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| Aufgabe | Finden Sie den Fehler in dem folgendem Beweis für die Tatsache, dass die Summe zweier rationaler Zahlen wieder rational ist.
Es seien m und n rationale Zahlen; wir können als m=p/q und n=r/s schreiben, wobei q,p,r,s ganze Zahlen sind (mit q und s ungleich 0). Es folgt
[mm] m+n=\bruch{p}{q}+\bruch{r}{s}.
[/mm]
Da die Summe zweier Brüche wieder ein Bruch ist, muss also m+n ein Bruch sein. Demnach ist m+n rational. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe wortwörtlich aus einem Übungsbuch übernommen.
Obwohl ich nun schon seit zwei Stunden darüber grüble gelingt es mir einfach nicht, denn Fehler zu finden.
Wenn ich das ganze mal genauer analysiere, lautet der erste Teil des Beweises :
Es seien m und n rationale Zahlen; wir können als m=p/q und n=r/s schreiben, wobei q,p,r,s ganze Zahlen sind (mit qund s ungleich 0).
Ich behaupte nun, dass in diesem Teil kein Fehler zu finden ist.
Müsste ich den Beweis suchen würde ich die notwendigen Anforderungen so schreiben:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \varepsilon \IQ \exists [/mm] p,q [mm] \in \IZ \not= [/mm] 0 :x = [mm] \bruch{p}{q}.
[/mm]
Bleibt der zweite Teil mit der Behauptung :
[mm] m+n=\bruch{p}{q}+\bruch{r}{s}.
[/mm]
Auch hier muss ich zugeben, dass mir kein Fehler ins Auge springt, ausser mann will es als Fehler werten, dass die Brüche nicht gleichnahmig gemacht wurden.
Müsste ich den Beweis führen würde ich das ganz nun so aufbauen:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \varepsilon \IQ \exists [/mm] p1,q1 [mm] \in \IZ \not= [/mm] 0 :x = [mm] \bruch{p1}{q1} [/mm] + [mm] \forall [/mm] x [mm] \varepsilon \IQ \exists [/mm] p2,q2 [mm] \in \IZ \not= [/mm] 0 :x = [mm] \bruch{p2}{q2}.
[/mm]
Somit ergibt sich : [mm] \bruch{p1}{q1} [/mm] + [mm] \bruch{p2}{q2}.
[/mm]
Und um das Problem der gleichnahmigkeit zu beseitigen forme ich dies folgendermaßen um :
[mm] \bruch{p1q2+p2q1}{q1q2}.
[/mm]
Ausser dass die Brüche nicht gleichnahmig gemacht wurden springt mir da einfach nichts ins Auge.
Sollte jemand den gesuchten Fehler erkennen würde ich mich über eine Nachricht freuen.
Grüße und Danbke im voraus.
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Ich sehe auch keinen Fehler im Beweis. Allenfalls könnte man einzelne Schritte noch genauer ausführen (Gleichnamigkeit, Nenner bleibt ungleich 0 und so weiter).
Das Ganze steht natürlich unter dem Vorbehalt, daß es davon abhängt, wie rationale Zahlen in diesem Buch zuvor eingeführt wurden. Möglicherweise gilt der Beweis deshalb als fehlerhaft, weil nicht auf die dortigen Definitionen und Operationen abgestellt wurde.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Mi 15.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Da die Summe zweier Brüche wieder ein Bruch ist, muss
> also m+n ein Bruch sein. Demnach ist m+n rational.
Aha!? Hier wird unterstellt, dass jeder Bruch zwangsläufig eine rationale Zahl ist.
Ich kann aber problemlos [mm] $\pi$ [/mm] und $2+3*j$ als Bruch schreiben - sind sie demnach auch rationale Zahlen?
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\varepsilon \IQ \exists[/mm] p,q [mm]\in \IZ \not=[/mm] 0 :x = [mm]\bruch{p}{q}.[/mm]
Hmm, da bin ich jetzt aber neugierig. Null ist zweifelsohne eine rationale Zahl. Da würde ich dich doch jetzt bitten wollen, mir die beiden, von Null verschiedenen Zahlen p und q zu nennen, deren Quotient Null ist.
Also p=0 darfst du nicht verbieten.
Aber ansonsten ist diese Definition genau das, was in dem "Beweis" NICHT gezeigt wurde. Nämlich dass m+n ein Bruch aus ganzen Zahlen ist. Das wiederum lässt sich wohl durch gleichnamig machen und zusammenfassen leicht zeigen. Und somit hast du sogar irgendwie Recht gehabt mit
"Auch hier muss ich zugeben, dass mir kein Fehler ins Auge springt, ausser mann will es als Fehler werten, dass die Brüche nicht gleichnahmig gemacht wurden. ",
wenn man vom überflüssigen "h" in "gleichnamig" und der falschen Schreibweise von "außer" und "man" absieht 
> [mm]\bruch{p1q2+p2q1}{q1q2}.[/mm]
Damit ist es noch nicht getan. Jetzt musst du eben sowohl für den Zähler , als auch für den Nenner "zeigen"/argumentieren, dass sie ganzzahlig sind und für den Nenner noch zusätzlich, dass er nicht Null ist.
