Fehlerrechnung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:24 Di 20.05.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | | Ich benötige zur Auswertung von Eddy-Kovarianz-Daten eine Fehlerbetrachtung und möchte eine formale Fehlerrechnung über die erste Ableitung machen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Grundgleichung lautet: [mm] g(x,y)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i}
[/mm]
Zielfunktion (gesamt Fehler): [mm] f(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) [mm] \Delta [/mm] x + [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] g(x,y) [mm] \Delta [/mm] y
( [mm] \Delta [/mm] x bzw. [mm] \Delta [/mm] y bezeichnen die Messfehler bezüglich x und y )
Lösungsansatz:
1.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) und [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] g(x,y) sind identische Funktionen [mm] \to [/mm] ich beschränke mich zunächst auf [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y)
2.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i}) [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i}) [/mm] - [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i})
[/mm]
3a.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x}x_{i} y_{i}
[/mm]
3b.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x}x_{i} y_{i} [/mm] = [mm] y_{i}
[/mm]
3c.) [mm] \to \bruch{\partial}{\partial x} \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i}
[/mm]
4a.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}} \summe_{i=1}^{n}y_{i} \bruch{\partial}{\partial x} \summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}} \summe_{i=1}^{n}y_{i} \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial}{\partial x} x_{i}
[/mm]
4b.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} x_{i} [/mm] = 1
4c.) [mm] \to \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial}{\partial x} x_{i} [/mm] = n
5.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] n [mm] \summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] = 0
Für die Zielfunktion f(x,y) würde sich ergeben:
f(x,y)=0 * [mm] \Delta [/mm] x + 0 * [mm] \Delta [/mm] y
was aus logischer Überlegung NICHT plausibel sein kann.
Bitte helft mir meinen Fehler zu finden.
Großes Dankeschön
|
|
| |
|
Hallo!
dein x ist doch vektorwertig, besteht daher aus einer Reihe von Werten. Demnach hast du in deiner Fehlerformel nicht
[mm] $\frac{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) [mm] \Delta [/mm] x$ stehen, sondern eher
[mm] $\sum_i \frac{\partial}{\partial x_i} [/mm] g(x,y) [mm] \Delta x_i$
[/mm]
Wenn ich das grade richtig überblicke, sollte dann
$ [mm] \Delta g(x,y)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\Delta x_{i} y_{i} -\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\Delta x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] $
als Endergebnis da stehen. Und das ist genauso wenig 0 wie die Formel selbst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:46 Di 20.05.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | Diese Antwort verstehe ich leider nicht.
|
Nehmen wir folgendes anderes Beispiel an: [mm] z(x)=\summe_{i=1}^{n}x_{i}
[/mm]
dann ist: [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] z(x) = [mm] \bruch{\partial}{\partial x} \summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial}{\partial x} x_{i} =\summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 = n
und für den Fehler ergibt sich: [mm] f(x)=n*\Delta [/mm] x
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Schreiben wir es mal aus.
\sum_{i=1}^3x_iy_i=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3
Du hast hier nicht ein x, sondern drei. Soetwas wie \frac{\partial}{\partial x}x_i gibt es da nicht. (man kann natürlich gewisse Konventionen benutzen...)
Weil du hier eben DREI unterschiedliche Variablen hast, mußt du auch DREI Fehlerterme in deiner Fehlerformel dafür haben:
$\frac{\partial}{\partial x_1}x_1y_1*\Delta x_1+\frac{\partial}{\partial x_2}x_2y_2*\Delta x_1+\frac{\partial}{\partial x_3}x_3y_3*\Delta x_1$
$=y_1\Delta x_1+y_2\Delta x_2+y_3\Delta x_3$
$=\sum(y_i\Delta x_i)\red{\neq\left(\sum y_i\right)\Delta x\right)$
Du mußt dran denken, daß dieses $x$ keine einfache Zahl ist, sondern ein Objekt aus mehreren Zahlen wie z.B. ein Vektor.
Wenn du das als Vektor betrachtest, sollte dir die letzte Ungleichung auch klar werden. $\sum x_iy_i$ ist das bekannte Skalarprodukt, während $\left(\sum x_i\right)\vec{y}$ ein Vektor ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Di 20.05.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | | Leider verstehe ich auch diese Antwort nicht vollständig. Bitte helfen Sie mir nochmals ? |
Okey bleiben wir bei:
[mm] \sum_{i=1}^3x_iy_i=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 [/mm] und
[mm] \frac{\partial}{\partial x_1}x_1y_1*\Delta x_1+\frac{\partial}{\partial x_2}x_2y_2*\Delta x_1+\frac{\partial}{\partial x_3}x_3y_3*\Delta x_1
[/mm]
[mm] =y_1\Delta x_1+y_2\Delta x_2+y_3\Delta x_3=\sum(y_i\Delta x_i)
[/mm]
Nun gilt aber: $ [mm] \Delta x_1=\Delta x_2= [/mm] ... [mm] =\Delta [/mm] x $ (Fehler für Messgröße x)
Damit ergibt sich doch ? [mm] \red{\sum(y_i\Delta x_i)= \Delta x \sum y_i}
[/mm]
Vielen Dank für jeden Tipp
PS: Mir ist schon klar, dass "x" keine einfache Zahl sondern ein Vektor ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 21.05.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | | Fehlerrechnung: Ich habe die Hinweise von Event_Horizon beachtet und einen neuen Lösungsansatz gefunden. Es wäre sehr nett und toll wenn jemand meine Rechenschritte überprüfen könnte ? |
Ich benötige zur Auswertung von Eddy-Kovarianz-Daten eine Fehlerbetrachtung und möchte eine formale Fehlerrechnung über die erste Ableitung machen.
