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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 22.04.2006 | | Autor: | carnz |
| Aufgabe | Gegeben sei im Intervall [0,1] die Funktion [mm]f_n(x) = x^n sin(\pi x)[/mm].
Zeigen Sie, daß gilt:
(1)
[mm]I_n= \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}= \bruch{1}{\pi}- \bruch{n(n-1)}{\pi^2}*I_n_-_2,n\ge2[/mm]
mit: [mm]I_0=2/\pi, I_1=1/\pi[/mm]
1. Schreiben Sie ein C-Programm, das [mm]I_n,n=0,...,40[/mm], nach der Formel (1)(Vorwärtsrekursion) berechnet. Speichern sie die Ergebnisse in einem Vektor [mm] V_1.
[/mm]
a) Was können Sie über die Werte [mm] V_1(n) [/mm] sagen für n>27?
Warum können keine negativen Werte auftreten?
c) Erklären sie das beobachtete Phänomen mathematisch, indem Sie annehmen, dass nur in den Startwerten [mm]I_0,I_1[/mm] ein Rechenfehler [mm]\varepsilon_0[/mm] bzw. [mm]\varepsilon_1[/mm] vorliegt, ansonsten aber exakt gerechnet wird.
(2)
[mm]I_n_-_2=\bruch{\pi(1-\piI_n)}{n(n-1)},n\ge2 [/mm]
2. Erweitern Sie Ihr C-Programm, so dass [mm] I_n,n=60,...,0 [/mm] nach der Formel (2) (Rückwärts-Rekursion) berechnet wird. Speichern Sie die Ergebnisse in einem Vektor [mm] V_2
[/mm]
Startwerte: [mm]I_{60}\approx\integral_{1}^{0}{x^{60} dx}, I_{59}\approx\integral_{1}^{0}{x^{59} dx}[/mm]
a) Was können Sie über die Werte [mm] V_2(n) [/mm] sagen für n<50
b) Erklären sie a) mathematisch |
Werte Aufgabe 1:
0 0.63662
1 0.31831
2 0.189304
3 0.124801
4 0.0881441
5 0.0654108
6 0.0503839
7 0.0399548
8 0.0324325
9 0.026835
10 0.0225607
11 0.0192253
12 0.016574
13 0.0144324
14 0.0126785
15 0.0112243
16 0.0100056
17 0.00897422
18 0.00809385
19 0.00733645
20 0.00668025
21 0.00610805
22 0.00560495
23 0.00515944
24 0.00482876
25 0.00465338
26 0.000293794
27 -0.012673
28 0.295806
29 1.36095
30 -25.7568
31 -127.922
32 2589.15
33 13687.4
34 -294340
35 -1.65032e+06
36 3.75769e+07
37 2.22726e+08
38 -5.35311e+09
39 -3.34442e+10
40 8.46118e+11
Werte Aufgabe 2:
60 0.0163934
59 0.0166667
58 0.00090133
57 0.000932675
56 0.00101711
55 0.00105468
54 0.00109418
53 0.00113613
52 0.00118054
51 0.0012276
50 0.00127753
49 0.00133056
48 0.00138696
47 0.00144702
46 0.00151106
45 0.00157945
44 0.00165258
43 0.0017309
42 0.00181491
41 0.00190519
40 0.00200236
39 0.00210715
38 0.00222036
37 0.00234294
36 0.00247594
35 0.00262056
34 0.00277821
33 0.0029505
32 0.00313929
31 0.00334674
30 0.00357541
29 0.00382828
28 0.00410887
27 0.00442138
26 0.00477083
25 0.00516326
24 0.00560599
23 0.00610797
22 0.00668022
21 0.00733645
20 0.00809385
19 0.00897422
18 0.0100056
17 0.0112243
16 0.0126785
15 0.0144324
14 0.016574
13 0.0192253
12 0.0225607
11 0.026835
10 0.0324325
9 0.0399548
8 0.0503839
7 0.0654108
6 0.0881441
5 0.124801
4 0.189304
3 0.31831
2 0.63662
1 -inf
0 -inf
Jeweils die a) Aufgaben stellen kein Problem dar. Es ist ja nur das Gesehene beschreiben. Habe sie lediglich zum Verständnis mit aufgeführt.
Das C-Programm ist natürlich auch schon fertig.
Aber die beiden b) Aufgaben bereiten mir Kopfzerbrechen da ich keine Ahnung habe wo ich ansetzen soll. Vielleicht kann mir da einer auf die Sprünge helfen. Habe grad mal seit 2 Wochen Numerik =)
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo carnz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Aufgaben b besteht wohl darin aus dem [mm] \epsilon_0 [/mm] bzw. [mm] \epsilon_1 [/mm] die zugehörigen [mm] \epsilon_n [/mm] zu bestimmen dies kann man tun indem man für [mm] I_0 [/mm] in die Rechnung [mm] (I_0+\epsilon_0) [/mm] einsetzt und damit zunächst [mm] \epsilon_2 [/mm] bestimmt. Daraus läßt sich dann imho eine allgemeine Regel für die [mm] \epsilon_n [/mm] ableiten.
viele Grüße
mathemaduenn
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