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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Klio |
Hallo ihr,
könnt ihr mir die Bewegungsgleichung (Schwingungsgleichung) einer harmonischen Schwingung aufzeigen? Als Hinweis wurde uns angegeben, dass wir den Ort als Nullpunkt der x-Achse, bei dem sich das Gewicht in Ruhe befinden würde, wählen sollen. Vielen Dank für eure Hilfe,
lg Ramona
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ramona,
bei einer harmonischen Schwingung folgt die Auslenkung eines Körpers aus der Ruhelage einer Sinusfunktion, das Ganze ist abhängig von der Zeit, also kann der allgemeine Ansatz lauten
$$ x = [mm] x_0 \sin \omega [/mm] t [mm] \, [/mm] . $$
[mm] x_0 [/mm] ist hierbei die Amplitude der Schwingung. Leitet man diese Größe zweimal nach der Zeit ab, so kommt man auf eine Aussage zur Beschleunigung mit
$$ a = - [mm] a_0 \sin \omega [/mm] t [mm] \, [/mm] .$$
Dies ist genau das Charakteristische einer harmonischen Schwingung, nämlich dass die Beschleunigung proportional zur Auslenkung x ist und dieser entgegengerichtet.
In der Physik hast Du häufig die Kräfte, die auf einen Körper wirken, und mit Hilfe von [mm] F = ma [/mm] kann man die Beschleunigung ausrechnen und zweimaliges Hochintegrieren nach der Zeit ergibt den Verlauf der harmonischen Schwingung.
Vergleichst Du die beiden Gleichungen oben miteinander, so erhälst Du eine Aussage über die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Auslenkung x.
$$ a = - [mm] \bruch{a_0}{x_0} [/mm] x [mm] \, [/mm] ,$$
was man der Praktikalibität halber auch als
$$ a = [mm] -\omega^2 [/mm] x $$ schreibt.
Bei der Federwaage gilt für die Rückstellkraft
$$ F = [mm] -Dx\, [/mm] . $$
Mit
$$ F = ma = - m [mm] \omega^2 [/mm] x $$
bekommst Du [mm] D = m \omega^2 [/mm] und hieraus lässt sich die Kreisfrequenz Omega bestimmen. Die Schwingungsdauer T ergibt sich dann durch
$$ T = [mm] \bruch{2 \pi}{\omega}\, [/mm] . $$
Damit hast Du eigentlich alle Größen beisammen, um die harmonische Schwingung berechnen zu können.
Viele Grüße,
Infinit
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