Fehler 2. Art < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Cem |
| Aufgabe | Der Bekanntheitsgrad einer Schülerzeitung unter den Schülern liegt bei 64%.
a) Erläutere einen Hypothesentest für den Bekanntheitsgrad von 64% bei 125 befragten Schülern. Stelle alle Aspekte des Tests dar! Gib an, welches Ergebnis der Test liefert, wenn 75 Schüler diese Schülerzeitung kennen!
Beschreibe auch die Fehler 1. Art und 2. Art und berechne die Fehlerwahrscheinlichkeiten, falls tatsächlich 71% der Schüler die Schülerzeitung kennen.
b) Berechne, mit welcher Anzahl mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 92,5% zu rechnen ist! Begründe deine Antwort, in dem du den Lösungsweg und die genaue Wahrscheinlichkeit angibst!
Vergleiche die genaue Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich mit dem Näherungswert, der mit Hilfe der Gaußschen Glockenkurve (Normalverteilung) berechnet wird! |
zu a)
Bis auf die Berechnung des Fehlers 2. Art ist mir hier alles geläufig. Man hat die Hypothese p=0,64 und n=125, ein Signifikanzniveau von 5% was das 1,96 Sigmaintervall bedeutet (zweiseitiger Hypothesentest).
Der Erwartungswert ist 80 (n*p) und die jeweilige Eingrenzung für das 95% Intervall ist für p=0,64:
P(70 <= X >= 90).
Entscheidungsregel ist, dass man die Hypothese p=0,64 ablehnt, falls die Stichprobe außerhalb des Intervalls [70|90] liegt.
Fehler 1. Art ist klar: Hypothese wird verworfen obwohl sie wahr ist. D.h.:
[mm] E(nCr(125,k)*0,64^k*0,36^{125-k}, [/mm] k, 0, 69) = 0,0264
[mm] +E(nCr(125,k)*0,64^k*0,36^{125-k}, [/mm] k, 91, 125) = 0,0235
Zusammen ergibt das 4,99% (Signifikanzniveau Alpha=0,05 für den Fehler 1. Art)
[ E() ist das von mir verwendete Symbol für das Summenzeichen ]
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FRAGE:
Fehler 2. Art ist eigentlich auch klar: Hypothese wird angenommen/nicht verworfen obwohl sie falsch ist.
Ich habe keine Ahnung, wie man die Wahrscheinlichkeit von ß also den Fehler 2. Art außrechnet.
Mein Gedanke ist folgender: p=0,71 ist die Wahrscheinlichkeit, die zwar falsch ist, aber weil sie im Annahmebereich von p=0,64 liegt, also im Intervall [70 | 90], angenommen wird.
[mm] E(nCr(125,k)*0,71^k*0,29^{125-k}, [/mm] k, 70, 90) = 0.63 Also dieser Fall kann zu 63% eintreten?
FRAGE:
Müsste ich mir falls die 71% nicht angegeben wären (also falls keine konkrete zweite Wahrscheinlichkeit angegeben ist), eine neue Wahrscheinlichkeit ausdenken und mit dieser ausgedachten Wahrscheinlichkeit (für p ungleich 0,64 also z.B. p=0,5 oder p=0,69) im Annahmebereich von p=0,64 den Fehler 2. Art ausrechnen?
FRAGE:
(unabhängig von der Aufgabenstellung): Angenommen es handelt sich um einen einseitigen Hypothesentest mit p>=0,64, n=125, Alpha= 0,1. Müsste ich dann für den Fehler 2. Art mir wiederum eine Wahrscheinlichkeit ausdenken, welche kleiner 0,64 ist also beispielsweise p=0,62 oder 0,5 und mit dieser Wahrscheinlichkeit im Annahmebereich von p>=0,64 den Fehler 2. Art ausrechnen?