Die Grundgleichung lautet: [mm] g(x,y)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i}
[/mm]
Zielfunktion (gesamt Fehler): [mm] f(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) [mm] \Delta_{x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] g(x,y) [mm] \Delta_{y}
[/mm]
( [mm] \Delta_{x} [/mm] bzw. [mm] \Delta_{y} [/mm] bezeichnen die Messfehler bezüglich x und y )
Lösungsansatz:
1.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) und [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] g(x,y) sind identische Funktionen [mm] \to [/mm] ich beschränke mich zunächst auf [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y)
2.) Event_Horizon hat mich darauf hingewiesen dass [mm] \red{ \bruch{\partial}{\partial x} ( \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i} - \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i}) = \bruch{\partial}{\partial x} ( \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i}) - \bruch{\partial}{\partial x} ( \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i}) } [/mm] Nicht exakt formuliert ist
[mm] \to [/mm] 2a) Die exakte Formulierung müsste also lauten: [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} ( x_{i} y_{i})\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm] Ist das richtig ?
3.) Wegen [mm] \bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i}) [/mm] = 0 entfällt der rechte Term
4.) [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} ( x_{i} y_{i})\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} y_{i}
[/mm]
5.) für den Fehler ergibt sich: f(x,y)= [mm] \bruch{1}{n} \Delta_{x} \summe_{i=1}^{n} y_{i} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} \Delta_{y} \summe_{i=1}^{n} x_{i}
[/mm]
Es wäre sehr nett und toll wenn jemand meine Rechenschritte überprüfen könnte ?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Do 22.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du rechnest das sehr kompliziert aus!
1. in ner Summe addieren sich die absoluten Fehler immer.
du musst also nur die absoluten Fehler von einem xiyi ausrechnen, der ist
[mm] yi*\Delta xi+xi*\Delta [/mm] yi dann summieren
wenn die Fehler alle gleich sind wird das zu deinem 1. Ausdruck.
den zweiten hast du falsch berechnet, weil du nicht die Produktregel angewandt hast!
[mm] \bruch{d}{dx}(a*x) [/mm] ist nicht 0 weil [mm] \bruch{d}{dx}(a)=0
[/mm]
im zweiten Teil hast du also [mm] :\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\Delta x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i} +\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}\Delta y_{i}
[/mm]
wobei du in deinem Fall noch [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\Delta x_{i} [/mm] vereinfachen kannst zu [mm] \bruch{1}{n}*\Delta [/mm] x entsprechend den 2. Term.
insgesamt wird dein Fehler also doppelt so groß.
Aber nochmal: den Rechenweg über all die vielen unötigen Summenzeichen find ich übertrieben
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:05 Di 03.06.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | Fehlerrechnung: Ich habe die Hinweise von leduart gelesen bin jedoch der Meinung er hat sich verrechnet. Es wäre echt nett wenn nochmals jemand meine Rechnung durchschauen könnte.
Ganz großes Dankeschön |
Die Grundgleichung lautet: [mm] g(x,y)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i}
[/mm]
Zielfunktion (gesamt Fehler): [mm] f(x,y)=\bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) [mm] \Delta_{x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] g(x,y) [mm] \Delta_{y}
[/mm]
( [mm] \Delta_{x} [/mm] bzw. [mm] \Delta_{y} [/mm] bezeichnen die Messfehler bezüglich x und y )
Lösungsansatz:
1.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) und [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] g(x,y) sind identische Funktionen [mm] \to [/mm] ich beschränke mich zunächst auf [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y)
2) Die Ableitung nach x lautet also exakt: [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} ( x_{i} y_{i})\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right)
[/mm]
3.) Die Ableitung des linken Terms: [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} ( x_{i} y_{i})\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} y_{i}
[/mm]
4.) Den rechten Terms mittels Produktregel ableiten: - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{n^{2}} \left(\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}\right) + \summe_{i=1}^{n}\left(x_{i}\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right)\right)
[/mm]
4a.) wegen [mm] \summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm] = 0 entfällt der Term: [mm] \summe_{i=1}^{n}\left(x_{i}\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right)
[/mm]
4b.) Es ergibt sich für den zweiten Term: - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{n^{2}} \left(\summe_{i=1}^{n}1 \summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}\right)\right) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{n} \left(\summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}\right)\right) [/mm]
5.) für die 1. Ableitung ergibt sich also ergibt sich somit: [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} ( x_{i} y_{i})\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}\right) [/mm] = 0
6.) Dieses Ergebnis ist jedoch im Hinblick auf den zu erwartenden Fehler NICHT plausibel !
