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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:50 So 21.08.2005 | | Autor: | Martini |
Hallo!
Im Bronstein, Kapitel "Felder", wird die Differentialgleichung der Feldlinien im Raum angegeben. Für die Ebene lautet sie:
[mm] \bruch{dx}{dt}= v_{x}(x(t),y(t)), \bruch{dy}{dt}= v_{y}(x(t),y(t))
[/mm]
t soll der Parameter entlang der Feldlinie sein. Angenommen ich habe folgendes Vektorfeld:
[mm] \vec{U}( \vec{r})= \{ \bruch{x}{ x^{2}+ y^{2}}, \bruch{y}{ x^{2}+ y^{2}} \}
[/mm]
dann müßte die Differentialgleichung lauten:
[mm] \bruch{dx}{dt}= \bruch{x(t)}{ x(t)^{2}+ y(t)^{2}}, \bruch{dy}{dt}= \bruch{y(t)}{ x(t)^{2}+ y(t)^{2}}
[/mm]
Zu jeder Feldlinie gehört auch ein Anfangswert, z.B.: x(0)=1, y(0)=1 und ein Parameterbereich, z.B.: 0<t<3.
Damit endet aber leider schon mein Verständnis! Wer kann mir das Prinzip und möglichst auch die Lösung für das angegebene Beispiel aufzeigen? Alles was ich weiß ist, daß Feldlinien Kurven sind, bei denen in jedem Punkt der Feldvektor Tangentenvektor ist. Ich verstehe aber schon das Konzept das hinter den Gleichungen steht nicht. Für eine möglichst ausführliche und anschauliche Erklärung bin ich sehr dankbar, da mein Background sehr bescheiden ist (habe noch nie Differentialgleichungen gelöst).
Gruß, Martini
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo Martini,
da wie du schreibst dein background eher bescheiden ist, wäre es natürlich besonders interessant zu wissen, warum du dich trotzdem mit diesem thema befasst bzw. worauf eine mögliche antwort hinauslaufen sollte.
Schauen wir uns einmal das einfachste beispiel der feldlinien, nämlich im zweidimensionalen euklidischen raum an. (wir) mathematiker sprechen in diesem zusammenhang übrigens eher vom "Fluß" eines vektorfeldes, aber das nur am rande.
ein vektorfeld ist nun eine Abbildung [mm] $V:\IR^2\to \IR^2$, [/mm] dh. einem punkt der ebene wird eindeutig ein vektor zugeordnet. anschaulich kann man sich also in jedem punkt der ebene einen pfeil vorstellen, wie beispielsweise windpfeile auf der wetterkarte. setze ich nun eine kleine kugel in das vektorfeld und stelle mir vor, sie wird von den vektoren 'mitgenommen' wird sie sich auf einer feldlinie entlang der pfeile im vektorfeld bewegen.
Mathematisch fasst man das folgendermaßen: Ist [mm] $c:\IR\to \IR^2$ [/mm] eine parametrisierte kurve, so verlangt man nun von der feldlinie (oder dem Fluß des vektorfeldes), dass gilt
$c'(t)=V(c(t))$.
Die Richtung der Kurve (also die Ableitung) soll mit dem Vektorfeld übereinstimmen. darüberhinaus muss man natürlich eine anfangswert-bedingung [mm] $c(0)=x_0$ [/mm] festlegen, das ist die Stelle, wo man anschaulich die kugel ins vektorfeld setzt.
Durch diese beiden forderungen wird ein anfangswertproblem für eine im allgemeinen nichtlineare gewöhnliche differentialgleichung erster ordnung definiert, für die zunächst nur lokal garantiert eine lösung existiert.
Zu deinem Beispiel: Sei [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] ein punkt der ebene, dann ist dein vektorfeld gegeben durch
[mm] $U(x)=\bruch{x}{||x||^2}$.
[/mm]
dh. du ordnest einem punkt der ebene den vektor zu, der entsteht, wenn du den punkt mit dem nullpunkt verbindest und dann so skalierst, dass seine länge gleich [mm] $\bruch{1}{||x||}$ [/mm] ist. anschaulich zeigen die pfeile also sternförmig vom nullpunkt weg, werden aber mit wachsendem abstand vom nullpunkt immer kürzer.
siehst du jetzt, wie die feldlinien aussehen? es sind einfach die geraden die durch den nullpunkt laufen. die formale herleitung der feldlinien anhand der differentialgleichung werde ich mir jetzt allerdings nicht antun....  .
hoffentlich konnte ich dir ein wenig weiterhelfen.
Viele Grüße
Matthias
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:04 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Martini |
Hallo nochmal!
Über die erste Antwort habe ich mich schon mal sehr gefreut, aber meine Frage ist damit keineswegs beantwortet. Deshalb möchte ich mein Ausgangsproblem hiermit präzisieren. Entschuldigung daß mir dies nicht schon vorher geglückt ist.
Was Feldlinien sind, und der Verlauf der Feldlinien für mein Beispiel, das war mir schon klar. Was mir nicht klar ist, daß sind die mathematischen Schritte von der gegebenen Gleichung des Vektorfeldes zu der gesuchten Lösung der Differentialgleichung. Es wird doch hier zunächst der Feldgleichung ein Parameter t zugeordnet. Es entsteht aber keine einfache Parametergl. wie z.B. [mm] f_{t}(x)=x+t \*y. [/mm] Sondern? Was genau passiert hier und wozu dient das in diesem Zusammenhang? (siehe die Formeln in meiner Ausgangsfrage)
Als nächstes wird dann die DGL gelöst um für die beiden Achsen des Koordinatenkreuzes je eine Gleichung zu erhalten, die dann zusammen eine Feldlinie aus dem Fluß des Feldes beschreiben. Wie kommt man zu dieser Lösung, und wie sieht sie für meinen speziellen Fall aus?
Wenn mir jemand diese Schritte für den einfachen Fall eines zweidimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystems erklären kann (WIE? aber eben auch WARUM?), und zwar anhand meines angegebenen Bsp., dafür bin ich [mm] \infty [/mm] dankbar.
Herzliche Grüße, Martini
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