\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}\int f_k d\mu=\liminf_{n\to\infty}\int f_n d\mu$ [/mm]

Nach Definition ist [mm] $\liminf_{n\to\infty}\int f_n d\mu=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}\int f_k d\mu$. [/mm]

Sei [mm] $a_n:=\inf_{k\ge n}\int f_k d\mu$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm]

Aus der Voraussetzung ist [mm] (f_n) [/mm] messbar und nichtnegativ.
[mm] (f_n) [/mm] ist außerdem monoton steigend, also gilt [mm] $f_{n}\le f_{n+1}$ [/mm]
Aus der Monotonie des Integrals folgt [mm] $\int f_n d\mu \le \int f_{n+1}d\mu$ [/mm]
Also folgt auch, dass [mm] (a_n) [/mm] monoton steigend ist
Also wie gewünscht [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\in\IN}a_n [/mm]



Bezug
                                
Bezug
Fatou's lemma: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Do 12.11.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es folgt [mm]\lim_{n\to\infty}g_n d\mu\le\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}\int f_k d\mu[/mm]

du hast links das [mm] \int [/mm] vergessen, sonst passt es.

> Also folgt auch, dass [mm](a_n)[/mm] monoton steigend ist
>  Also wie gewünscht
> [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\in\IN}a_n[/mm]

[ok]

Gruß,
Gono

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Fatou's lemma: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:04 Mo 16.11.2015
Autor: James90

Vielen Dank Gono!

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