Es wäre sehr nett wenn jemand meine Rechenschritte überprüfen und mir ein paar Erklärungen geben könnte ?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 03.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Der abs. Fehler einer Summe oder Differenz ist die Summe der abs. Fehler der einzelnen Terme!
wenn du [mm] 100\pm1 -99\pm1 [/mm] rechnest kommt [mm] 1\pm2 [/mm] raus!
Du hast bei deiner rechnung die Absolutstriche vergessen!
$ [mm] f(x,y)=|\bruch{\partial}{\partial x} [/mm] $ g(x,y)| $ [mm] \Delta_{x} [/mm] $ + $ [mm] |\bruch{\partial}{\partial y} [/mm] $ g(x,y)| $ [mm] \Delta_{y} [/mm] $
wäre schon besser!
überleg das mal am Bsp f(x,y)=x-y
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:12 Di 03.06.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | | Erstmal ein ganz großes DANKESCHÖN für die Hilfe ! Es ist jedoch so, das ich NUR die erste Ableitung berechnet hatte(siehe vorherigen Punkt 5). Bitte schaut Euch mal die folgende Rechnung an ? Vielen Dank |
Die Grundgleichung bleibt und lautet: [mm] g(x,y)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i}
[/mm]
Die Zielfunktion (der Gesamt Fehler) lautet nach Ergänzung der Betragsstriche: [mm] f(x,y)=\left|\bruch{\partial}{\partial x} g(x,y)\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|\bruch{\partial}{\partial y} g(x,y)\right|\Delta_{y}
[/mm]
( [mm] \Delta_{x} [/mm] bzw. [mm] \Delta_{y} [/mm] bezeichnen die Messfehler bezüglich x und y )
Lösungsansatz:
für die ersten Ableitungen [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) bzw. [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] g(x,y) erhalte ich:
1.) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) = [mm] a_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] = 0
bzw.
2.) [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] g(x,y) = [mm] a_{y}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] = 0
somit würde sich für den Gesamtfehler ergeben:
3.) [mm] f(x,y)=\left|\bruch{\partial}{\partial x} g(x,y)\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|\bruch{\partial}{\partial y} g(x,y)\right|\Delta_{y} [/mm] = [mm] \left|a_{x}(x,y)\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|a_{y}(x,y)\right|\Delta_{y} [/mm] = [mm] \left|0\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|0\right|\Delta_{y}
[/mm]
und das ist einfach Quatsch !
@leduart
Der Fehler ergibt sich aus:
[mm] \left|\bruch{\partial}{\partial x} g(x,y)\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|\bruch{\partial}{\partial y} g(x,y)\right|\Delta_{y} [/mm] = [mm] \left|a_{x}(x,y)\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|a_{y}(x,y)\right|\Delta_{y}
[/mm]
und NICHT aus:
[mm] \left|\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} y_{i}\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} y_{i}\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_{i}\right|\Delta_{y} [/mm] + [mm] \left|\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_{i}\right|\Delta_{y}
[/mm]
Vielleicht als Hinweis (steht nicht im direkten Zusammenhang mit der Aufgabe):
Es gilt zwar [mm] x_{i}=\overline{x_{i}}\pm\Delta_{x} [/mm] wobei [mm] x_{i} [/mm] den gemessenen Wert, [mm] \overline{x_{i}} [/mm] den wahren Wert und [mm] \Delta_{x} [/mm] die Spannweite des Fehler bezeichnen. Jedoch kann bei EINER Messung nur EIN Fehler [mm] \Delta_{i} [/mm] gemacht werden. Es gilt also:
4.) [mm] x_{i} [/mm] = [mm] \overline{x_{i}} [/mm] + [mm] \Delta_{i} [/mm]
Folglich gilt:
5.) [mm] x_{i} [/mm] - [mm] x_{i} [/mm] = [mm] \left(\overline{x_{i}} + \Delta_{i}\right) [/mm] - [mm] \left(\overline{x_{i}} + \Delta_{i}\right) [/mm] = 0
Es ist wirklich echt nett von Euch mir zu helfen - DANKE
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Di 03.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab für das, was du $ [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] $ g(x,y)* [mm] \Delta_{x} [/mm] nennst, was man genauer aber als:
[mm] \summe_{i=1}^{n}|\bruch{\partial}{\partial x_i}g(x,y)|*\Delta_{x_i} [/mm] schreiben muss raus, wenn alle [mm] \Delta_{x_i} [/mm] = [mm] \Delta_{x}:
[/mm]
[mm] 1/n*\Delta_{x}*\summe_{i=1}^{n}(|y_i|-1/n*|\summe_{k=1}^{n}y_k|)
[/mm]
und sehe nicht, warum das Null sein sollte.
