Fehler bei Integralberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Diagon |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie in Fig. 4 für m = 0,5 die Inhalte der blau und rot gefärbten Flächen.
b) Für welchen Wert von m ist die rote Fläche in Fig. 4 gleich groß wie die blaue? Drücken Sie dazu zunächst die Fläche in Abhängigkeit von z aus und bestimmen sie darauf m.
nach LS Gesamtband S. 80 Nr. 2
(Anmerkung: Gegeben sind hier die Funktion f(x) = [mm] -(x-2)^2 [/mm] + 4 und die Gerade g(x) = m*x mit variablen m, die sich schneiden. Die blaue Fläche ist die Fläche, die von Graphen und der Gerade links von Schnittpunkt z eingeschlossen wird und die rote Fläche ist die Fläche rechts davon.
Das Intervall ist [0; 4].) |
Guten Tag erst mal,
für eine Klausur morgen wollte ich nochmal eine Aufgabe lösen, bei der ich es für wahrscheinlich halte, dass eine ähnliche Aufgabe drankommt und an sich klingt die auch gar nicht so schwer. Zumindest a) sollte eigentlich recht einfach sein, aber bei mir kommen nichtsdestotrotz falsche Ergebnisse heraus.
Mein Lösungsweg:
f(x) = [mm] -(x-2)^2 [/mm] + 4 = -x² + 4x (nach Anwenden der bin. Formel)
g(x) = 0,5x
1.) Schnittpunkt(e) bestimmen:
f(x) = g(x)
usw.
Am Ende kommen die Punkte (0/0) und (3,5/1,75) heraus.
Das heißt, das Intervall für die blaue Fläche ist [0; 3,5] und für die rote Fläche [3,5; 4]. So weit, so gut.
2.) Flächeninhalt der blauen Fläche
Da f(x) >= g(x) im Intervall [0; 3,5]:
Integral von f(x) im Intervall berechnen und davon das Integral von g(x) in dem Intervall subtrahieren (oder einfach die Dreiecksfläche abziehen, da die Gerade ja mit der x-Achse und der y-Achse ein Dreieck umschließt.
Für g(x) müsste folgendes herauskommen:
Breite * Höhe / 2 = 3,5 * 1,75 / 2 = 3,0625
Für den Flächeninhalt, der von f(x) und der x-Achse begrenzt wird, muss zunächst die Stammfunktion ausgerechnet werden.
f(x) = [mm] -x^2 [/mm] + 4x
F(x) = [mm] -(x/3)^3 [/mm] + [mm] 2x^2
[/mm]
Hier tritt bei mir der erste Fehler auf. Wenn ich das Integral per Taschenrechner berechne, erhalte ich etwa 10,208
Berechne ich es aber manuell, also mit F(3,5) - F(0) kommt Folgendes heraus:
F(3,5) - F(0)
= [mm] (-(3,5/3)^3 [/mm] + 2 * [mm] 3,5^2) [/mm] - 0
= -1,588 + 24,5
= 22,912
Also muss ich irgendwo einen Fehler gemacht haben. Kann mir da jemand helfen, den zu finden?
Für die rote Fläche ergibt sich das gleiche Problem.
zu b)
Mein Ansatz:
Das Intervall ist immer noch [0; 4]. Diesmal ist m nicht vorgegeben.
Die rote Fläche soll so groß wie die blaue sein, also muss das (Integral von [mm] (-x^2 [/mm] + 4x) minus das Integral von m*x im Intervall [0; z]) gleich dem (Integral von m*x minus das Integral von [mm] -x^2 [/mm] im Intervall [z; 4] sein ).
Also [mm] \integral_{0}^{z}{(-x^2 + 4x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{z}{(m*x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{z}^{4}{(m*x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{z}^{4}{(-x^2 + 4x) dx} [/mm]
also
[mm] \integral_{0}^{z}{(-x^2 + 4x - m*x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{z}^{4}{(m*x + x^2 - 4x) dx}
[/mm]
Jedoch weiß ich nicht, wie ich aus diesen Informationen auf m schließen kann. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand hier weiterhelfen könnte.
Danke im Voraus für jede Hilfe. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo
zu a)
> $f(x)= [mm] 4x-x^{2}$ [/mm] und $g(x)= 0.5x $
ja
> schnittpunkte
ja
Die linke blaue Fläche erhältst du, indem du f(x) von 0 bis 3.5 integrierst und dein Dreieck abziehst.
Die rechte rote Fläche indem du f(x) von 0 bis 4 integriest und die blaue Fläche abziehst.
> Dreieck = 3.0625
ok
> [mm] -(x/3)^{3}
[/mm]
Das ist falsch wegen den Klammern!!!
[mm] $\integral (-x^{2}+4x) [/mm] dx = [mm] -\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}$ [/mm]
Wenn du hier deie Grenzen 0 und 3.5 einsetzt dann kommst du auf dasselbe wie der Taschenrechner.
b)
Die rote Fläche erhältst du wieder indem du f(x) von 0 bis 4 integrierst und die blaue davon abziehst und weil sie gleich sind erhältst du 0 wenn du die eine von der anderen abziehst.
[mm] $\integral_{0}^{4}(4x-x^{2})dx [/mm] - [mm] (\integral_{0}^{z}(4x-x^{2})dx [/mm] - [mm] \integral_{0}^{z}(mx) [/mm] dx ) = 0 $
Das kannst du nach z auflösen, und dann diesen Schnittpunkt :
[mm] $mx=4x-x^{2} \gdw [/mm] x(m+x-4)=0 $
[mm] $\Rightarrow x_{1}=0$ [/mm] und [mm] $x_{2}=z= [/mm] 4-m$
hier einsetzen und nach m auflösen!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Diagon |
Danke sehr, das hilft mir wirklich sehr weiter! :)
|
|
|
|
