Fehlerrechnung Biophysik < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mi 21.04.2010 | | Autor: | xPae |
Hallo,
ich schreibe zur Zeit an einem Protokoll über einen Versuch aus der Biophysik. Die Biologie und Physik ist aber für mein Problem erstmal nicht von bedeutung.
Es geht um nicht-lineare Regression
Ich habe Messdaten für b (Bindungsisotherme) und für L Ligandenkonzentration [L]
DIe Formel, nach der sich dies verhält ist:
[mm] b=\bruch{n*L}{k_{D}+L} [/mm]
Ich muss nun n und kD bestimmen
Ich habe nun in Excel mir zunächst irgendwelche Werte für n und kd ausgedacht. Nun die Abweichung von dem gemessen b und dem errechnetet b(mit ausgedachten kd und n- werten) ausgerechnet und quadriert. Somit erhalte ich die quadratische abweichung [mm] (b-b_{ausgedacht})^2
[/mm]
Alle Werte(abweichungen) für meine 12 Messdaten addiert. Jetzt über den Solver errechnet, für welche werte von kd und n diese summe minimal wird!
Nun er halte ich ein [mm] \Delta [/mm] b von 0,07456
Jetzt muss ich eine Fehlerbetrachtung durchführen. Ich habe mir überlegt , dass der Größte relative Fehler bei dem kleinsten b-wert(aus Messdaten) "entsteht".
Jetzt würde ich diesen Prozentsatz des Fehler auf die vom Solver berechneten werte für kd und n übernehmen, da mir nichts besseres einfällt. Habt ihr vielleicht eine bessere Idee?
Gruß xPae
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Hallo xPae,
> Hallo,
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> ich schreibe zur Zeit an einem Protokoll über einen
> Versuch aus der Biophysik. Die Biologie und Physik ist aber
> für mein Problem erstmal nicht von bedeutung.
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> Es geht um nicht-lineare Regression
> Ich habe Messdaten für b (Bindungsisotherme) und für L
> Ligandenkonzentration [L]
>
> DIe Formel, nach der sich dies verhält ist:
>
> [mm]b=\bruch{n*L}{k_{D}+L}[/mm]
>
> Ich muss nun n und kD bestimmen
> Ich habe nun in Excel mir zunächst irgendwelche Werte
> für n und kd ausgedacht. Nun die Abweichung von dem
> gemessen b und dem errechnetet b(mit ausgedachten kd und n-
> werten) ausgerechnet und quadriert. Somit erhalte ich die
> quadratische abweichung [mm](b-b_{ausgedacht})^2[/mm]
> Alle Werte(abweichungen) für meine 12 Messdaten addiert.
> Jetzt über den Solver errechnet, für welche werte von kd
> und n diese summe minimal wird!
>
> Nun er halte ich ein [mm]\Delta[/mm] b von 0,07456
> Jetzt muss ich eine Fehlerbetrachtung durchführen. Ich
> habe mir überlegt , dass der Größte relative Fehler bei
> dem kleinsten b-wert(aus Messdaten) "entsteht".
> Jetzt würde ich diesen Prozentsatz des Fehler auf die vom
> Solver berechneten werte für kd und n übernehmen, da mir
> nichts besseres einfällt. Habt ihr vielleicht eine bessere
> Idee?
Führe die Gleichung
[mm]b=\bruch{n*L}{k_{D}+L}[/mm]
mit Hilfe der Transformationen
[mm]b=\bruch{1}{y}, \ L=\bruch{1}{x}[/mm]
auf eine Gerade [mm]y=\alpha*x+\beta[/mm] zurück.
Dann kannst Du die Funktion
[mm]\summe_{i=1}^{n}\left( y_{i}- \alpha*x_{i} - \beta \right)^{2}[/mm]
minimieren.
Die Bedingungsgleichungen erhältst Du durch
partielles Ableiten nach den Parametern [mm]\alpha[/mm] bzw. [mm]\beta[/mm]
Daraus bestimmen sich dann diese unbekannten Parameter.