Wenn dir da so nicht einleuchtet, schreib deine Summen mal für n=2 auf!
Deine Bemerkung, dass wenn man 2 gleich Messwerte subtrahiert 0 rauskommt
ist zwar richtig, weiss aber nicht, was das soll?
Vorallem was soll es physikalisch bedeuten 2 gleiche, also nur einmal gemessene Messwerte zu subtrahieren?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mi 04.06.2008 | | Autor: | u.spank |
Habe Frage neu formuliert und in Wurzel des Diskussionsbaum gestellt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Mi 04.06.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | Dank an alle die mir versucht haben zu helfen. Leider verstehe ich die Antworten trotzdem nicht. Bitte erklärt mir die Rechenschritte bzw. erklärt mir an welcher Stelle ich einen Fehler gemacht habe.
Vielen Dank |
Vielleicht muss ich etwas mehr zu den Grundlagen erklären:
Ich messe mittels Eddy-Kovarianz-Methode den vertikalen Stoff- und Energieaustausch von Landoberflächen. Dabei werden gleichzeitig, zeitlich hochaufgelöst [mm] (\ge [/mm] 10 Hz) die Windgeschwindigkeit und die Temperatur bzw. und die Gaskonzentrationen [mm] (CO_{2}, H_{2}O, NO_{x}) [/mm] erfasst. Auf Basis der Renold-Zerlegung lässt sich aus der Kovarianz zwischen vertikaler Windgeschwindigkeit und der Skalarengröße der Stoff- bzw. Energietransport ableiten. Damit ergibt sich die Grundgleichung (1), die eine rechenzeitsparende Darstellungsform für die Kovarianz ist.
(1) [mm] g(x,y)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm]
Diese ist gleich mit der in Gleichung (2) dargestellten üblichen Langform (siehe Sachs 1999 " Angewandte Statistik")
(2) [mm] g(x,y)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(\left(x_{i}-\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(y_{i}-\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)\right) [/mm]
Es bezeichnen dabei [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] die Mittelwerte von x bzw. y im Zeitfenster i=1 bis n. Entsprechend sind [mm] x_{i}-\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] bzw. [mm] y_{i}-\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] die Abweichungen vom Mittelwert. Diese Abweichungen werden in der Literatur üblicherweise mit [mm] x_{i}' [/mm] bzw. mit [mm] y_{i}' [/mm] bezeichnet.
Mein Ziel ist es, den Fehler abzuschätzen, der von den Messgeräten verursacht wird. (Es ist mir klar, dass ein "Offset-Fehler" bei der Kovarianz- Bildung bedeutungslos ist. Aber wie verhält es sich z.B. mit Hysterese- oder Linearitätsfehlern.) Ich habe von den Herstellern der Geräte die Fehler [mm] \Delta_{x} [/mm] und [mm] \Delta_{y} [/mm] bekommen und will eine formale Fehlerrechnung machen. Die Gleichnung für den absoluten Fehler lässt sich nach Leupold et al. (1973, Analysis für Ingeniere), wie in Gleichung (3) dargestellt, aufstellen.
(3) [mm] f(x,y)=\left|\bruch{\partial}{\partial x} g(x,y)\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|\bruch{\partial}{\partial y} g(x,y)\right|\Delta_{y} [/mm] = [mm] \left|a_{x}(x,y)\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|a_{y}(x,y)\right|\Delta_{y} [/mm]
Für die beiden Ableitungen [mm] \bruch{\partial}{\partial x}g(x,y) [/mm] = [mm] a_{x}(x,y) [/mm] bzw. [mm] \bruch{\partial}{\partial y}g(x,y) [/mm] = [mm] a_{y}(x,y) [/mm] erhalte ich (4a) für die Ableitung nach x und (4b) für die Ableitung nach y.
