Fehlerrechnung < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:07 Fr 06.09.2013 | | Autor: | Hazelnut |
Hallo,
habe ein Verständniss Problem bei einer Aufgabe:
1. Über die Genauigkeit einer Einstellung auf der Grundskala C und D auf dem Rechenstab
E (250 mm) ist die Länge der Grundteilung, x der Eingestellter Zahlenwert, und y die Strecke, die der Zahl x entspicht gemäß
y= E*Log(x) so erhält man [mm] \bruch{dy}{dx}= E*M*\bruch{1}{x}, [/mm]
wobei M=Log(e) = 0,43429 = [mm] \bruch{1}{2,3026} [/mm] ist, und es gilt Log(x)=M*Ln(x).
Ersetzt man den Differentiellquotienten durch den Quotienten der Differentiale, so gilt
näherungsweise [mm] \Delta{y}\approx E*M*\bruch{\Delta{x}}{x} [/mm]
Angenommen die Einstellgenauigkeit, bzw. die Ablesegenauigkeit betrage [mm] \Delta{y}=0,1 [/mm] mm und E=250 mm, so wird der relative Fehler für [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}=\bruch{\Delta{y}}{E*M}\approx [/mm] 0,001 daher der relative Fehler einer Einzelnen Einstellung kann 0,001 betragen. Bei Mehrerer Einstellungen können Fehler addieren. Angenommen für Ausdruck x= [mm] \bruch{a*b}{c} [/mm] ist der realtive Fehler [mm] \wurzel{2*3-1}=0,00226 \approx [/mm] 0,002. Der relativer Fehler ist von x nicht abhängig.
Soweit Verständlich dies oben soll als Einführung zum Problem dienen. Nun zu Eigentliche Frage.
2. Gebrauch der doppelt-logarithmischen Teilungen -LL-Skalen
Der Rechenstab trage Teilungen für y= E*Log(Ln(x)), wobei [mm] 10^{-5} \le [/mm] x [mm] \le 10^{+5} [/mm] ist
(Bezeichnungen wie oben im Beispiel 1) Dann ist:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = E*M * [mm] \bruch{1}{Ln(x)}*\bruch{1}{x} [/mm] und es wird,
[mm] \Delta{y}\approx E*M*\bruch{1}{Ln(x)}*\bruch{\Delta{x}}{x} [/mm]
Mit 1,01 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1,1 und x =1+ [mm] \varepsilon [/mm] , wobei 0,01 [mm] \le \varepsilon \le [/mm] 0,1 ist, wird näherungsweise log(x) [mm] \approx M*\varepsilon. [/mm]
Somit wird [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}\approx \bruch{\Delta{y}*\varepsilon}{E*M}\approx 0,001*\varepsilon [/mm] (Siehe ganz oben im Beispiel 1)
Der relativer Fehler ist also von [mm] \varepsilon [/mm] abhängig:
[mm] \varepsilon [/mm] = 0,01 [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}=10^{-5} [/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] = 0,1 [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}= 10^{-4} [/mm]
In dem Bereich für x von 1,01 bis 1,1 ist der relative Fehler einer einzelnen Einstellung oder Ablesung höchstens gleich dem zehnten Teil des relativen Fehlers auf den Grundskala C und D siehe Bsp. 1 oben). Zur Veranschaulichung dazu: Auf den Grundskala ist der Bereich von x = 1,01 bis x= 1,1 durch eine Strecke von etwa 9,5 mm dargestellt und bei LL-Skala mit 245 mm dargestellt. In dem genannten Bereich in LL-Skala zwischen 1,01 bis 1,1 kann man x Werte mit 10 fachergenauigkeit ablesen.
Diese Tatsache kann man ausnutzen, denn die LL-Skalen gestatten innerhalb der Grenzen eine verhältnissmäßig genaue Einstellung und Ablesung mit einem relativen Fehler [mm] \le 3*10^{-4}. [/mm]
Meine Frage !!! Wie ist man auf die relativen Fehler [mm] \le 3*10^{-4} [/mm] gekommen.
Und meine 2. Frage wäre: Angenommen Der Bereich soll nicht bei 1,01 bis 1,1 sondern 1,1 bis 2,72 [mm] (e^{1}) [/mm] liegen.