Mein Gedanke ist nämlich folgender (bitte korrigiert mich, wenn ich falsch liege):
Weil einseitiger Hypothesentest: 1,28 Sigmaintervall (80%- Intervall) - Erwartungswert ist wieder 80 und der Annahmebereich von p>=0,64 ist: [80 - 1,28*6,869 |125] also [74 | 125]
Neue ausgedachte Wahrscheinlichkeit ist für p<0,64 ist z.B. p=0,55
Ergebnis für den Fehler 2. Art: [mm] E(nCr(125,k)*0,55^k*0,45^{125-k}, [/mm] k, 74, 125) = 0,1968
Liege ich da falsch?
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zu b)
Mit Hilfe der Gleichsetzung des Integrals der Gaußschen Glockenkurve mit 0,925 errechne ich das 1,78 Sigmaintervall für 92,5%, das mir vorher nicht bekannt war. (Außerdem ist p=0,64, n=125 u. E(x)=80)
Der Annahmebereich ist dann P(71<= X >=89)
Alpha, die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art also 7,5%.
Das Intervall [71 | 89] trägt eine Wahrscheinlichkeit von 92,38%, was ungefähr 92,5% ist.
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FRAGE:
Wie kann ich die Werte noch weiter vergleichen? Die Frage ist ja, dass man die genaue Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich mit dem Näherungswert, welcher mit Hilfe der Gaußschen Glockenkurve berechnet wird, vergleichen soll.
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Vielen Dank schonmal für eure Mühe, dass ihr euch das durchlest um meine Fragen zu beantworten :)
Wichtig sind mir vor allem die drei Fragen zu a mit dem Fehler 2. Art
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hi,
also ich habe leider gerade nicht die Zeit auf alle Fragen einzugehen und dies mal auszuprobieren.
Aber zu deiner Frage wie man den Fehler 2. Art berechnet hab ich einen kleinen Tipp für dich, der mir imer sehr geholfen hat:
Du berechnest beim Fehler 1. Art ja mit dem Ablehnungsbereich und der H0 Wahrscheinlichkeit.
Beim Fehler 2. Art machst du es andersherum. Du nimmst den Annahmebereich und die H1 Wahrscheinlichkeit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Cem |
Ja genau, aber wenn mir keine zweite Wahrscheinlichkeit H1 vorliegt, muss ich mir dann eine ausdenken?
Beim einseitigen Hypothesentest ist das ja so, dass der Annahmebereich von H0 und H1 das gleiche Intervall z.B. [60 | 70] beansprucht - ich sag einfach mal bei Alpha=0,05, n=100 und irgendeinem p0>x und [mm] p1\le [/mm] x ist es z. B. das 90%-Intervall, indem die beiden Hypothesen aufeinandertreffen und in Extremfall man sich für keines der beiden entscheiden kann, weil das Stichprobenergebnis genau in dem Intervall [60 | 70] liegt. Die Wahrscheinlichkeit von p0>x für den Annahmebereich von 61 bis 100 beträgt etwa 95%. Bei dem anderen p1 [mm] \le [/mm] x liegt der Annahmebereich im Intervall [0 |70] und das wären auch etwa 95%.
Der Fehler 1. Art von p0>x liegt dann entsprechend im Intervall [0 | 59] und beträgt etwa 5%.
Wie muss ich jetzt vorgehen, wenn ich den Fehler 2. Art berechnen will (von p0), der Annahmebereich von beiden Wahrscheinlichkeiten p0 und p1 im Intervall [70 | 90] aber schon 90% ist.
Müsste man diesen Bereich des 90%-Intervalls nicht mitzählen, sondern für den Fehler 2. Art bei p1 [mm] \le [/mm] x nur das Intervall [71 | 100] einbeziehen (ohne 90%-Intervall), statt den gesamten Annahmebereich von 61 bis 100?
Dann würde man nämlich folgendes in den Taschenrechner eingeben:
[mm] \summe_{i=1}^{n} nCr(100,k)*p^k*(1-p)^{100-K}, [/mm] k, 71,100) , oder? (wenn nicht, bitte korrigieren)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Do 27.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Es ist hier unmöglich den Fehler 2. Art zu berechnen, da kein prozentualer Anteil angegeben ist.