(4a) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) = [mm] a_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] = 0
(4b) [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] g(x,y) = [mm] a_{y}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] = 0
Meine Rechenschritte zur Lösung der Ableitung [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) = [mm] a_{x}(x,y) [/mm] sind in den Gleichungen (5) bis (9) aufgelistet
Die Ableitung nach x lautet in exakter Schreibweise:
(5) [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] g(x,y) = [mm] a_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} ( x_{i} y_{i})\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm]
Die Ableitung des ersten Terms ergibt:
(6) [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} ( x_{i} y_{i})\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} y_{i} [/mm]
Den rechten Term mittels Produktregel ableiten:
(7) [mm] -\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{n^{2}} \left(\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}\right) + \summe_{i=1}^{n}\left(x_{i}\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right)\right) [/mm]
Wegen [mm] \summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm] = 0 entfällt der Term: [mm] \summe_{i=1}^{n}\left(x_{i}\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm] und es ergibt sich für den zweiten Term:
(8) [mm] -\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{n^{2}} \left(\summe_{i=1}^{n}1 \summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}\right)\right) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{n} \left(\summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}\right)\right) [/mm]
Für die 1. Ableitung ergibt sich somit:
(9) [mm] \bruch{\partial}{\partial x}g(x,y) [/mm] = [mm] a_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} ( x_{i} y_{i})\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i})\right)\summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}} (y_{i})\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} y_{i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}\right) [/mm] = 0
Nach einsetzen von Gleichung (9) in Gleichung (3) ergibt sich Gleichung (10). (Das Überführen [mm] a_{x}(x,y) [/mm] in [mm] a_{y}(x,y) [/mm] habe ich selbstverständlich beachtet)
(10) f(x,y) = [mm] \left|a_{x}(x,y)\right|\Delta_{x} [/mm] + [mm] \left|a_{y}(x,y)\right|\Delta_{y} [/mm] = [mm] 0*\Delta_{x} [/mm] + [mm] 0*\Delta_{y} [/mm]
Dieses Ergebnis würde bedeuten, dass sich Messfehler NICHT auf das Ergebnis auswirken würden, was NICHT plausibel ist. Bitte überprüft meine Rechenschritte !
Großes DANKESCHÖN
@leduart Bitte erkläre Deine Rechenschritte ! Mit dahingewurfenen Termen kann keiner etwas anfangen !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mi 04.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versuchs ein letzte mal:
Du schreibst F=$ [mm] f(x,y)=\left|\bruch{\partial}{\partial x} g(x,y)\right|\Delta_{x} [/mm] $ + $ [mm] \left|\bruch{\partial}{\partial y} g(x,y)\right|\Delta_{y} [/mm] $
(Schon im ersten post hat dich EH darauf hingewiesen, dass deine Schreibweise irreführend ist - wenn man sie richtig interpretiert kann man so Abkürzungen verwenden, aber du lässt dich dadurch beirren und wendest die Fehlerrechnung damit falsch an. )
dabei hast du also nicht ein x sondern viele. ich beschränke mich auf fehlerhafte x also [mm] \Delta_{y}=0 [/mm] um Schreibarbeit zu sparen.
ausgeschrieben müsste dein Ausdruck lauten:
[mm] f(x,y)=\summe_{i=1}^{n}|\bruch{\partial}{\partial x_i}g(x,y)|*\Delta_{x_i}
[/mm]
d.h. die Absolutstriche gehören zu jeder einzelnen Ableitung.
um es noch klarer zu machen: n=2 alle [mm] \Delta_x_i [/mm] gleich
[mm] g(x,y)=0,5*(x_1*y_1*x_2*y_2)-0,25*(x_1+x_2)*(y_1+y_2) [/mm]
fehlerfunktion [mm] f=|\bruch{\partial}{\partial x1}|*\Delta_x [/mm] + [mm] |\bruch{\partial}{\partial x_2}|*\Delta_x
[/mm]
[mm] f=|0,5y_1-0,25y_1-0,25y_2|*\Delta_x +|0,5y_2-0,25y_1-0,25y_2|*\Delta_x
[/mm]
[mm] f=(|0,25y_1-0,25y_2|+|0,25y_2-0,25y_1||)*\Delta_x
[/mm]
f=0 nur für [mm] y_1=y_2
[/mm]
Auch im letzten post hatte ich das schon geschrieben und finde deine Kritik :"dahingewurfenen Termen kann keiner etwas anfangen !"
Ein : ich habs nicht verstanden wäre wohl genauer gewesen. von "keiner" ist nicht die Rede!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Do 05.06.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | Ich verstehe weder die bisherigen Antworten noch die Mitteilung. Mein Problem ist, dass bereits die Grundgleichung g(x,y) die Addition von zwei Summen enthält. Als Ergebnis will ich den Fehler in der gesamten Kovarianz bestimmen also den Fehler der Funktion g(x,y). (Diese wurde von mir als [mm] f\left(x,y\right) [/mm] bezeichnet.)
|
Mir ist klar, dass der Fehler der aufsummierten [mm] x_{i} [/mm] bzw. [mm] y_{i} [/mm] (also der Fehler von [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i}) [/mm] gleich dem n-fachen der Einzelfehler also [mm] n*\Delta_{x} [/mm] ist. Dieses lässt sich ja auch einfach berechnen:
(1) [mm] g_{1}(x)=\summe_{i=1}^{n}x_{i}
[/mm]
(2) [mm] g_{1}'(x)=\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}=\summe_{i=1}^{n}1=n
[/mm]
(3) Der Fehler ist logischer Weise: [mm] f_{1}(x)=\summe_{i=1}^{n}\left|\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}\right| \Delta_{x}=n*\Delta_{x}
[/mm]
Nun erweitere ich mein Problem: Ich will den Fehler des Mittelwertes.
