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Forum "Differentialgleichungen" - Fehlerordnung Eulerverfahren
Fehlerordnung Eulerverfahren < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fehlerordnung Eulerverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Di 28.07.2009
Autor: bigalow

Aufgabe
Begründen Sie die Verfahrensordnung [mm] O(h^p), [/mm] p=1 des expliziten und des impliziten Euler-Verfahrens.

Hier ist wohl mit Verfahrensordnung die Fehlerordnung gemeint. Der Fehler ist ja der exakte Wert minus der iterierte Wert an derselben Stelle $ [mm] y_{exakt}(t)-y^t [/mm] $

Zunächst die Schreibweise, die ich verwende für die beiden Verfahren.
Gewöhnliche DGL: [mm] y'=\lambda*y [/mm]
Explizites Eulerverfahren:$ [mm] y^{i+1}=y^i+h*f^i=y^i+h*\lambda*y^i [/mm] $
Implizites Eulerverfahren:$ [mm] y^{i+1}=y^i+h*f^{i+1}=y^i+h*\lambda*y^{i+1}$ [/mm]

Zum expliziten Verfahren habe ich einen Aufschrieb in dem man dazu das Taylorpolynom von $ [mm] y^{i+1} [/mm] $ aufstellt und dann umstellt zu $ [mm] y^{i+1}-y^i= h(y^i)' +h²/2(y^i)'' [/mm] $

Wieso entwickelt man das Taylorpolynom von [mm] y^{i+1} [/mm]  nur nach dem rot markierten Teil$ [mm] y^{i+1}=y^i+[red]h*\lambda*y^i [/mm] [/red] $?
Wie liest man daraus die Fehlerordnung [mm] h^1 [/mm] ->p=1 ab?
Wie begründet man die Fehlerordnung für das implizite Verfahren?

Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! :)

        
Bezug
Fehlerordnung Eulerverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Di 28.07.2009
Autor: MathePower

Hallo bigalow,

> Begründen Sie die Verfahrensordnung [mm]O(h^p),[/mm] p=1 des
> expliziten und des impliziten Euler-Verfahrens.
>  Hier ist wohl mit Verfahrensordnung die Fehlerordnung
> gemeint. Der Fehler ist ja der exakte Wert minus der
> iterierte Wert an derselben Stelle [mm]y_{exakt}(t)-y^t[/mm]


Mit der Verfahrensordnung ist die Ordnung
des lokalen Diskretisierungsfehlers gemeint.

Hier mußt Du also den Differenzenquotienten
und den Differentialquotienten betrachten.


>  
> Zunächst die Schreibweise, die ich verwende für die
> beiden Verfahren.
> Gewöhnliche DGL: [mm]y'=\lambda*y[/mm]
>  Explizites Eulerverfahren:[mm] y^{i+1}=y^i+h*f^i=y^i+h*\lambda*y^i[/mm]
>  
> Implizites Eulerverfahren:[mm] y^{i+1}=y^i+h*f^{i+1}=y^i+h*\lambda*y^{i+1}[/mm]
>  
> Zum expliziten Verfahren habe ich einen Aufschrieb in dem
> man dazu das Taylorpolynom von [mm]y^{i+1}[/mm] aufstellt und dann
> umstellt zu [mm]y^{i+1}-y^i= h(y^i)' +h²/2(y^i)''[/mm]
>  
> Wieso entwickelt man das Taylorpolynom von [mm]y^{i+1}[/mm]  nur
> nach dem rot markierten Teil[mm] y^{i+1}=y^i+[red]h*\lambda*y^i[/red] [/mm]?


Hier wurde [mm]y'[/mm] durch den Differenzenquotienten ersetzt.


>  
> Wie liest man daraus die Fehlerordnung [mm]h^1[/mm] ->p=1 ab?
>  Wie begründet man die Fehlerordnung für das implizite
> Verfahren?
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! :)


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Fehlerordnung Eulerverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Mi 29.07.2009
Autor: bigalow

ok mein Talylorpolynom bekomme ich also
aus : y'=y -> [mm] \frac{y^{i+1}-y^i}{h}=y^i [/mm] -> [mm] y^{i+1}-y^i=hy^i [/mm]
->Taylorentwicklung rechte Seite und ich komme auf das Taylorpolynom von oben.

Wie geht es dann weiter? Macht man dasselbe für [mm] y_{exakt} [/mm] und zieht dann die beiden Taylorpolynome ab und hat dann
Fehler [mm] =y_{exakt}(t^{i+1})-y^{i+1}= h(y'_{exakt}(t^i)-(y^i)'+\frac{h}{2}(y_{exakt}''(t^i)-(y^i)'')+...) [/mm]

Damit ist der Fehler proportional zu h??

Bezug
                
Bezug
Fehlerordnung Eulerverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Mi 29.07.2009
Autor: MathePower

Hallo bigalow,


> ok mein Talylorpolynom bekomme ich also
> aus : y'=y -> [mm]\frac{y^{i+1}-y^i}{h}=y^i[/mm] ->
> [mm]y^{i+1}-y^i=hy^i[/mm]
>  ->Taylorentwicklung rechte Seite und ich komme auf das
> Taylorpolynom von oben.


Ist auch so.

Allgemein sind solche Einschrittverfahren gegeben durch:

[mm]\eta_{0}:=y_{0}[/mm]

für i=0,1,2, ...

[mm]\eta_{i+1}=\eta_{i}+h*\phi\left(x_{i}, \ \eta_{i}; \ h; \ f\right)[/mm]

Beim Verfahren von Euler ist [mm]\phi\left(x,\ y; \ f\right)=f\left(x,y\right)[/mm], hier also [mm]f\left(x,y\right)=y[/mm]

Diese y wird nun in eine Taylorreihe, wobei die Taylorformel im mehrdimensionalen zu verwenden ist.

Dann kommt als Taylorreihe wieder y heraus.


>  
> Wie geht es dann weiter? Macht man dasselbe für [mm]y_{exakt}[/mm]
> und zieht dann die beiden Taylorpolynome ab und hat dann
> Fehler [mm]=y_{exakt}(t^{i+1})-y^{i+1}= h(y'_{exakt}(t^i)-(y^i)'+\frac{h}{2}(y_{exakt}''(t^i)-(y^i)'')+...)[/mm]


Hier werden die Differenzenquotienten voneinander subtrahiert:

[mm]\bruch{y_{exakt}(t^{i+1})-y_{exakt}(t^{i})}{h}-y^{i}[/mm]


>  
> Damit ist der Fehler proportional zu h??


Gruß
MathePower

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