Fehler im Beweis < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Namisan |
| Aufgabe | Finden Sie den Fehler im folgenden Beweis für die Ableitungsregel der Umkehrfunktion:
Seien C,D [mm] \subset \IR [/mm] Intervalle und f:C [mm] \to [/mm] D eine differenzierbare Funktion mit Umkehrfunktion g:D [mm] \to [/mm] C Dann gilt für alle x [mm] \in [/mm] D:
f(g(x))=x
Unter Benutzung der Kettenregel erhalten wir durch Differenzieren für x [mm] \in [/mm] D die Gleichung:
f´(g(x))*g´(x)=1
Damit erhalten wir dann:
g´(x)= 1/ f´(g(x)) |
Hi,
also wenn ich mir diese Aufgabe so anschaue und zusätzlich mit anderen Beweisvorgängen vergleiche dann sieht es so aus, dass die Formeln alle korrekt sind. Was man auch ohne Probleme Erkennen kann.
Das heisst der Fehler muss in dem Satz ganz am Anfang liegen. Bzw an den Bedingungen.
1. Es fehlt ein [mm] f(x)\not=0
[/mm]
2. Ich könnte mir vorstellen das die Intervalle bzw die Mengen in denen die Funktionen liegen nicht ganz korrekt gewählt werden. Sie bilden sich ja immer jeweils auf die andere Menge ab. Müssten sich nicht beide Funktionen die jeweils in einer anderen Menge liegen auf [mm] \IR [/mm] abbilden?
Aber ich bin mir da nicht ganz sicher und könnte es noch mehr Bedingungen geben die dringend zu beachten sind , ich aber nicht gesehen habe?
Wäre nett wenn mir da jemand weiter helfen könnte!
Vielen Dank
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:10 So 16.12.2007 | | Autor: | Namisan |
Könnte mir das jemand mit den Mengen und den Abbildungen noch mal erklären? Ich versteh das beim besten willen nicht. Hab schon alles mögliche versucht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 So 16.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
es fehlt ein [mm] f'(x)\not=0, [/mm] da sonst der Quotient nicht immer definiert sein muss.
Man könnte alternativ auch von der Menge C verlangen, dass sie offen ist.
Deine Vermutungen waren also beide schon recht nah dran. ;)
z.B. mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] und C=[0;2] womit D=[0;4] und f'(x)=2x
dann ist [mm] g(x)=\wurzel[]{x}
[/mm]
Dann gibt es ein Problem bei [mm] g'(0)=\bruch{1}{f'(g(0))}=\bruch{1}{f'(0)}=\bruch{1}{0}
[/mm]
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 So 16.12.2007 | | Autor: | Namisan |
Hi,
danke für den Tipp.
Das offene Intervall brauche ich ja um sagen zu können das g auch differenzierbar ist. Nicht wahr?! Damit das ganze hinhaut. Zumindest denke ich mir das jetzt so.
Danke
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