(4) [mm] g_{2}(x)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}
[/mm]
(5) Die erste Ableitung währe: [mm] g_{2}'(x)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}1=\bruch{1}{n}*n=1
[/mm]
(6) Entsprechend wäre der Fehler: [mm] f_{2}(x)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left|\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}\right| \Delta_{x}=1*\Delta_{x}
[/mm]
Die Ergebnisse zeigen, dass sich Messfehler sehr stark auf die Summe der Messwerte [mm] x_{i} [/mm] auswirken, jedoch kaum Einfluss auf den Mittelwert haben. Die Frage bleibt wie muss ich bei der Kovarianz vorgehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 05.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du bist kein mal auf meine Rechnung, z.bsp für n=2 eingegangen! Warum?
Was du für den Fehler des MW schreibst ist so etwa richtig.
Was du in den anderen Rechnungen gemacht hast nicht.
Nebenbemerkung: üblicherweise rechnet man Fehler mit
[mm] f=\wurzel{((\bruch{\partial}{(\partial x_{i}}g(x_i,y)+\deltax_i)^2}
[/mm]
aus.
Ich bleib bei deiner darstellung, mit der man eher maximalfehler abschätzt)
[mm] f_{2}(x)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\left|\bruch{\partial}{\partial x_{i}g(x_i,y_i}\right| \Delta_{x}
[/mm]
also brauchen wir
[mm] bruch{\partial}{\partial x_{i}g(x_i,y_i}=\bruch{1}{n}*y_i [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}*\summe_{i=1}^{n}y_i
[/mm]
damit ist [mm] f_i=|\bruch{1}{n}*(y_i-\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}y_i)|\Delta [/mm] x
Dieser Ausdruck ist nur 0, wenn [mm] y_i [/mm] mit dem Mittelwert übereinstimmt.
Wenn ich jetzt davon den Betrag nehme (oder das Quadrat s.o.) und über i summiere bleibt natürlich auch was übrig!
also [mm] f=\summe_{i=1}^{n}f_i=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}|y_i-\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_i|
[/mm]
Da das Ganze sym in x und y ist ergibt sich der Fehler durch [mm] \Delta_y [/mm] entsprechend.
Wenn jetzt noch was unklar ist, geh bitte Punkt für Punkt auf meine Rechnunmg ein. und bitte nicht mit dem nich genau definierten Ausdruck
[mm] \left|\bruch{\partial}{\partial x g(x,y}\right| \Delta_{x}
[/mm]
sondern wenn du ne andere Interpretation dazu hast schreib die aus!
(Diese Art Fehlerrechnung, die davon ausgeht, dass die Messungen unabhängig sind ist eigentlich nicht dazu da, systematische Fehler, wie sie durch "Hysterese" Fehler durch Temperaturänderung der Messgeräte usw. entstehen auszurechnen. sie setzen vorraus, dass die Messgrößen statistische Fehler haben.)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Fr 06.06.2008 | | Autor: | u.spank |
Kurze Anmerkung:
Mich interessiert erstmal nur der Maximalfehler. Die statistische Verteilung des Fehlers kommt später.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 06.06.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | | Ich hab die ganze Nacht gegrübelt. Brauch aber immer noch Hilfe ! |
Das was ich bis jetzt immer noch nicht verstehe ist: Die Grundgleichung (1) ist die Subtraktion von zwei Summen. Die in den beiden Summen vorkommenden [mm] x_{i} [/mm] bzw [mm] y_{i} [/mm] sind jedoch gleich ! (Habe ein paar - zwar überflüssige - Klammern zur Verdeutlichung der Gleichung ergänzt.)
[mm] g(x,y)=\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i}\right) [/mm] - [mm] \left( \bruch{1}{n^{2}}\left(\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)\right) [/mm] (1)
Wenn ich leduart richtig verstanden habe, ergibt sich für den Fehler nach x:
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\left(\summe_{i=1}^{n}\left|\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i} y_{i}\right|\Delta_{x}\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\left(\summe_{i=1}^{n}\left|\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}\right|\Delta_{x}\right)\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right) [/mm] (2a1)
Wobei ich mir sicher bin, dass die bisherige Anwendung der Produktregel auf den rechten Term überflüssig war, da die Summe [mm] \summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] im Bezug auf [mm] x_{i} [/mm] eine Konstante ist.