>
> Gruß xPae
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Do 22.04.2010 | | Autor: | xPae |
Servus,
nach umstellen erhalte ich dann also:
[mm] y=x*\bruch{k_{D}}{n}+1/n [/mm]
Aber ehrlich gesagt verstehe ich jetzt nicht dein weiteres Vorgehen, um an die Fehler für [mm] k_{D} [/mm] und n zukommen.
Ich könnte jetzt meine ganzen [mm] b_{i} [/mm] in [mm] y_{i} [/mm] und [mm] L_{i} [/mm] in [mm] x_{i} [/mm] umrechnen, dann eine Regressionsgerade machen und dadurch über die RGP Funktion die Fehler für die Steigung und den AChsenabschnitt bestimmen.
Aber vllt ist deine lösung auch eleganter.
die Summe, die du angegeben hast kann ich ja ausrechnenen, da ich ja die werte für n und [mm] k_{D} [/mm] schon bestimmt habe. Und dann soll ich die Summe nach alpha und beta partiell ableiten-> Gauß'sches Gesetz..?Wie könnte ich denn wenn aus der Summe ableiten? Vielleicht ist es auch einfach gerade schon zu spät, aber vielen dank
gruß
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Hallo xPae,
> Servus,
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> nach umstellen erhalte ich dann also:
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> [mm]y=x*\bruch{k_{D}}{n}+1/n[/mm]
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> Aber ehrlich gesagt verstehe ich jetzt nicht dein weiteres
> Vorgehen, um an die Fehler für [mm]k_{D}[/mm] und n zukommen.
>
> Ich könnte jetzt meine ganzen [mm]b_{i}[/mm] in [mm]y_{i}[/mm] und [mm]L_{i}[/mm] in
> [mm]x_{i}[/mm] umrechnen, dann eine Regressionsgerade machen und
> dadurch über die RGP Funktion die Fehler für die Steigung
> und den AChsenabschnitt bestimmen.
>
> Aber vllt ist deine lösung auch eleganter.
> die Summe, die du angegeben hast kann ich ja ausrechnenen,
> da ich ja die werte für n und [mm]k_{D}[/mm] schon bestimmt habe.
> Und dann soll ich die Summe nach alpha und beta partiell
> ableiten-> Gauß'sches Gesetz..?Wie könnte ich denn wenn
> aus der Summe ableiten? Vielleicht ist es auch einfach
> gerade schon zu spät, aber vielen dank
Erstmal willst Du [mm]k_{D}[/mm] und n ausrechnen.
Darum die obigen Transformationen.
Jetzt kannst Du
[mm]\alpha:=\bruch{k_{D}}{n}, \ \beta:=\bruch{1}{n}[/mm]
definieren. Das macht das weitere Vorgehen leichter.
Es ist jetzt die Funktion
[mm]\summe_{i=1}^{12}\left(y_{i}-\alpha x_{i}-\beta\right)^{2}[/mm]
zu minimieren
Durch partielles Ableiten nach [mm]\alpha, \ \beta[/mm] ergeben sich
die Bedingungsgleichungen:
[mm]\bruch{\partial}{\partial \alpha}\summe_{i=1}^{12}\left(y_{i}-\alpha x_{i}-\beta\right)^{2} \ = \ \summe_{i=1}^{12}-2*x_{i} \left(y_{i}-\alpha x_{i}-\beta\right)=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial \beta}\summe_{i=1}^{12}\left(y_{i}-\alpha x_{i}-\beta\right)^{2} \ = \ \summe_{i=1}^{12}-2 \left(y_{i}-\alpha x_{i}-\beta\right)=0[/mm]
Daraus ergibt sich das Gleichungssystem
[mm]\alpha \summe_{i=1}^{12}x_{i}^{2}+\beta*\summe_{i=1}^{12}x_{i}=\summe_{i=1}^{12}y_{i} x_{i}[/mm]
[mm]\alpha \summe_{i=1}^{12}x_{i}+\beta*\summe_{i=1}^{12}1=\summe_{i=1}^{12}y_{i}[/mm]
Hieraus ergeben sich die Unbekannten [mm]\alpha, \ \beta[/mm]
Diese transformierst Du nun zurück, und erhältst [mm]k_{D}[/mm] und n.
>
> gruß
Gruss
MathePower
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