Mit 1,1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2,72 = [mm] e^{1} [/mm] und x =1+ [mm] \varepsilon [/mm] , wobei 0,1 ? [mm] \le \varepsilon \le [/mm] 1 ? ist, wird näherungsweise log(x) [mm] \approx M*\varepsilon. [/mm]
Somit wird [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}\approx \bruch{\Delta{y}*\varepsilon}{E*M}\approx [/mm] 0,001 [mm] ?*\varepsilon [/mm] (Siehe ganz oben im Beispiel 1)
Der relativer Fehler ist also von [mm] \varepsilon [/mm] abhängig:
[mm] \varepsilon [/mm] = 0,1 ? [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}=10^{-4} [/mm] ?
[mm] \varepsilon [/mm] = 1 ? [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}= 10^{-3} [/mm] ?
Wie würde der relative Fehler im Bereich 1,1 bis 2,72 [mm] =e^{1} [/mm] liegen.
Bin für jede Hilfe Dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Fr 06.09.2013 | | Autor: | Hazelnut |
..............
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Fr 06.09.2013 | | Autor: | chrisno |
Auch dies habe ich wiederbelebt:
Hallo,
kann mir dabei keiner helfen, habe es einen Freund gefragt der Bachelor Mathematik studiert, der hatte auch keine Ahnung. Die beiden Aufgaben sind aus einem alten Buch, mehr steht da auch nicht drin.
Im Internet gibt es auch keine Material darüber.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Fr 06.09.2013 | | Autor: | chrisno |
Da ist Dir ja der Text verloren gegangen. Hier ist er:
Hallo,
habe ein Verständniss Problem bei einer Aufgabe:
1. Über die Genauigkeit einer Einstellung auf der Grundskala C und D auf dem Rechenstab
E (250 mm) ist die Länge der Grundteilung, x der Eingestellter Zahlenwert, und y die Strecke, die der Zahl x entspicht gemäß
y= E*Log(x) so erhält man $ [mm] \bruch{dy}{dx}= E\cdot{}M\cdot{}\bruch{1}{x}, [/mm] $
wobei M=Log(e) = 0,43429 = $ [mm] \bruch{1}{2,3026} [/mm] $ ist, und es gilt Log(x)=M*Ln(x).
Ersetzt man den Differentiellquotienten durch den Quotienten der Differentiale, so gilt
näherungsweise $ [mm] \Delta{y}\approx E\cdot{}M\cdot{}\bruch{\Delta{x}}{x} [/mm] $
Angenommen die Einstellgenauigkeit, bzw. die Ablesegenauigkeit betrage $ [mm] \Delta{y}=0,1 [/mm] $ mm und E=250 mm, so wird der relative Fehler für $ [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}=\bruch{\Delta{y}}{E\cdot{}M}\approx [/mm] $ 0,001 daher der relative Fehler einer Einzelnen Einstellung kann 0,001 betragen. Bei Mehrerer Einstellungen können Fehler addieren. Angenommen für Ausdruck x= $ [mm] \bruch{a\cdot{}b}{c} [/mm] $ ist der realtive Fehler $ [mm] \wurzel{2\cdot{}3-1}=0,00226 \approx [/mm] $ 0,002. Der relativer Fehler ist von x nicht abhängig.
Soweit Verständlich dies oben soll als Einführung zum Problem dienen. Nun zu Eigentliche Frage.