Nach der weiteren Vereinfachen erhalte ich:
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\left(\summe_{i=1}^{n}\left|\Delta_{x}*y_{i}\right|\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\left(\summe_{i=1}^{n}\left|1*\Delta_{x}\right|\right)\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right) [/mm] (2a2)
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\Delta_{x}\left(\summe_{i=1}^{n}\left|y_{i}\right|\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}*n*\Delta_{x}*\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right) [/mm] (2a3)
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\Delta_{x}*\left(\left(\summe_{i=1}^{n}\left|y_{i}\right|\right) - \left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)\right) [/mm] (2a4)
Entsprechend ergibt sich für den Fehler nach y:
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\Delta_{y}*\left(\left(\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|\right) - \left(\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right)\right) [/mm] (2b)
Und der Gesamtfehler lässt sich wie folgt darstellen:
f(x,y) = [mm] f_{x}(x,y) [/mm] + [mm] f_{y}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\Delta_{x}*\left(\left(\summe_{i=1}^{n}\left|y_{i}\right|\right) - \left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)\right) [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}*\Delta_{y}*\left(\left(\summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|\right) - \left(\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right)\right) [/mm] (3)
Leider ist auch dieses Ergbnis NICHT interpretierbar. Da bei nur positiven [mm] x_{i} [/mm] bzw. [mm] y_{i} [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] bzw. [mm] \summe_{i=1}^{n}\left|y_{i}\right| [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm]
Entsprechend würde der Fehler verschwinden - sprich NULL werden.
Bitte zeigt mir wo genau der Fehler steckt ! Wäre echt nett, wenn Ihr die einzelnen Terme bzw. Zeilen mal durchgehen könntet und sagt: ob richtig oder falsch; bzw. was falsch ist !
GROSSES DANKESCHÖN
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 09.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum kommentierst du meine Rechnung nicht?
>
> [mm]g(x,y)=\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i}\right)[/mm]
> - [mm]\left( \bruch{1}{n^{2}}\left(\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)\right)[/mm]
> (1)
Besser, um Fehler zu vermeiden:
[mm]g(x,y)=\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i}\right)[/mm] -[mm]\left( \bruch{1}{n^{2}}\left(\summe_{i=1}^{n}x_{i}*\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}\right)\right)\right)[/mm]
>
> Wenn ich leduart richtig verstanden habe, ergibt sich für
> den Fehler nach x:
Wobei nochmal betont sein soll, dass das DEINE nicht die übliche Fehlerrechnung ist , die den Fehler als
[mm] f=\wurzel{\summe_{i=1}^{n} ((\bruch{\partial}{\partial x_{i}}g(x_i,y_i))^2}
[/mm]
berechnet!
> [mm]f_{x}(x,y)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n}\left(\summe_{i=1}^{n}\left|\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i} y_{i}\right|\Delta_{x}\right)[/mm]
> -
> [mm]\bruch{1}{n^{2}}\left(\summe_{i=1}^{n}\left|\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}\right|\Delta_{x}\right)\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)[/mm]
> (2a1)
Hier kommt dein Fehler!
richtig ist:
[mm] f(x)=\summe_{i=1}^{n}|(1/n\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i} y_{i}-1/n^2*(\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}\summe_{k=1}^{n} y_{k})|*\Delta_x
[/mm]
Daraus [mm] f(x)=1/n*\summe_{i=1}^{n}|y_i-1/n\summe_{k=1}^{n}y_k)|
[/mm]
Die einzelnen summanden sind nur Null für die [mm] y_i [/mm] die gleich dem Mittelwert sind.
Dein [mm] Fehler:|a-b|\ne [/mm] |a|-|b|
> Wobei ich mir sicher bin, dass die bisherige Anwendung der
> Produktregel auf den rechten Term überflüssig war, da die
> Summe [mm]\summe_{i=1}^{n}y_{i}[/mm] im Bezug auf [mm]x_{i}[/mm] eine
> Konstante ist.
der Kommentar ist richtig.
> Nach der weiteren Vereinfachen erhalte ich:
Die ist damit falsch, und es kommt mein Ergebnis aus dem letzten post!
Versuch es doch mal wirklich für n=2 oder 3 vielleicht wird dir dann der Unterschied zw. meinem und deinem Vorgehen klar!
die Absolutbeträge beziehen sich auf die gesamte Ableitung, nicht nur auf einen Faktor!
Und ich verstehe wirklich nicht, warum du meine Darstellung nicht Zeile für Zeile kommentieren kannst!
oder rechne einfach nur den Fehler [mm] f(x_i) [/mm] aus und addier dann alle die Fehler.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 09.06.2008 | | Autor: | u.spank |
| Aufgabe | | Ich glaub, ich hab's fast - brauch aber noch ehn bisl Hilfe |
Meine Grundgeleichung war gegeben mit (1)
[mm] g(x,y)=\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i}\right) [/mm] - [mm] \left( \bruch{1}{n^{2}}\left(\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)\right) [/mm] (1)
leduart bringt die Gleichung mit dem Komentar "Besser, um Fehler zu vermeiden:" in die folgende Darstellungsform (2)
[mm] g(x,y)=\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} y_{i}\right) [/mm] - [mm] \left( \bruch{1}{n^{2}}\left(\summe_{i=1}^{n}x_{i}*\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}\right)\right)\right) [/mm] (2)
[mm] \* [/mm] Die Änderung der Indizierung von i auf k betrachte ich als Flüchtigkeitsfehler.
