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Forum "Nichtlineare Gleichungen" - Fehlerfortpflanzung
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Fehlerfortpflanzung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Mo 11.07.2016
Autor: beganea

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Freundliche Grüße zuerst an alle!
Ich beschäftige mich momentan mit der Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme und anschließender Fehlerfortpflanzung der berechneten Lösung.

Ich stelle zuerst zwei nichtlineare Gleichungen mit zwei Unbekannten vor, in ungefährer Form wie meine Gleichungen aussehen.

F1(a,b,x,y) = 0 = a + bx + log(sqrt(x)/2e) + log(y) + y*f
F2(c,d,x,y) = 0 = c + dy + log(sqrt(x)/2e) + log(1-y) + y*g

wobei e abhängig von y ist, und x abhängig von e und somit von y ist. Alle Koeffizienten der Gleichungen sind bekannt außer den Größen x und y, die numerisch gelöst werden. Da die Koeffizienten a,b,c,d fehlerbehaftet sind, pflanzt sich dieser Fehler auch auf die berechnete x und y.

Ziel ist es das Gaussches Fehlerfortpflanzungsgesetzt anzuwenden und die Unsicherheiten [mm] \delta{x}^2 [/mm] und [mm] \delta{y}^2 [/mm] zu finden.

Die x und y sind implizit definiert in den obigen Gleichungen, so dass ich ein vollständiges Differential von F1 und F2 zuerst bilde und somit das lineare Fortpflanzungsgesetz ausnutze. Das wäre der Ansatz der impliziten Differentiation.
dF1 = [mm] (\partial{F1} [/mm] / [mm] \partial{a})* \delta{a} +(\partial{F1} [/mm] / [mm] \partial{b})* \delta{b} [/mm] + [mm] (\partial{F1} [/mm] / [mm] \partial{x})* \delta{x} [/mm] + [mm] (\partial{F1} [/mm] / [mm] \partial{x})* \delta{x} [/mm] = 0

dF2 = [mm] (\partial{F2} [/mm] / [mm] \partial{c})* \delta{c} +(\partial{F2} [/mm] / [mm] \partial{d})* \delta{d} [/mm] + [mm] (\partial{F2} [/mm] / [mm] \partial{x})* \delta{x} [/mm] + [mm] (\partial{F2} [/mm] / [mm] \partial{x})* \delta{x} [/mm] = 0

Alle partiellen Ableitungen und einzelne Unsicherheiten in a,b,c,d sind bekannt, und auflösen dieses linearen Gleichungssystems liefert die einzelne Unsicherheiten [mm] \delta{x} [/mm] und [mm] \delta{y}. [/mm] Ich brauche allerdings die quadratischen Unsicherheiten [mm] \delta{x}^2 [/mm] und [mm] \delta{y}^2.Es [/mm] ist mir nicht logisch die Unsicherheiten zu quadrieren und erwarten, dass es das richtige Ergebnis ist.

Es ist Ziel das Gaussches Fortfplanzungsgesetz auszunutzen, allerdings gehen die Unsicherheiten in dem quadratisch rein.

Wie kann ich es jetzt auf die implizite Grössen anwenden. Meine Idee, war es, z.B. das Differential dF1 nach [mm] \delta(x) [/mm] aufzulösen und dann alles quadrieren, allerdings bekomme ich dann unbekannte [mm] \delta{x}^2 [/mm] und [mm] \delta{y}^2 [/mm] in der ersten Gleichung und das gleiche gemacht in der zweiten ergibt wieder die gleichen Unbekannten. Ein numerisches Lösungsverfahren könnte [mm] \delta{x}^2 [/mm] und [mm] \delta{y}^2 [/mm] auflösen, allerdings habe ich es schon versucht, es springt für jeden Startwert irgendwo anders.

