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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | | Gegeben ist folgende Rekursionsgleichung: [mm] x_{k}=\bruch{16}{3}x_{k-1}-\bruch{5}{3}x_{k-2} [/mm] für [mm] k\ge2 [/mm] und [mm] x_{0}=1, x_{1}=\bruch{1}{3}. [/mm] Führen sie eine Fehleranalyse durch. Zeigen sie wie sich Rundungsfehler in [mm] x_{k-1} [/mm] und [mm] x_{k-2} [/mm] auf [mm] x_{k} [/mm] auswirken. |
In einer vorangegangenen Aufgabe wurde bewiesen, dass [mm] x_{k} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{3})^{k} [/mm] gilt. Meine Frage ist nun: Was ist eine Fehleranalyse? Bzw. mir ist nicht klar, was ich hier überhaupt zeigen soll. Ich könnte sagen, dass sich die fehlerbehafteten Werte folgendermaßen darstellen lassen: [mm] x_{k}\*=\bruch{16}{3}x_{k-1}(1+\varepsilon_{k-1})-\bruch{5}{3}x_{k-2}(1+\varepsilon_{k-2}). [/mm] Aber was kann man da denn nun sonst noch zeigen?
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> Gegeben ist folgende Rekursionsgleichung:
> [mm]x_{k}=\bruch{16}{3}x_{k-1}-\bruch{5}{3}x_{k-2}[/mm] für [mm]k\ge2[/mm]
> und [mm]x_{0}=1, x_{1}=\bruch{1}{3}.[/mm] Führen sie eine
> Fehleranalyse durch. Zeigen sie wie sich Rundungsfehler in
> [mm]x_{k-1}[/mm] und [mm]x_{k-2}[/mm] auf [mm]x_{k}[/mm] auswirken.
Hallo Sin777,
mir ist auch nicht ganz klar, was hier gefragt sein
soll. Insbesondere wäre wichtig zu wissen, ob man
sich mit absoluten oder relativen Fehlern befassen
soll.
Eigentlich ist ja die Zahlenfolge in [mm] \IQ [/mm] exakt definiert.
Rechnet man also mit Brüchen ganzer Zahlen, so
gibt es gar keine Fehler. Berechnet man allerdings
die Folge mit einem Rechner, der z.B. mit maximal
12 Dezimalen rechnet, so wird schon der Wert von [mm] x_1
[/mm]
nicht exakt wiedergegeben. Dieser Rundungsfehler
wirkt sich dann in allen späteren Gliedern der Folge
aus.
Sind die (absoluten) Fehler der Werte [mm] x_k [/mm] mit [mm] \Delta_k
[/mm]
bezeichnet, so gilt natürlich die Abschätzung
[mm] $\Delta_k\le \bruch{16}{3}*\Delta_{k-1}+\bruch{5}{3}\Delta_{k-2}$
[/mm]
Nützlich wäre nun wohl noch eine direkte Abschätzung
für die maximale Abweichung [mm] \Delta_n [/mm] , wenn man
etwa von [mm] \Delta_0=0 [/mm] und [mm] \Delta_1=\varepsilon [/mm] ausgeht.
LG Al-Chw.
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