Fehlerabsch. eines Taylorpoly. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Kalka |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Taylorpolynom 3. Grades um den Punkt [mm] x_{0} [/mm] = [mm] \pi/2 [/mm] von der Funktion:
f(x) = ln(sin(x))
Schätzen Sie den Fehler für [mm] \bruch{\pi}{4} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{3\pi}{4} [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich hänge im Moment an dieser Aufgabe. Das Taylorpolynom habe ich bestimmt und es lautet:
[mm] T_{f, x_0, 3}(x) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}(x-\bruch{\pi}{2})^2
[/mm]
Das sollte auch soweit richtig sein, zumindest nähert sich dieses Polynom auch der Funktion f an der stelle [mm] x_0 [/mm] an.
Nur bei der Abschätzung des Fehlers habe ich im Moment so meine Probleme. Zunächst habe ich die Differenz des Taylorpolynoms und der Ur-Funktion gebildet:
[mm] |f(x)-T_{f, x_0, 3}(x)| [/mm] = [mm] |ln(sin(x))+\bruch{1}{2}x^2-\bruch{\pi}{2}x+\bruch{\pi^2}{8}|
[/mm]
okay, soweit, so gut. In meinen Aufzeichnungen habe ich nun folgende Definition gefunden:
[mm] |f(x)-T_{f, x_0, 3}(x)| \le\bruch{M}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}
[/mm]
Dies gilt, wenn [mm] |f^{n+1}(x)| \le [/mm] M für alle x [mm] \in [/mm] (a,b).
So meine Hoffnung war nun, die 4. Ableitung meiner Ur-Funktion zu bilden und im Intervall [mm] \bruch{\pi}{4} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{3\pi}{4} [/mm] nachzusehen, ob ich diese "Schranke" M finde.
Hier liegt allerdings mein Problem, den dieses M finde ich nicht. Ist mein Ansatz prinzipiell richtig? Wo liegt mein Fehler?
Ich freue mich über Antworten.
Viele Grüße,
Kalka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom 3. Grades um den Punkt
> [mm]x_{0}[/mm] = [mm]\pi/2[/mm] von der Funktion:
>
> f(x) = ln(sin(x))
>
> Schätzen Sie den Fehler für [mm]\bruch{\pi}{4} \le[/mm] x [mm]\le \bruch{3\pi}{4}[/mm]
>
> Hallo Zusammen,
>
> ich hänge im Moment an dieser Aufgabe. Das Taylorpolynom
> habe ich bestimmt und es lautet:
>
> [mm]T_{f, x_0, 3}(x)[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}(x-\bruch{\pi}{2})^2[/mm]
>
> Das sollte auch soweit richtig sein, zumindest nähert sich
> dieses Polynom auch der Funktion f an der stelle [mm]x_0[/mm] an.
>
> Nur bei der Abschätzung des Fehlers habe ich im Moment so
> meine Probleme. Zunächst habe ich die Differenz des
> Taylorpolynoms und der Ur-Funktion gebildet:
>
> [mm]|f(x)-T_{f, x_0, 3}(x)|[/mm] =
> [mm]|ln(sin(x))+\bruch{1}{2}x^2-\bruch{\pi}{2}x+\bruch{\pi^2}{8}|[/mm]
>
> okay, soweit, so gut. In meinen Aufzeichnungen habe ich nun
> folgende Definition gefunden:
>
> [mm]|f(x)-T_{f, x_0, 3}(x)| \le\bruch{M}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}[/mm]
>
> Dies gilt, wenn [mm]|f^{n+1}(x)| \le[/mm] M für alle x [mm]\in[/mm] (a,b).
>
> So meine Hoffnung war nun, die 4. Ableitung meiner
> Ur-Funktion zu bilden und im Intervall [mm]\bruch{\pi}{4} \le[/mm]
> x [mm]\le \bruch{3\pi}{4}[/mm] nachzusehen, ob ich diese "Schranke"
> M finde.
>
> Hier liegt allerdings mein Problem, den dieses M finde ich
> nicht. Ist mein Ansatz prinzipiell richtig?
Ja
> Wo liegt mein Fehler?
Das kann niemand wissen, solange Du uns Deine Rechnungen verschweigst
Berechne mal die 4. Ableitung. Dann sehen wir weiter
FRED
>
> Ich freue mich über Antworten.
>
> Viele Grüße,
> Kalka
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Kalka |
Das ist ja schonmal ganz gut. Meine (3. und )4. Ableitung sieht folgendermaßen aus:
[mm] f^{3}(x)=\bruch{2cos(x)}{sin(x)^3}
[/mm]
[mm] f^{4}(x)=\bruch{-2sin(x)^2-6cos(x)^2}{sin(x)^4}
[/mm]
Die 3. Ableitung, da bin ich mir ziemlich sicher (aufgrund von Kontrolle mit Kollegen), sollte richtig sein. Die 4. Ableitung konnte ich zwar nicht nachprüfen, dürfte jedoch auch nicht falsch sein.