Bin ich aufm richtigen Weg? Es verwirrt mich, dass ich mehrere Gleichungen habe und die Fehler der innendrinne impliziten Variablen suchen muss. Jeder Tipp würde willkommen sein!
Vielen Dank im Voraus



        
Bezug
Fehlerfortpflanzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:59 Di 12.07.2016
Autor: Eisfisch


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Freundliche Grüße zuerst an alle!
> Ich beschäftige mich momentan mit der Lösung
> nichtlinearer Gleichungssysteme und anschließender
> Fehlerfortpflanzung der berechneten Lösung.
>
> Ich stelle zuerst zwei nichtlineare Gleichungen mit zwei
> Unbekannten vor, in ungefährer Form wie meine Gleichungen
> aussehen.
>
> F1(a,b,x,y) = 0 = a + bx + log(sqrt(x)/2e) + log(y) + y*f
>  F2(c,d,x,y) = 0 = c + dy + log(sqrt(x)/2e) + log(1-y) +
> y*g
>  
> wobei e abhängig von y ist, und x abhängig von e und
> somit von y ist. Alle Koeffizienten der Gleichungen sind
> bekannt außer den Größen x und y, die numerisch gelöst
> werden. Da die Koeffizienten a,b,c,d fehlerbehaftet sind,
> pflanzt sich dieser Fehler auch auf die berechnete x und
> y.
>  
> Ziel ist es das Gaussches Fehlerfortpflanzungsgesetzt
> anzuwenden und die Unsicherheiten [mm]\delta{x}^2[/mm] und
> [mm]\delta{y}^2[/mm] zu finden.
>  
> Die x und y sind implizit definiert in den obigen
> Gleichungen, so dass ich ein vollständiges Differential
> von F1 und F2 zuerst bilde und somit das lineare
> Fortpflanzungsgesetz ausnutze. Das wäre der Ansatz der
> impliziten Differentiation.
>  dF1 = [mm](\partial{F1}[/mm] / [mm]\partial{a})* \delta{a} +(\partial{F1}[/mm]
> / [mm]\partial{b})* \delta{b}[/mm] + [mm](\partial{F1}[/mm] / [mm]\partial{x})* \delta{x}[/mm]
> + [mm](\partial{F1}[/mm] / [mm]\partial{x})* \delta{x}[/mm] = 0
>  
> dF2 = [mm](\partial{F2}[/mm] / [mm]\partial{c})* \delta{c} +(\partial{F2}[/mm]
> / [mm]\partial{d})* \delta{d}[/mm] + [mm](\partial{F2}[/mm] / [mm]\partial{x})* \delta{x}[/mm]
> + [mm](\partial{F2}[/mm] / [mm]\partial{x})* \delta{x}[/mm] = 0
>  
> Alle partiellen Ableitungen und einzelne Unsicherheiten in
> a,b,c,d sind bekannt, und auflösen dieses linearen
> Gleichungssystems liefert die einzelne Unsicherheiten
> [mm]\delta{x}[/mm] und [mm]\delta{y}.[/mm] Ich brauche allerdings die
> quadratischen Unsicherheiten [mm]\delta{x}^2[/mm] und [mm]\delta{y}^2.Es[/mm]
> ist mir nicht logisch die Unsicherheiten zu quadrieren und
> erwarten, dass es das richtige Ergebnis ist.
>  
> Es ist Ziel das Gaussches Fortfplanzungsgesetz auszunutzen,
> allerdings gehen die Unsicherheiten in dem quadratisch
> rein.
>
> Wie kann ich es jetzt auf die implizite Grössen anwenden.
> Meine Idee, war es, z.B. das Differential dF1 nach
> [mm]\delta(x)[/mm] aufzulösen und dann alles quadrieren, allerdings
> bekomme ich dann unbekannte [mm]\delta{x}^2[/mm] und [mm]\delta{y}^2[/mm] in
> der ersten Gleichung und das gleiche gemacht in der zweiten
> ergibt wieder die gleichen Unbekannten. Ein numerisches
> Lösungsverfahren könnte [mm]\delta{x}^2[/mm] und [mm]\delta{y}^2[/mm]
> auflösen, allerdings habe ich es schon versucht, es
> springt für jeden Startwert irgendwo anders.
>  
> Bin ich aufm richtigen Weg? Es verwirrt mich, dass ich
> mehrere Gleichungen habe und die Fehler der innendrinne
> impliziten Variablen suchen muss. Jeder Tipp würde
> willkommen sein!
> Vielen Dank im Voraus
>  
>  

