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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 16.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
| Aufgabe | Ein Zylinder mit dem Radius R = 10 cm ist an einem durch die Zylinderachse verlaufenden,
horizontal gespannten Draht in horizontaler Lage fixiert, so dass er um seine Zylinderachse
eine Rotationsschwingung ausführen kann. Die Periodendauer der Rotationsschwingung
beträgt 1.6 Sekunden. Die Drehfederkonstante des Drahtseils beträgt [mm] c_D [/mm]
1 * [mm] 10^{-5} [/mm] Nm/Grad
d.h. es wirkt ein Drehmoment von [mm] 10^{-5} [/mm] Newton-Meter, wenn man den Zylinder um ein Grad
verdreht.
a) Berechnen Sie die Masse des Zylinders?
b) Um den Zylinder wird eine Schnur gelegt, an deren Enden je ein 100 gr Gewichtsstein
befestigt ist. Bei der Rotationsschwingung bewegen sich die 2 Gewichtssteine mit, ohne
dass die Schnur auf der Zylinderoberfläche gleitet. Stellen Sie die
Schwingungs-Differential-Gleichung auf und berechnen Sie die neue Schwingdauer! |
Hallo
Bei dieser Lösung verstehe ich nicht, wie ich von der Differentialgleichung auf die Periodenzeit komme.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bis und mit zweiletzter Gleichung ist alles klar, doch wie ich von dort auf
[mm] T_1 [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] * [mm] R_z \wurzel{....} [/mm] komme, ist mir momentan überhaupt nicht klar.
Danke für die Hilfe, Gruss Kuriger
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Do 16.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Nimm das Auslenkungs-Zeit-Gesetz für eine Drehschwingung [mm] $\varphi(t)$. [/mm] Leite es zweimal ab. Setze [mm] $\varphi(t)$ [/mm] und [mm] $\ddot{\varphi}(t)$ [/mm] in die vorliegende Differentialgleichung ein. Rechne, bis [mm] $T_1= [/mm] ...$ dasteht. Wenn man das ein paar mal gemacht hat, dann kann man das direkt aus der Gleichung ablesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Chrisno
Danke für deine Antwort
Die Formel der Auslenkung in Abhängigkeit der zeit ist mir gerade nicht geläufig..
Ich weiss nicht, ob es sich hierbei um folgende FUnktion handelt.
Für die Harmonische Schwingung:
x(t) = [mm] x_0 [/mm] * sin ω*t
[mm] x_0: [/mm] Amplitude
1. Ableitung
[mm] \dot [/mm] x(t) = [mm] x_0 [/mm] * ω* cos(ω*t) =
2. Ableitung
[mm] \dot \dot [/mm] x(t) = - [mm] x_0 [/mm] * ω^2 * sin(ω*t)
Bei der Eingabehilfeübersicht habe ich gelesen, dass man die Ableitung mit Punkt wie folgt eintippt:
[mm] \dot [/mm] a
doch das erscheint ja gar nicht korrekt...?
Nun sollte ja anstelle von x(t) das ganze in Winkel stehen (Winkel ist ja der "Weg" einer Rotationsbewegung) [mm] \delta(t)...wie [/mm] lautet es?
Danke, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Fr 17.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du statt x [mm] \phi [/mm] schreibst ist es die Beschreibung einer DrehSchwingung. die erfuellt deine Dgl. setz sie in die Dgl ein und finde raus, was [mm] \omega [/mm] ist, und den Zusammenhang [mm] zw,\omega [/mm] und T kennst du wohl.
ausserdem solltest du eigentlich ne Dgl der Form [mm] \phi''=C*\phi [/mm] einfach loesen koennen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Leduart
Ich bin da leider
überfordert
Also nochmals aufgeschrieben
Funktionen:
[mm] \varphi= x_0 [/mm] * sin (ω * t)
[mm] \dot{\varphi} [/mm] = [mm] x_0 [/mm] * ω * cos (ω * t)
[mm] \ddot{\varphi} [/mm] = [mm] -x_0 [/mm] *ω^2 * sin (ω * t)
Differentialgleichung:
[mm] c_d [/mm] * [mm] \varphi [/mm] + (2 * [mm] m_s [/mm] + [mm] \bruch{m_0}{2}) [/mm] + [mm] R_z^2) [/mm] * [mm] \ddot{\varphi} [/mm] = 0
Weitere Beziehungen
[mm] \dot{\varphi} [/mm] = ω
ω = [mm] \bruch{2\pi}{T}
[/mm]
Was soll ich denn nun genau machen?