Wenn ich die Funktion jetzt in meinem TR nachzeichnen lasse, dann sehe ich zumindest auf dem ersten Blick keine Schranke :/ Oder gibt es hier einen anderen Trick, diese Schranke zu erkennen?
Viele Grüße,
Kalka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das ist ja schonmal ganz gut. Meine (3. und )4. Ableitung
> sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]f^{3}(x)=\bruch{2cos(x)}{sin(x)^3}[/mm]
>
> [mm]f^{4}(x)=\bruch{-2sin(x)^2-6cos(x)^2}{sin(x)^4}[/mm]
Sieht gut aus !
>
> Die 3. Ableitung, da bin ich mir ziemlich sicher (aufgrund
> von Kontrolle mit Kollegen), sollte richtig sein. Die 4.
> Ableitung konnte ich zwar nicht nachprüfen, dürfte jedoch
> auch nicht falsch sein.
>
> Wenn ich die Funktion jetzt in meinem TR nachzeichnen
> lasse, dann sehe ich zumindest auf dem ersten Blick keine
> Schranke :/ Oder gibt es hier einen anderen Trick, diese
> Schranke zu erkennen?
Zunächst finden wir (da $|sin|,|cos| [mm] \le [/mm] 1$):
$| [mm] f^{(4)}(x)|\le\bruch{8}{sin(x)^4} [/mm] $
Nun mache Dir klar, dass $sin(x) [mm] \ge \bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] ist für [mm] x\in[\bruch{\pi}{4}, \bruch{3 \pi}{4}]
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{8}{sin(x)^4} \le [/mm] ? für [mm] x\in[\bruch{\pi}{4}, \bruch{3 \pi}{4}]
[/mm]
FRED
>
> Viele Grüße,
> Kalka
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Kalka |
Hey,
ja vielen Dank das macht Sinn :)
Also ist
$ [mm] \bruch{8}{sin(x)^4} \le [/mm] 36 $
Okay, Jetzt kann ich den erwähnten Satz anwenden..
$ | f(x) - [mm] T_{f,x_0,3}(x) [/mm] | [mm] \le \bruch{36}{24} [/mm] * [mm] (x-\bruch{\pi}{2})^4 [/mm] $
$ | f(x) - [mm] T_{f,x_0,3}(x) [/mm] | [mm] \le \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] (x-\bruch{\pi}{2})^4 [/mm] $
Okay, die Rechte Seite kann ich ja jetzt noch weiter auflosen (Bin. Formel). Dann hab ich ja im Grunde eine Gleichung, welche mir den Fehler des Taylospolynoms in abhängigkeit von x berechnet. Setzte ich dann einfach die beiden Randwerte meines Intervalls dort ein?
Also [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] und [mm] \bruch{3\pi}{4}?
[/mm]
Dann sollte ich ja den größt-möglichen Fehler bekommen. Oder wie wird der Fehler in der Regel angegeben?
Vielen Dank,
Kalka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
>
> ja vielen Dank das macht Sinn :)
>
> Also ist
>
> [mm]\bruch{8}{sin(x)^4} \le 36[/mm]
$4*8 = 32$
>
> Okay, Jetzt kann ich den erwähnten Satz anwenden..
>
> [mm]| f(x) - T_{f,x_0,3}(x) | \le \bruch{36}{24} * (x-\bruch{\pi}{2})^4[/mm]
>
> [mm]| f(x) - T_{f,x_0,3}(x) | \le \bruch{3}{2} * (x-\bruch{\pi}{2})^4[/mm]
>
> Okay, die Rechte Seite kann ich ja jetzt noch weiter
> auflosen (Bin. Formel). Dann hab ich ja im Grunde eine
> Gleichung, welche mir den Fehler des Taylospolynoms in
> abhängigkeit von x berechnet. Setzte ich dann einfach die
> beiden Randwerte meines Intervalls dort ein?
> Also [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] und [mm]\bruch{3\pi}{4}?[/mm]
>
> Dann sollte ich ja den größt-möglichen Fehler bekommen.
> Oder wie wird der Fehler in der Regel angegeben?
Für $x [mm] \in [\bruch{\pi}{4}, \bruch{3\pi}{4}]$ [/mm] ist [mm] $|x-\bruch{\pi}{2}| \le \bruch{\pi}{2}$, [/mm] also
[mm] $(x-\bruch{\pi}{2})^4 \le \bruch{\pi^4}{16}$
[/mm]
somit:
$ | f(x) - [mm] T_{f,x_0,3}(x) [/mm] | [mm] \le \bruch{32}{24} \cdot{} \bruch{\pi^4}{16} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^4}{12} [/mm] $
FRED
>
> Vielen Dank,
> Kalka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Kalka |
Hey
> [mm]4*8 = 32[/mm]
*schäm*
Wow, vielen vielen Dank für die Hilfe und auch für die Zeit :) Das hat mir viel gebracht :)
Jetzt hab ich es soweit verstanden.
Veieln Dank,
Kalka
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