[mm] \* [/mm] Warum leduart jedoch [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right) [/mm] in [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right) [/mm] zieht ist mir NICHT klar. Es ist jedoch NICHT falsch da bekanntlich gilt:
[mm] a*\left(\summe_{i=1}^{n}x_{i}\right) [/mm] = [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}a * x_{i}\right) [/mm] (3)
Wobei a = [mm] \summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] als Konstante zu betrachten ist.
Meine falsche Lösung bezüglich des Fehlers [mm] \Delta_{x} [/mm] war (4):
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\left(\summe_{i=1}^{n}\left|\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i} y_{i}\right|\Delta_{x}\right) [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}}\left(\summe_{i=1}^{n}\left|\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}\right|\Delta_{x}\right)\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right) [/mm] (4)
Von leduart wurde angegeben:
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\left|(1/n\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}y_{i} - 1/n^2*\left(\bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}\summe_{i=1}^{n} y_{i}\right)\right|*\Delta_{x} [/mm] (5)
Das bedeutet Grundgleichung (1) liese sich auch wie in (6) angegeben darstellen ?
g(x,y) = [mm] \summe_{i=1}^{n}\left(\bruch{1}{n}*x_{i}y_{i} - \bruch{1}{n^2}*x_{i}*\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)\right) [/mm] (6)
Der Rest ist mir wieder klar
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}y_{i} [/mm] = [mm] y_{i} [/mm] (7)
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_{i}}x_{i}\summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}y_{i} [/mm] (8)
(7) und (8) einsetzen in (5) und es ergibt sich (9):
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\left|(1/n*y_{i} - 1/n^2*\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)\right|*\Delta_{x} [/mm] (9)
Und man kommt zu dem was leduart beschrieben hat (10):
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\Delta_{x}*\summe_{i=1}^{n}\left|y_{i} - \bruch{1}{n}\left(\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right)\right| [/mm] (10)
[mm] \* [/mm] Nun ist [mm] \left(y_{i} - \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i}\right) [/mm] = [mm] y_{i}' [/mm] die Abweichung vom Mittelwert (also die Amplitude oder die Fluktuation)
[mm] \* [/mm] Es ergibt sich als der Fehler F(x,y) für die Kovarianz (11)
F(x,y) = [mm] \bruch{1}{n}*\left(\Delta_{x} \summe_{i=1}^{n}\left|y_{i}'\right| + \Delta_{y} \summe_{i=1}^{n}\left|x_{i}'\right|\right) [/mm] (11)
Versuch es doch mal wirklich für n=2 oder 3 vielleicht wird dir dann der Unterschied zw. meinem und deinem Vorgehen klar! die Absolutbeträge beziehen sich auf die gesamte Ableitung, nicht nur auf einen Faktor! Und ich verstehe wirklich nicht, warum du meine Darstellung nicht Zeile für Zeile kommentieren kannst! oder rechne einfach nur den Fehler [mm] f(x_i) [/mm] aus und addier dann alle die Fehler.
Wobei nochmal betont sein soll, dass das DEINE nicht die übliche Fehlerrechnung ist , die den Fehler als (12) berechnet!
[mm] f=\wurzel{\summe_{i=1}^{n} ((\bruch{\partial}{\partial x_{i}}g(x_i,y_i))^2} [/mm] (12)
Die numerische Simulation des Fehlers hatte ich ja gemacht. Diese brauch ich später für die statistische Auswertung der Fehlerverteilung. Das Problem war halt die exakte Berechnung des Maximalfehlers. Deshalb auch die kein (12).
@leduart Danke für den entscheidenen Hinweis betreffend der falschen Gleichung (2a1).
Gruss u.spank
WAU, ist das ne Wurst
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mo 09.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mich zumindest verwirren die immer gleichen i, deshalb war die Änderung auf k statt i kein Fehler, denn natürlich gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}y_i=\summe_{k=1}^{n}y_k=a_n
[/mm]
zum rausnehmen der Summe :
[mm] r*\summe_{i=1}^{n}b*a_i+r^2*\summe_{i=1}^{n}a_n*a_i=r*\summe_{i=1}^{n}(b*a_i+r*a_i*a_n)
[/mm]
und so sind die Absolutstriche leichter zu setzen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 Di 10.06.2008 | | Autor: | u.spank |
DANKE - trotz viel Diskussion, endlich ein glückliches Ende
|
|
|
|