Ich komme nicht nach, bitte helft mir etwas mehr, wäre echt lieb, danke Gruss Kuriger
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Hallo!
Da du grade sehr viele Aufgaben hier stellst, und anscheinend bei allen grob das gleiche Problem hast, hier nochmal die Grundlagen:
Die Lösung der Differenzialgleichung
[mm] \ddot{x}(t)+K*x(t)=0
[/mm]
ist eine Schwingung, die man als Überlagerung von SIN und COS schreiben kann:
[mm] x(t)=A*\sin(\omega*t)+B*\cos(\omega*t)
[/mm]
Das ist aber auch nix anderes als eine SIN-Funktion, die auf der Zeit-Achse etwas verschoben wurde, und das läßt sich auch so schreiben:
[mm] x(t)=D*\sin(\omega*t+\phi)
[/mm]
Im letzten Fall ist [mm] $\ddot{x}(t)= -\omega^2D*\sin(\omega*t+\phi)$
[/mm]
und einsetzen in die DGL ergibt:
[mm] -\omega^2D*\sin(\omega*t+\phi)+K*D*\sin(\omega*t+\phi)=0
[/mm]
Es kürzt sich sehr viel raus, und am ende weißt du nur, daß [mm] \omega=\wurzel{K} [/mm] ist. Sowohl die Amplitude als auch die Phase (also an welcher Position die Schwingung bei t=0 war) bekommst du hier nicht raus, wenn, dann bekommst du das über zusätzliche Infos der Aufgabe heraus.
In vielen Fällen interessiert einen die Phase nicht, und man nimmt einfach
[mm] x(t)=D*\sin(\omega*t)
[/mm]
Bis hier hin solltest du dir das genauestens merken, denn das ist die Grundlage aller harmonischen Schwingungen!
jetzt deine Formel:
$ [mm] c_d [/mm] * [mm] \varphi [/mm] + (2 * [mm] m_s [/mm] + [mm] \bruch{m_0}{2}) [/mm] + [mm] R_z^2) [/mm] * [mm] \ddot{\varphi} [/mm] = 0 $
teilen:
$ [mm] \blue{\frac{c_d}{(2 * m_s + \bruch{m_0}{2}) + R_z^2}} [/mm] * [mm] \varphi [/mm] + [mm] \ddot{\varphi} [/mm] = 0 $
Der blaue Teil sieht kompliziert aus, aber das ist genau das K, also das [mm] \omega^2 [/mm] von oben!
Und dann ist ja [mm] $\omega= \bruch{2\pi}{T} [/mm] $. Dann kannst du das gesuchte berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 So 19.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Event_Horizon
Besten Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast, mir das genaue vorgehen nochmals von grund auf zu erklären.
Langsam wird mir das Vergehen klarer.
Gruss Kuriger
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 19.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Event_Horizon
Offensichtlich hat sich jetzt doch noch eine Frage ergeben.
Denn in anderen Posts wurden mir andere Lösungshinweise gegeben und das haut hier eigentlich auch hin
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da es nicht zum korrigieren gedacht ist, sondern nur einen Blick draufzuwerfen habe ich meine Handnotiz eingescannt. So funktioniert doch das ganze auch?
Gruss Kuriger
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Wo ist denn genau der Unterschied zwischen dem, was du da scheibst, und dem, was ich oben geschrieben habe?
Das ist 1:1 das selbe.
Statt
[mm] \ddot{x}(t)+K*x(t)=0
[/mm]
schreibt man oft schon
[mm] \ddot{x}(t)+\omega^2*x(t)=0
[/mm]
eben, weil man weiß, daß in der späteren Rechnung [mm] K=\omega^2 [/mm] 'raus kommt.
Diese DGL und ihre Lösung ist dermaßen bekannt, daß man das Lametta, wie man auf die Lösung kommt, so wie ich das oben geschrieben habe, gar nicht mehr erwähnt. Man schreibt direkt, daß [mm] \omega^2 [/mm] der Term vor dem x , dem [mm] \varphi [/mm] , oder wie auch immer die gesuchte Funktion heißt.
Wenn du eine quadratische Gleichung siehst, kannst du dank pq-Formel auch ohne Nachdenken direkt die Lösung hinschreiben.
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