Fehler 1. und 2. Art < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Zufallsvariable der Länge von bestimmten Bauteilen des Typs A sei etwa N(45,4²), die des Typs B etwa N(46,4²)- verteilt. Aus einer Meßreihe vom Umfang 500 sei nicht mehr feststellbar, ob Typ A oder Typ B gemessen wurde.
(a) Folgende Testentscheidung wird benutzt: Gilt für den Mittelwert [mm] \overline{x} [/mm] < 45,5, so entscheidet man sich für μ = 45, sonst für μ = 46. Bestimmen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art.
(b) Wie groß muß der Stichprobenumfang mindestens sein, damit beide Fehlerwahrscheinlichkeiten höchstens gleich 0,006 sind? |
Liebes Forum,
ich stehe momentan vor allem bei a) ziemlich an: Wie berechne ich die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. und 2. Art?
Ich hätte spontan so gerechnet: Z = [mm] \bruch{\overline{X} - \mu}{\bruch{sigma}{\wurzel{n}}}
[/mm]
wobei ich für X = 45.5, für μ = 45 (und mit 46), für sigma 4 und für n = 500 genommen hätte.
der Wert für die Wsk des Fehlers 1. Art wäre dann Φ(Z).
Meine Frage zu dem Beispiel ist nun, ob ich so auf dem richtigen Weg bin und mich verwirrt Aufgabe a) ein wenig, weil ich brauche doch einen konkreten Erwartungswert von der Strichprobe, aber wenn hier steht [mm] \overline{x} [/mm] < 45 wüsste ich jetzt nicht genau, was ich für [mm] \overline{x} [/mm] beim berechnen der standardisierten Zufallsvariable Z angeben sollte. Und wie komme ich auf die Wsk vom Fehler 2. Art?
bei Aufgabe b) hätte ich so gerechnet:
[mm] \bruch{\overline{X} - \mu}{\bruch{sigma}{\wurzel{n}}} [/mm] = 3,24
und dann nach n unformen ... 3,24 ist der Wert aus der Tabelle der standardisierten Normalverteilung, den ich bekommen habe in dem ich [mm] \alpha [/mm] (Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art) in der Tabelle gesucht habe.
Ich hoffe, ihr könnt mir bei dem Beispiel helfen.
Freue mich sehr auf Antworten!
LG,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mi 16.09.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Martin,
den Fehler 1. Art begehst du, wenn du die Nullhypothese ablehnst, obwohl sie korrekt ist, d.h. [mm] $(\bar X\ge [/mm] 45.5)$ tritt ein, obwohl gilt [mm] $\mu=45$. [/mm] Die entsprechende Wsk ist also [mm] $P(\bar X\ge [/mm] 45.5)$ mit [mm] $\bar X\sim N(45,4^2/n)$.
[/mm]
Den Fehler 2. Art begehst du, wenn du die Nullhypothese beibehaeltst, obwohl sie falsch ist, d.h. [mm] $(\bar [/mm] X< 45.5)$ tritt ein, obwohl gilt [mm] $\mu=46$.
[/mm]
vg Luis
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Vielen Dank für die Hilfe! Ich glaube, ich weiß jetzt wies funktioniert. (hab dann eh richtig gerechnet ;) )
LG
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