Ja, gut. Es geht z.B. über das totale Differential. 1.) Allerdings vermute ich bei dir einen Fehler, das letzte Differential muss nach y gebildet werden:

dF1 = [mm](\partial{F1}[/mm] / [mm]\partial{a})* \delta{a} +(\partial{F1}[/mm] / [mm]\partial{b})* \delta{b}[/mm] + [mm](\partial{F1}[/mm] / [mm]\partial{x})* \delta{x}[/mm]  + [mm](\partial{F1}[/mm] / [mm]\partial{y})* \delta{y}[/mm] = 0
  
dF2 = [mm](\partial{F2}[/mm] / [mm]\partial{c})* \delta{c} +(\partial{F2}[/mm] / [mm]\partial{d})* \delta{d}[/mm] + [mm](\partial{F2}[/mm] / [mm]\partial{x})* \delta{x}[/mm]  + [mm](\partial{F2}[/mm] / [mm]\partial{y})* \delta{y}[/mm] = 0
  
2.)Was ist mit f und g?

3.)Wenn ich mich recht entsinne, werden zur Fehlerabschätzung die Quadrate der Summanden addiert, um den mittleren (quadratischen) Fehler aus dem tot.Diff. abzuschätzen.
Abschätzen!
Hierbei werden Korrelationen zwischen a,b,c,... nicht berücksichtigt.  


Dies würde sein über die Ausgleichungsrechnung mittels

X = [mm] (A^{T} [/mm] P [mm] A)^{-1} [/mm]  * [mm] (A^{T} [/mm] P L)

mit:
X  Matrix der Unbekannten (oft nur ein Vektor; bei dir: mit x,y))
A  Matrix der Koeffizienten aus der Linearisierung (4,2)
P  Gewichtsmatrix der Beobachtungen  (4,4)
L  Matrix der Beobachtungen (oft nur ein Vektor)
N  Normalgleichungsmatrix
Q  Matrix der Kofaktoren  
C  Matrix der Kovarianzen
[mm] s_{0}^{2} [/mm] Varianzeneinheitswert  


N = [mm] (A^{T} [/mm] P A)

Q = [mm] N^{-1} [/mm]

C = [mm] s_{0}^{2} [/mm] * Q  

Auf den Diagonalen der (2,2)-Matrix C müssen die Kofaktoren für xx bzw, yy stehen,so dass du  mit  [mm] s_{x}^{2} [/mm] = [mm] s_{0} [/mm] * [mm] q_{1,1} [/mm] und   [mm] s_{y}^{2} [/mm] = [mm] s_{0} [/mm] * [mm] q_{2,2} [/mm]  die beiden gesuchten Varianzen bzw. (Wurzel:) empir. Standardabweichungen erhälst.


Lit.hinweis: Ausgleichungsrechnung: statistische Auswertemethoden von Wolfgang Niemeier





Bezug
                
Bezug
Fehlerfortpflanzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:57 Di 12.07.2016
Autor: Eisfisch

Literaturhinweise:
      
Google-Books:
über suche :  ATPA ATPL  zB:
  
Ausgleichungsrechnung: statistische  Auswertemethoden von Wolfgang Niemeier
  
  
    
Buch:
Witte, B, Schmidt, H: Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen.   Wittwer, 736 S., Stuttgart, 2.Aufl. 1991  
dort: p.65-67 (Kap.2.4.4.1) und p.158-162 (zu Kap.2.4.3)  (kann dir bei Bedarf Fotos senden)  
  
  
    
alt: Fehlerfortpflanzungsgesetz - jetzt: Varianzfortpflanzungsgesetz
    
einfaches Fehlerfortpflanzungsgesetz
   >> voneinander unabhängige Variablen mit der Konvarianz gleich Null.  
   >> dann das o.g. Addieren der Differential-Quadrate OHNE Gemischtprodukte


LG Eisfisch






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