Fehlerterm, Peano Kern < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 26.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Beweise
[mm] \integral_{0}^{1}{K_p(t) dt}=\bruch{1}{p!}(\bruch{1}{p+1}-\summe_{i=1}^{s}b_i\dcot c_i^p) [/mm] |
habe es ausprobiert aber irgendwie komme ich nicht auf das ergebnis. ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen
also ist [mm] K_p [/mm] folg. def im Skript
[mm] K_p(x)=\bruch{(1-x)^p}{p!}-\summe_{i=1}^{s}b_i((c_i-x)_+)^{p-1}
[/mm]
ich habe diese formel benutz.
[mm] \integral_{0}^{1}{K_p(t) dt}=\integral_{0}^{1}{ \bruch{(1-t)^p}{p!}-\summe_{i=1}^{s}b_i\bruch{((c_i-t)_+)^{p-1}}{(p-1)!}
dt}=\integral_{0}^{1}\bruch{(1-t)^p}{p!}-(b_1(\bruch{(c_1-t)_+)^{p-1}}{(p-1)!}+b_2(\bruch{(c_2-x)_+)^{p-1}}{(p-1)!}+...+b_s(\bruch{(c_s-t)_+)^{p-1}}{(p-1)!})dt
[/mm]
[mm] =(-1)\cdot \bruch{(1-t)^p}{p!}+b_1(\bruch{(c_1-x)_+)^{p-1}}{(p-1)!}+b_2(\bruch{(c_2-t)_+)^{p-1}}{(p-1)!}+...+b_s(\bruch{(c_s-t)_+)^{p-1}}{(p-1)!}|_{0}^{1}
[/mm]
man erhält dann nachdem man die grenzen einsetzt
[mm] =b_1(\bruch{(c_1-1)_+)^{p-1}}{(p-1)!}+b_2(\bruch{(c_2-1)_+)^{p-1}}{(p-1)!}+...+b_s(\bruch{(c_s-1)_+)^{p-1}}{(p-1)!}+\bruch{1}{p!}-(\bruch{b_1c_1^{p-1}+b_2c_2^{p-1}+...+b_sc_s^{p-1}}{(p-1)!})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{p!}+\summe_{i=1}^{s}\bruch{b_i(c_i-1)^{p-1}}{(p-1)!}-\bruchb_ic_i^{p-1}{(p-1)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{p!}+\summe_{i=1}^{s}\bruch{b_i(c_i-1)^{p-1}-b_ic_i^{p-1}}{(p-1)!}
[/mm]
ist es möglich noch weiter zusammenzufassen außer dass man [mm] b_i [/mm] ausklammer kann? ist es soweit richtig was ich da gemacht habe. könnt ihr mir ein tipp geben wie ich zum ergebnis gelange. ich bin für jede hilfe dankbar.
gruß,
mimo1
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 So 26.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
da ist doch einiges schief gelaufen bei deiner Integration.
Es ist doch [mm] $\int_{0}^1 (1-t)^p \mathrm{d}t=\frac{1}{p+1}$ [/mm] und
[mm] $\int_{0}^1 (c_i-t)_+^{p-1} \mathrm{d}t=\int_{0}^{c_i} (c_i-t)_+^{p-1} \mathrm{d}t=\frac{c_i^p}{p}$.
[/mm]
Damit solltest du nun auf das gewünschte Ergebnis kommen.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 29.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
danke für den hinweis. ich habe es soweit auch hinbekommen.
meine fragen ist nun warum du für die obere Grenze also 1 [mm] c_i [/mm] ersetzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mi 29.10.2014 | | Autor: | andyv |
Es ist [mm] $c_i\leq [/mm] 1$ und der Integrand für [mm] $t>c_i$ [/mm] verschwindet wegen Definition von $x_+$.
Liebe Grüße
|
|
|
|