Wenn es wirklich von dir verlangt wäre, müsste in der Aufgabenstellung stehen wie "gehen sie davon aus, dass die Wkt. in Wahrheit lediglich 50% betrage".
Das würde hier ja sowieso schonmal nicht viel Sinn machen, da wir einen 2- seitigen Test vorliegen haben.
Zudem _muss_ immer durch die Entscheidungsregel eindeutig festgelegt sein für welche Hypothese man sich entscheidet; so einen Fall, wo man sich nicht eindeutig entscheiden kann, wie du ihn beschrieben hast, gibt es nicht.
Deine Überlegungen am Ende hören sich gut an; ich sags nur nochmal selbst, um auch wirklich sicher zu gehen, dass ich dich richtig verstanden habe, da du es ein wenig umständlich formuliert hast:
Du hast 2 Hypothesen:
H0 p=0,4
H1 p=0,5
Bestimmt Annahmebereiche für die jeweiligen Hypothesen bei einem Stichprobenumfang von n=100:
H0 liegt vor, falls k [mm] \le [/mm] 45
H1 liegt vor, falls k > 45
Fehler 1. Art = [mm] \summe_{k=46}^{100} nCr(100,k)\cdot{}0,4^k\cdot{}(1-0,4)^{100- k}, [/mm] H1 wird angenommen, obwohl H0 vorliegt.
Analog dazu:
Fehler 2. Art = [mm] \summe_{k=0}^{45} nCr(100,k)\cdot{}0,5^k\cdot{}(1-0,5)^{100-k}, [/mm] H0 wird angenommen, obwohl H1 vorliegt.
Das alles könnte man nun noch ein wenig schöner formulieren aber ich hoffe, dass das "Prinzip klar geworden ist".
So kompliziert wie du es dir da überlegt hast, würde ich es mir gar nicht machen und um ehrlich zu sein, blicke ich bei dem ganzen Kuddelmuddel gar nicht so recht durch.
Wenn noch was unklar ist, frag einfach nochmal konkret nach einzelnen Sachverhalten oder bezieh dich am besten auf ein Beispiel.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:35 Do 27.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
a) 1. Frage
> Mein Gedanke ist folgender: p=0,71 ist die Wahrscheinlichkeit, die zwar falsch ist, aber weil sie im Annahmebereich von p=0,64 liegt, also im Intervall [70 | 90], angenommen wird.
Nein. Der Fehler 2. Art beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die falsche [mm] H_0 [/mm] -Hypothese angenommen wird, obwohl die Alternativh. (hier :71%) richtig ist.
> Also dieser Fall kann zu 63% eintreten?
Genau. Wenn der echte Wert also 71% ist, dann wird trotzdem zu 63% die Hypothese 64% angenommen.
a) 2.Frage
> Müsste ich mir falls die 71% nicht angegeben wären, eine neue Wahrscheinlichkeit ausdenken ?
Nein.
Wie bereits geschrieben : Wenn keine Alternativhypothese gegeben ist, oder sie nicht offensichtlich ist, dann gibt es keinen Fehler 2.Art zu berechnen.
a) 3.Frage
> Angenommen es handelt sich um einen einseitigen Hypothesentest mit p>=0,64.
> ...wiederum eine Wahrscheinlichkeit ausdenken...?
Nein.
Dann ist die Alternativhypothese klar. Falls die Hypothese [mm] p\ge0,64 [/mm] nicht stimmt, dann muss doch p<0,64 sein. Also den Fehler 2.Art mit "p<0,64" berechnen.
b)
Ich glaube du sollst die Wahrscheinlichkeit des Intervals [71;89] nochmal per Normalverteilung abschätzen. Scheinbar um zu sehen wie genau diese bereits für n=125 ist.
Ciao.
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