Federpendel - Radikand = 0 < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Do 04.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Hi,
ne Aufgabe zum Federpendel hab ich hier und schaue mir gerade die allgemeine Lösung an,zu dem Fall das von [mm] \lambda_{1,2} = \bruch{-\beta}{2m} \pm \sqrt{\bruch{\beta^2}{4 \mathrm{m}^2} - \bruch{c}{m}} \text{ der Radikant } \bruch{\beta^2}{4 \mathrm{m}^2} = \bruch{c}{m} \text{ ist } [/mm]
Woher kommt dann bei der allgemeinen Lösung [mm] y(t) = C_1 y_1 (t) + C_2 y_2 (t) = C_1 * e^{\bruch{- \beta}{2 \mathrm{m}}t} + C_2 * \mathrm{t} * e^{\bruch{- \beta}{2 \mathrm{m}}t} [/mm] das t nach [mm] C_2 [/mm] ?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Do 04.02.2010 | | Autor: | Calli |
>...
> [mm]\lambda_{1,2} = \bruch{-\beta}{2m} \pm \sqrt{\bruch{\beta^2}{4 \mathrm{m}^2} - \bruch{c}{m}} \text{ der Radikant } \bruch{\beta^2}{4 \mathrm{m}^2} = \bruch{c}{m} \text{ ist }[/mm]
Hey Nickles,
die Lösung der charakteristischen Gleichung ist eine Doppelwurzel.
Diesen Fall nennt man auch den "aperiodischen Grenzfall" !
(Es schwingt nix mehr!)
> ...
> Woher kommt dann bei der allgemeinen Lösung [mm]y(t) = C_1 y_1 (t) + C_2 y_2 (t) = C_1 * e^{\bruch{- \beta}{2 \mathrm{m}}t} + C_2 * \mathrm{t} * e^{\bruch{- \beta}{2 \mathrm{m}}t}[/mm]
> das t nach [mm]C_2[/mm] ?
Der Lösungsansatz lautet:
[mm] $y(t)=C(t)\cdot e^{\lambda\cdot t}$
[/mm]
Differenzieren unter Beachtung von C(t) (Variation der Konstanten) und Einsetzen in die DGL liefert die allgemeine Lösung.
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Do 04.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Ah ok , danke schonmal für die schnelle Hilfe..hab mich nochmal bezüglich variation der Konstanten versucht schlau zu machen(ein 2 Artikel hier gelesen) und das dann so spitzbekommen:
[mm] y(t) = C * e^{\lambda * \mathrm{t}} \text{ (Variation der Konstanten) } \rightarrow y(t) = C(t) * e^{\lambda * \mathrm{t}} \rightarrow \dot y (t) = C(t) *e^{\lambda * \mathrm{t}} * t + C^\prime * e^{\lambda * \mathrm{t}} [/mm]
Richtig? Und das dann in die Ursprüngliche DGL einsetzen?
Bzw.: Warum ist die Allgemeine Lösung für den Fall das nicht dieser Grenzfall vorliegt, sondern, das [mm] \bruch{\beta^2}{4\mathrm{m}^2} > \bruch{c}{m} [/mm]
Die allgemeine Lösung
[mm] y(t) = C_1*e^{\lambda_1*t} +C_2*e^{\lambda_2*t} [/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Do 04.02.2010 | | Autor: | Calli |
>...
> [mm]y(t) = C * e^{\lambda * \mathrm{t}} \text{ (Variation der Konstanten) } \rightarrow y(t) = C(t) * e^{\lambda * \mathrm{t}} \rightarrow \dot y (t) = C(t) *e^{\lambda * \mathrm{t}} * t + C^\prime * e^{\lambda * \mathrm{t}}[/mm]
>
> Richtig? Und das dann in die Ursprüngliche DGL einsetzen?
Nein und dann Ja !
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Hallo Nickles,
• Du musst erstmal richtig ableiten ! Wie lautet die Ableitung von [mm] e^{\lambda * \mathrm{t}} [/mm] nach t ?
• Der Lösungsansatz ist zweimal abzuleiten. Die DGL ist von zweiter Ordnung !
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 04.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Ja gut sorry, da war ich schlampig!
Die Ableitung von [mm] e^{\lambda * t} \text{ ist } \lambda * e^{\lambda *t} \text{ also das ganze : } \dot y (t) = C^\prime (t) * e^{\lambda * t} + C(t) * \lambda * e^{\lambda * t} [/mm] ?
>Der Lösungsansatz ist zweimal abzuleiten. Die DGL ist von zweiter Ordnung !
Noch [mm] \ddot y(t) \text{? mit } \ddot y (t) = C'' (t) * e^{\lambda *t} + C^\prime (t) * \lambda * e^{\lambda *t} + C^\prime (t) * \lambda * e^{\lambda *t} + C(t) \lambda^2 * e^{\lambda * t} [/mm]
?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 04.02.2010 | | Autor: | Nickles |
dann jetzt [mm] y\ , \dot y\ , \ddot y [/mm] einsetzen in [mm] m*\ddot y (t) + \beta * \dot y (t) + c * y(t) = 0 [/mm] ?