2. Gebrauch der doppelt-logarithmischen Teilungen -LL-Skalen
Der Rechenstab trage Teilungen für y= E*Log(Ln(x)), wobei $ [mm] 10^{-5} \le [/mm] $ x $ [mm] \le 10^{+5} [/mm] $ ist
(Bezeichnungen wie oben im Beispiel 1) Dann ist:
$ [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] $ = E*M * $ [mm] \bruch{1}{Ln(x)}\cdot{}\bruch{1}{x} [/mm] $ und es wird,
$ [mm] \Delta{y}\approx E\cdot{}M\cdot{}\bruch{1}{Ln(x)}\cdot{}\bruch{\Delta{x}}{x} [/mm] $
Mit 1,01 $ [mm] \le [/mm] $ x $ [mm] \le [/mm] $ 1,1 und x =1+ $ [mm] \varepsilon [/mm] $ , wobei 0,01 $ [mm] \le \varepsilon \le [/mm] $ 0,1 ist, wird näherungsweise log(x) $ [mm] \approx M\cdot{}\varepsilon. [/mm] $
Somit wird $ [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}\approx \bruch{\Delta{y}\cdot{}\varepsilon}{E\cdot{}M}\approx 0,001\cdot{}\varepsilon [/mm] $ (Siehe ganz oben im Beispiel 1)
Der relativer Fehler ist also von $ [mm] \varepsilon [/mm] $ abhängig:
$ [mm] \varepsilon [/mm] $ = 0,01 $ [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}=10^{-5} [/mm] $
$ [mm] \varepsilon [/mm] $ = 0,1 $ [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}= 10^{-4} [/mm] $
In dem Bereich für x von 1,01 bis 1,1 ist der relative Fehler einer einzelnen Einstellung oder Ablesung höchstens gleich dem zehnten Teil des relativen Fehlers auf den Grundskala C und D siehe Bsp. 1 oben). Zur Veranschaulichung dazu: Auf den Grundskala ist der Bereich von x = 1,01 bis x= 1,1 durch eine Strecke von etwa 9,5 mm dargestellt und bei LL-Skala mit 245 mm dargestellt. In dem genannten Bereich in LL-Skala zwischen 1,01 bis 1,1 kann man x Werte mit 10 fachergenauigkeit ablesen.
Diese Tatsache kann man ausnutzen, denn die LL-Skalen gestatten innerhalb der Grenzen eine verhältnissmäßig genaue Einstellung und Ablesung mit einem relativen Fehler $ [mm] \le 3\cdot{}10^{-4}. [/mm] $
Meine Frage !!! Wie ist man auf die relativen Fehler $ [mm] \le 3\cdot{}10^{-4} [/mm] $ gekommen.
Und meine 2. Frage wäre: Angenommen Der Bereich soll nicht bei 1,01 bis 1,1 sondern 1,1 bis 2,72 $ [mm] (e^{1}) [/mm] $ liegen.
Mit 1,1 $ [mm] \le [/mm] $ x $ [mm] \le [/mm] $ 2,72 = $ [mm] e^{1} [/mm] $ und x =1+ $ [mm] \varepsilon [/mm] $ , wobei 0,1 ? $ [mm] \le \varepsilon \le [/mm] $ 1 ? ist, wird näherungsweise log(x) $ [mm] \approx M\cdot{}\varepsilon. [/mm] $
Somit wird $ [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}\approx \bruch{\Delta{y}\cdot{}\varepsilon}{E\cdot{}M}\approx [/mm] $ 0,001 $ [mm] ?\cdot{}\varepsilon [/mm] $ (Siehe ganz oben im Beispiel 1)
Der relativer Fehler ist also von $ [mm] \varepsilon [/mm] $ abhängig:
$ [mm] \varepsilon [/mm] $ = 0,1 ? $ [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}=10^{-4} [/mm] $ ?
$ [mm] \varepsilon [/mm] $ = 1 ? $ [mm] \bruch{\Delta{x}}{x}= 10^{-3} [/mm] $ ?
Wie würde der relative Fehler im Bereich 1,1 bis 2,72 $ [mm] =e^{1} [/mm] $ liegen.
Bin für jede Hilfe Dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Sa 07.09.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Hazelnut,
was du hier machst, ist kein guter Stil und verstößt eindeutig gegen unsere Forenregeln.
Einmal hier gestellte Fragen sind hier dauerhaft eingestellt, das sollte man sich klar machen, bevor man eine Frage stellt!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:34 Sa 07.09.2013 | | Autor: | Hazelnut |
Bitte um Löschung dieser Frage. "Fehlerrechnung". aus dem Forum. Der Inhalt ist Fehlerhaft, habe im Formel Editor Falsch geschrieben. Daher bitte um Löschung der Frage.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Sa 07.09.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Bitte um Löschung dieser Frage. "Fehlerrechnung". aus dem
> Forum. Der Inhalt ist Fehlerhaft, habe im Formel Editor
> Falsch geschrieben. Daher bitte um Löschung der Frage.
>
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich nehme dann mal die Frage aus den offenen Fragen heraus, löschen tum wir hier nur in ganz wenigen begründeten Ausnahmen.
Da wir hier alle in unserer Freizeit helfen, kann es sein, dass du gerade keinen für deine Frage passenden Helfer gefunden hast.
Marius
|
|
|
|
