matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentialgleichungenFehlerordnung Eulerverfahren
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Differentialgleichungen" - Fehlerordnung Eulerverfahren
Fehlerordnung Eulerverfahren < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fehlerordnung Eulerverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Di 28.07.2009
Autor: bigalow

Aufgabe
Begründen Sie die Verfahrensordnung [mm] O(h^p), [/mm] p=1 des expliziten und des impliziten Euler-Verfahrens.

Hier ist wohl mit Verfahrensordnung die Fehlerordnung gemeint. Der Fehler ist ja der exakte Wert minus der iterierte Wert an derselben Stelle $ [mm] y_{exakt}(t)-y^t [/mm] $

Zunächst die Schreibweise, die ich verwende für die beiden Verfahren.
Gewöhnliche DGL: [mm] y'=\lambda*y [/mm]
Explizites Eulerverfahren:$ [mm] y^{i+1}=y^i+h*f^i=y^i+h*\lambda*y^i [/mm] $
Implizites Eulerverfahren:$ [mm] y^{i+1}=y^i+h*f^{i+1}=y^i+h*\lambda*y^{i+1}$ [/mm]

Zum expliziten Verfahren habe ich einen Aufschrieb in dem man dazu das Taylorpolynom von $ [mm] y^{i+1} [/mm] $ aufstellt und dann umstellt zu $ [mm] y^{i+1}-y^i= h(y^i)' +h²/2(y^i)'' [/mm] $

Wieso entwickelt man das Taylorpolynom von [mm] y^{i+1} [/mm]  nur nach dem rot markierten Teil$ [mm] y^{i+1}=y^i+[red]h*\lambda*y^i [/mm] [/red] $?
Wie liest man daraus die Fehlerordnung [mm] h^1 [/mm] ->p=1 ab?
Wie begründet man die Fehlerordnung für das implizite Verfahren?

Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! :)

        
Bezug
Fehlerordnung Eulerverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Di 28.07.2009
Autor: MathePower

Hallo bigalow,

> Begründen Sie die Verfahrensordnung [mm]O(h^p),[/mm] p=1 des
> expliziten und des impliziten Euler-Verfahrens.
>  Hier ist wohl mit Verfahrensordnung die Fehlerordnung
> gemeint. Der Fehler ist ja der exakte Wert minus der
> iterierte Wert an derselben Stelle [mm]y_{exakt}(t)-y^t[/mm]


Mit der Verfahrensordnung ist die Ordnung
des lokalen Diskretisierungsfehlers gemeint.

Hier mußt Du also den Differenzenquotienten
und den Differentialquotienten betrachten.


>  
> Zunächst die Schreibweise, die ich verwende für die
> beiden Verfahren.
> Gewöhnliche DGL: [mm]y'=\lambda*y[/mm]
>  Explizites Eulerverfahren:[mm] y^{i+1}=y^i+h*f^i=y^i+h*\lambda*y^i[/mm]
>  
> Implizites Eulerverfahren:[mm] y^{i+1}=y^i+h*f^{i+1}=y^i+h*\lambda*y^{i+1}[/mm]
>  
> Zum expliziten Verfahren habe ich einen Aufschrieb in dem
> man dazu das Taylorpolynom von [mm]y^{i+1}[/mm] aufstellt und dann
> umstellt zu [mm]y^{i+1}-y^i= h(y^i)' +h²/2(y^i)''[/mm]
>  
> Wieso entwickelt man das Taylorpolynom von [mm]y^{i+1}[/mm]  nur
> nach dem rot markierten Teil[mm] y^{i+1}=y^i+[red]h*\lambda*y^i[/red] [/mm]?


Hier wurde [mm]y'[/mm] durch den Differenzenquotienten ersetzt.


>  
> Wie liest man daraus die Fehlerordnung [mm]h^1[/mm] ->p=1 ab?
>  Wie begründet man die Fehlerordnung für das implizite
> Verfahren?
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! :)


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Fehlerordnung Eulerverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Mi 29.07.2009
Autor: bigalow

ok mein Talylorpolynom bekomme ich also
aus : y'=y -> [mm] \frac{y^{i+1}-y^i}{h}=y^i [/mm] -> [mm] y^{i+1}-y^i=hy^i [/mm]
->Taylorentwicklung rechte Seite und ich komme auf das Taylorpolynom von oben.

Wie geht es dann weiter? Macht man dasselbe für [mm] y_{exakt} [/mm] und zieht dann die beiden Taylorpolynome ab und hat dann
Fehler [mm] =y_{exakt}(t^{i+1})-y^{i+1}= h(y'_{exakt}(t^i)-(y^i)'+\frac{h}{2}(y_{exakt}''(t^i)-(y^i)'')+...) [/mm]

Damit ist der Fehler proportional zu h??

Bezug
                
Bezug
Fehlerordnung Eulerverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Mi 29.07.2009
Autor: MathePower

Hallo bigalow,


> ok mein Talylorpolynom bekomme ich also
> aus : y'=y -> [mm]\frac{y^{i+1}-y^i}{h}=y^i[/mm] ->
> [mm]y^{i+1}-y^i=hy^i[/mm]
>  ->Taylorentwicklung rechte Seite und ich komme auf das
> Taylorpolynom von oben.


Ist auch so.

Allgemein sind solche Einschrittverfahren gegeben durch:

[mm]\eta_{0}:=y_{0}[/mm]

für i=0,1,2, ...

[mm]\eta_{i+1}=\eta_{i}+h*\phi\left(x_{i}, \ \eta_{i}; \ h; \ f\right)[/mm]

Beim Verfahren von Euler ist [mm]\phi\left(x,\ y; \ f\right)=f\left(x,y\right)[/mm], hier also [mm]f\left(x,y\right)=y[/mm]

Diese y wird nun in eine Taylorreihe, wobei die Taylorformel im mehrdimensionalen zu verwenden ist.

Dann kommt als Taylorreihe wieder y heraus.


>  
> Wie geht es dann weiter? Macht man dasselbe für [mm]y_{exakt}[/mm]
> und zieht dann die beiden Taylorpolynome ab und hat dann
> Fehler [mm]=y_{exakt}(t^{i+1})-y^{i+1}= h(y'_{exakt}(t^i)-(y^i)'+\frac{h}{2}(y_{exakt}''(t^i)-(y^i)'')+...)[/mm]


Hier werden die Differenzenquotienten voneinander subtrahiert:

[mm]\bruch{y_{exakt}(t^{i+1})-y_{exakt}(t^{i})}{h}-y^{i}[/mm]


>  
> Damit ist der Fehler proportional zu h??


Gruß
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]