Dann kommt doch aber son elends langes ding raus? Wie komm ich n da auf die allgemeine Lösung? Hab das mal eingesetzt und schon um [mm] e^{\lambda * t} [/mm] gekürzt, ist aber immer noch n Brocken
[mm] m* ( C'' (t) + C'(t) * \lambda + C' (t) * \lambda + C(t) \lambda^2 ) + \beta * ( C' (t) + C(t) * \lambda ) + c*C(t) =0 [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 04.02.2010 | | Autor: | Calli |
Hallo Nickles,
sorry, muß meinen Beitrag wie folgt korrigieren:
> ...
> [mm]m* ( C'' (t) + C'(t) * \lambda + C' (t) * \lambda + C(t) \lambda^2 ) + \beta * ( C' (t) + C(t) * \lambda ) + c*C(t) =0[/mm]
• Gleichung durch m dividieren!
• Ausmultiplizieren und sortieren!
• Gemäß zugrunde liegender DGL ist
• Sortierung nach C'', C' und C ! Die zu C' und C gehörigen Vorfaktoren sind gleich Null.
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 04.02.2010 | | Autor: | Nickles |
ah danke!
nur wie komme ich jetzt zu [mm] y(t) = C_1 * e^{- \bruch{\beta}{2m}} + C_2 * t* e^{- \bruch{\beta}{2m}} [/mm] vor allem das t nach [mm] C_2 [/mm] war ja mein Problem und wie man überhaupt auf die Gleichung kommt 
Sorry wenn ich mich blöd anstelle...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Do 04.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Dgl. 2 ten Grades hat IMMER 2 lin unabh. Lösungen y1 und y2
wenn die char. fkt ne doppelte Nullstelle hat hat man nich [mm] y1=e^{\lambda_1*x} [/mm] und [mm] y2=e^{\lambd_2*x} [/mm] sondern muss sich die 2te durch x*y1 besorgen. wenn [mm] \lambda [/mm] ne doppelte Nst. ist ist eben auch y2= [mm] x*e^\lambda [/mm] x) ne davon linear unabh. Lösung.
setz ein und rechne nach, dass es stimmt.
damit ist dann die allg. Lösung [mm] y=C_1*y1+C_2*y2
[/mm]
das mit der Var. der Konstanten ist unnötig aber eigentlich auch nicht kompliziert.
Bsp : y''-2y'+y=0 [mm] \lambda=1
[/mm]
[mm] y1=C*e^x [/mm] C=C(x)
[mm] y'=C'*e^x+Ce^x
[/mm]
[mm] y''=C''e^x+2C'e^x+Ce^x
[/mm]
in Dgl einsetzen
[mm] C''e^x+2C'e^x+Ce^x-2C'e^x-2Ce^x +Ce^x=0 [/mm] daraus
C''=0 daraus
C=C1*x+C2
einsetzen ergibt [mm] y=(C1x+C2)*e^x
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Do 04.02.2010 | | Autor: | Nickles |
> Hallo
> ein Dgl. 2 ten Grades hat IMMER 2 lin unabh. Lösungen y1
> und y2
> wenn die char. fkt ne doppelte Nullstelle hat hat man nich
> [mm]y1=e^{\lambda_1*x}[/mm] und [mm]y2=e^{\lambda_2*x}[/mm] sondern muss sich
> die 2te durch x*y1 besorgen. wenn [mm]\lambda[/mm] ne doppelte Nst.
> ist ist eben auch y2= [mm]x*e^\lambda[/mm] x) ne davon linear unabh.
> Lösung.
tut mir leid , will dich nicht verbessern nur nachfragen was du mit
ist eben auch y2= [mm]x*e^\lambda[/mm] x) ne davon linear unabh. Lösung.
meinst, hast dich glaub in latex verschrieben, hab n bissel probleme das zu entziffern.
> setz ein und rechne nach, dass es stimmt.
> damit ist dann die allg. Lösung [mm][mm] y=C_1*y1+C_2*y2[/
[/mm]
> das mit der Var. der Konstanten ist unnötig aber
> eigentlich auch nicht kompliziert.
> Bsp : y''-2y'+y=0 [mm]\lambda=1[/mm]
> [mm]y1=C*e^x[/mm] C=C(x)
> [mm]y'=C'*e^x+Ce^x[/mm]
> [mm]y''=C''e^x+2C'e^x+Ce^x[/mm]
> in Dgl einsetzen
> [mm]C''e^x+2C'e^x+Ce^x-2C'e^x-2Ce^x +Ce^x=0[/mm] daraus
> C''=0 daraus
bis hier hin hab ichs verstanden, was dann folgt leider nicht :-(
> C=C1*x+C2
> einsetzen ergibt [mm]y=(C1x+C2)*e^x[/mm]
>
Wie kommt du von dem [mm] C''= 0 [/mm] auf [mm] C=C1*x + C2 ? [/mm]
Grüße und danke für die ausführliche Erklärung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Do 04.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus f''=0 folgt F'=const=C1
aus f'=C1 folgt F=C1*x+C2
klar?
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Habs verstanden
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
und weiter rechnen !
