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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 So 01.01.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | Ich habe mir soeben das Fehlerintegral zu Gemüte geführt, blicke jedoch bei einem nicht ganz durch.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-t*x^2} dx}=\bruch{1}{\wurzel{t}} [/mm] |
Wie genau wurde hier substituiert um dann evt. mithilfe der Gamafunktion das daraus entstandene Integral zu berechnen? Ich habe verschiedenstens ausprobiert, komme aber nicht drauf.
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> Ich habe mir soeben das Fehlerintegral zu Gemüte geführt,
> blicke jedoch bei einem nicht ganz durch.
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*x^2} dx}=\bruch{1}{\wurzel{t}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt so nicht, allerdings nur bis auf einen
konstanten Faktor.
> Wie genau wurde hier substituiert um dann evt. mithilfe der
> Gamafunktion das daraus entstandene Integral zu berechnen?
Die Gammafunktion braucht man nicht, aber eine Idee, dieses
Integral durch eine geschickte Substitution auf ein Integral
über [mm] \IR^2 [/mm] zurückzuführen, welches man mittels Polarkoordinaten
leicht lösen kann.
Eine solche Herleitung findest du z.B. ![[]](/images/popup.gif) da.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 So 01.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Danke für den Hinweis. Wenn ich also [mm] I^2 [/mm] bilde und dies zusammenfasse erhalte ich folgendes Doppelintegral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*(x^2+y^2)} dx} dy}
[/mm]
Durch Polarkoordinatentransformation
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*r^2}*r dr} dt}
[/mm]
Da lässt sich dann aber keine elementare Lösung für das äußere Integral finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 01.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Ich habe jetzt denke ich einen Weg gefunden.
Und zwar habe ich die Ausgangsgleichung substituiert mit [mm] x=\wurzel{t}*u
[/mm]
[mm] =>\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^2}*\bruch{1}{\wurzel{t}} dx}=\bruch{1}{\wurzel{t}}*\bruch{\wurzel{\pi}}{2} [/mm] da im Skriptum bereits [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^2} dx} [/mm] berechnet wurde (Mittels Polarkoorindtanetransformation)
Jetzt habe ich hier noch ein weiteres Integral bei dem ich auf keine passende Substitution oder etwas dergleichen gekommen bin.
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2+ax}dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Mo 02.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] -x^2+ax=-(x-a/2)^2+a^2/4
[/mm]
dann x-a/2=z
Gruss leduart
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> Danke für den Hinweis. Wenn ich also [mm]I^2[/mm] bilde und dies
> zusammenfasse erhalte ich folgendes Doppelintegral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*(x^2+y^2)} dx} dy}[/mm]
> Durch Polarkoordinatentransformation
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*r^2}*r dr} dt}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
1.) Das t im gegebenen Integral ist eine Konstante
und hat nichts mit der Winkelkoordinate in
Polarkoordinaten zu tun !
2.) Diese Winkelkoordinate - nennen wir sie [mm] \alpha [/mm] -
sollte im vorliegenden Fall nur von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] laufen:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*(x^2+y^2)} dx} dy}\ [/mm] =\ [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-t*r^2}\,*r\ dr}\ d\alpha}$
[/mm]
Nun kommt der zusätzliche Faktor r (aus der Transfor-
mation des Differentials) wunderbar gelegen, um die
weitere Transformation bzw. Substitution $\ [mm] u:=-t*r^2$
[/mm]
vorzunehmen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mo 02.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Danke für die Antwort, eine andere Methode habe ich in dem Beitrag danach bereits geschrieben.
Eine Verständnisfrage hätte ich jedoch noch; wie kann ich erkennen das in diesem Fall die Winkelkoordinate nur bi [mm] \pi/2 [/mm] läuft und nicht bis [mm] 2\pi, [/mm] also gibt es hier irgendeinen allgemeinen Trick.
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> Danke für die Antwort, eine andere Methode habe ich in dem
> Beitrag danach bereits geschrieben.
> Eine Verständnisfrage hätte ich jedoch noch; wie kann ich
> erkennen das in diesem Fall die Winkelkoordinate nur bis
> [mm]\pi/2[/mm] läuft und nicht bis [mm]2\pi,[/mm] also gibt es hier
> irgendeinen allgemeinen Trick.
Schau dir das Integrationsgebiet in der x-y-Ebene an !
LG
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