Das wird wohl schnell einerseits aus der Abgeschlossenheit der Menge der ganzen Zahlen bezüglich Multiplikation und Addition folgen und andererseits aus einer Eigenschaft des neutralen Elements der Addition ("Produkt-Null-Satz") [mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ: [/mm] a*b=0 [mm] \gdw [/mm] a=0 [mm] \vee [/mm] b=0$.
Kurz zusammengefasst besteht der Fehler im gegebenen Beweis darin, dass dieser, um die Abgeschlossenheit der rationalen Zahlen bezüglich der Addition zu zeigen, genau diese Abgeschlossenheit vorausgesetzt hat.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:13 Do 16.04.2015 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mi 15.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie den Fehler in dem folgendem Beweis für die
> Tatsache, dass die Summe zweier rationaler Zahlen wieder
> rational ist.
>
> Es seien m und n rationale Zahlen; wir können als m=p/q
> und n=r/s schreiben, wobei q,p,r,s ganze Zahlen sind (mit q
> und s ungleich 0). Es folgt
>
> [mm]m+n=\bruch{p}{q}+\bruch{r}{s}.[/mm]
> Da die Summe zweier Brüche wieder ein Bruch ist,
Oha ! Ist dies nicht gerade das, was zu zeigen ist ?
FRED
> muss
> also m+n ein Bruch sein. Demnach ist m+n rational.
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe wortwörtlich aus einem Übungsbuch
> übernommen.
>
> Obwohl ich nun schon seit zwei Stunden darüber grüble
> gelingt es mir einfach nicht, denn Fehler zu finden.
>
> Wenn ich das ganze mal genauer analysiere, lautet der erste
> Teil des Beweises :
> Es seien m und n rationale Zahlen; wir können als m=p/q
> und n=r/s schreiben, wobei q,p,r,s ganze Zahlen sind (mit
> qund s ungleich 0).
> Ich behaupte nun, dass in diesem Teil kein Fehler zu
> finden ist.
>
> Müsste ich den Beweis suchen würde ich die notwendigen
> Anforderungen so schreiben:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\varepsilon \IQ \exists[/mm] p,q [mm]\in \IZ \not=[/mm] 0 :x =
> [mm]\bruch{p}{q}.[/mm]
>
> Bleibt der zweite Teil mit der Behauptung :
> [mm]m+n=\bruch{p}{q}+\bruch{r}{s}.[/mm]
> Auch hier muss ich zugeben, dass mir kein Fehler ins Auge
> springt, ausser mann will es als Fehler werten, dass die
> Brüche nicht gleichnahmig gemacht wurden.
>
> Müsste ich den Beweis führen würde ich das ganz nun so
> aufbauen:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\varepsilon \IQ \exists[/mm] p1,q1 [mm]\in \IZ \not=[/mm] 0 :x
> = [mm]\bruch{p1}{q1}[/mm] + [mm]\forall[/mm] x [mm]\varepsilon \IQ \exists[/mm] p2,q2
> [mm]\in \IZ \not=[/mm] 0 :x = [mm]\bruch{p2}{q2}.[/mm]
> Somit ergibt sich : [mm]\bruch{p1}{q1}[/mm] + [mm]\bruch{p2}{q2}.[/mm]
> Und um das Problem der gleichnahmigkeit zu beseitigen
> forme ich dies folgendermaßen um :
> [mm]\bruch{p1q2+p2q1}{q1q2}.[/mm]
>
> Ausser dass die Brüche nicht gleichnahmig gemacht wurden
> springt mir da einfach nichts ins Auge.
>
> Sollte jemand den gesuchten Fehler erkennen würde ich mich
> über eine Nachricht freuen.
> Grüße und Danbke im voraus.
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mi 15.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> > [mm]m+n=\bruch{p}{q}+\bruch{r}{s}.[/mm]
> > Da die Summe zweier Brüche wieder ein Bruch ist,
>
> Oha ! Ist dies nicht gerade das, was zu zeigen ist ?
>
Nicht ganz. Zu zeigen wäre, dass Zähler und Nenner dieses Bruchs ganzzahlig und der Nenner verschieden von Null ist.
Der Fehler liegt in der nächsten Schlussfolgerung
> > muss also m+n ein Bruch sein. Demnach ist m+n rational.
Es stellt eben nicht jeder Bruch eine rationale Zahl dar.
Gruß RMix
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Man kann natürlich Rabulistik betreiben. Im vorliegenden Kontext scheint mir aber "Bruch" für "Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner" zu stehen.
Natürlich kann man alles immer auch ganz anders sehen ...
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