Fehlerabschätzung f. adj. Verf < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen!
Ich komme leider bei folgendem Beweis nicht weiter. Wäre super, wenn mir jemand von euch helfen könnte.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ganz konkret komme ich an folgender Stelle nicht weiter:
Man weiß, dass gilt:
[mm]e = (-1)^p*C(\phi_h(y_0))h^p^+^1+O(h^p^+^2)[/mm]
[mm]\phi_h(y_0) = y_0 + O(h)[/mm]
[mm]e = (I + O(h))*e^\*[/mm]
Diese drei Voraussetzungen möchte man jetzt nutzen, um zu zeigen, dass gilt:
[mm]e^\* = (-1)^p*C(y_0)h^p^+^1+O(h^p^+^2)[/mm]
Diese Folgerung kann ich noch nicht ganz nachvollziehen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 Mo 12.10.2009 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi,
> Hallo zusammen!
>
> Ich komme leider bei folgendem Beweis nicht weiter. Wäre
> super, wenn mir jemand von euch helfen könnte.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ganz konkret komme ich an folgender Stelle nicht weiter:
> Man weiß, dass gilt:
> [mm]e = (-1)^p*C(\phi_h(y_0))h^p^+^1+O(h^p^+^2)[/mm]
>
> [mm]\phi_h(y_0) = y_0 + O(h)[/mm]
> [mm]e = (I + O(h))*e^\*[/mm]
>
> Diese drei Voraussetzungen möchte man jetzt nutzen, um zu
> zeigen, dass gilt:
> [mm]e^\* = (-1)^p*C(y_0)h^p^+^1+O(h^p^+^2)[/mm]
>
> Diese Folgerung kann ich noch nicht ganz nachvollziehen.
es waere gut, wenn du postest, wie die DGL (3.1) genau aussieht.
gruss
matthias
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Sorry...
Die DGL (3.1) ist eine ganz allgemeine autonome DGL erster Ordnung:
[mm]y' = f(y)[/mm]
[mm]y(t_0) = y_0[/mm]
[mm]\phi_t[/mm] (kleines Phi) ist der exakte Phasenfluss zu dieser DGL.
[mm]\Phi_t[/mm] ist ein (numerisches, also nicht ganz exaktes) Ein-Schritt-Verfahren zum Lösen dieser DGL
[mm]\Phi_t^\*[/mm] ist das Adjungierte Verfahren zu dem numerischen Ein-Schritt-Verfahren, d.h. es gilt:
[mm]\Phi_t^\* := (\Phi_{-t})^{-1}[/mm]
|
|
|
| |
|
So wie ich [mm] C(y_0) [/mm] verstehe, ist das ein Term, den man zunächst als Konstante behandelt, der aber im Grunde noch von [mm] y_0 [/mm] abhängt, oder?
So ähnlich wie bei der "Variation der Konstanten" in verschiedenen DGL-Lösungsverfahren.
Gibt es irgendwelche Regeln für solche "Konstanten", die man vielleicht anwenden kann?
Es ist ja
[mm]e = (-1)^p*C(\phi_h(y_0))h^p^+^1+O(h^p^+^2)[/mm] und
[mm]\phi_h(y_0) = y_0 + O(h)[/mm] gegeben.
Man möchte nun auf
[mm]e^\* = (-1)^p*C(y_0)h^p^+^1+O(h^p^+^2)[/mm]
kommen.
Kann man [mm]\phi_h(y_0) = y_0 + O(h)[/mm] vielleicht irgendwie ausnutzen, um von [mm]C(\phi_h(y_0))[/mm] auf [mm]C(y_0)[/mm] zu kommen?
|
|
|
| |
|
Hi,
> So wie ich [mm]C(y_0)[/mm] verstehe, ist das ein Term, den man
> zunächst als Konstante behandelt, der aber im Grunde noch
> von [mm]y_0[/mm] abhängt, oder?
> So ähnlich wie bei der "Variation der Konstanten" in
> verschiedenen DGL-Lösungsverfahren.
>
> Gibt es irgendwelche Regeln für solche "Konstanten", die
> man vielleicht anwenden kann?
>
ich wuerde $C$ einfach als eine stetige funktion behandeln, vermutlich kann man leicht argumentieren, dass die konstante $C$ stetig vom parameter abhaengt. Ohne die stetigkeit waere die aussage nicht beweisbar.
> Es ist ja
> [mm]e = (-1)^p*C(\phi_h(y_0))h^p^+^1+O(h^p^+^2)[/mm] und
> [mm]\phi_h(y_0) = y_0 + O(h)[/mm] gegeben.
>
> Man möchte nun auf
> [mm]e^\* = (-1)^p*C(y_0)h^p^+^1+O(h^p^+^2)[/mm]
> kommen.
>
>
> Kann man [mm]\phi_h(y_0) = y_0 + O(h)[/mm] vielleicht irgendwie
> ausnutzen, um von [mm]C(\phi_h(y_0))[/mm] auf [mm]C(y_0)[/mm] zu kommen?
[math]C(y_0+O(h))[/math] geht gegen [mm] $C(y_0)$ [/mm] fuer h gegen 0 (mit der stetigkeits-annahme). Da - denke ich - die abschaetzung vor allem fuer kleine $h$ von interesse ist, koennte das als argument schon genuegen. Falls man $C$ sogar als diffbare funktion annimmt, kann man mit einer taylor-entwicklung argumentieren. Ob das geht, haengt von der herleitung der konstanten ab. kann ich so jetzt nicht beurteilen.
der rest ist dann nur noch ein bisschen "gross O" arithmetik...
gruss
matthias
|
|
|
|
