Fellersche Bedingung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 06.10.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich werde nicht so richtig schlau daraus, was diese Bedingung inhaltlich bedeutet; wie sie definiert ist, weiß ich und auch, daß man sie im Kontext einer Verallgemeinerung des Zentralen Grenzwertsatzes benötigt.
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Hiho,
überleg dir doch mal, was passiert, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist.
Was bedeutet das dann zwingerweise für die Varianzen?
Dabei gibt es zwei Fälle zu beachten, wobei sich aber beide nachher in einen umgangssprachlichen Satz zusammenfassen lassen.
Das soll eben gerade nicht passieren 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Sa 06.10.2012 | | Autor: | dennis2 |
Also in Worten bedeutet die Bedingung m.E. Folgendes:
Man dividiert die größte Varianz durch die Summe der Varianzen (wenn man den Bruch quadriert). Dann:
Asymptotisch spielt der größte Summand keine Rolle.
---------------------------------
Wenn diese Bedingung jetzt nicht gelten würde, würde die Summe der Varianzen bestimmt sein durch den größten Summanden, also die größte Varianz.
Hmm...
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Hiho,
> Wenn diese Bedingung jetzt nicht gelten würde, würde die
> Summe der Varianzen bestimmt sein durch den größten
> Summanden, also die größte Varianz.
jein.
Es gibt zwei wesentliche Möglichkeiten, wie das auftreten kann.
1.) Die Summe aller Varianzen ist endlich (d.h. die Folge der Varianzen wird ausreichend schnell klein).
2.) Ab und an taucht eine Varianz auf, die so groß ist, dass sie alles vorhergehende dominiert (d.h. in etwa so groß ist, wie die Summe der vorherigen Varianzen).
Mach dir mal klar, warum in beiden Fällen der Grenzwert nicht null wird (und das dass auch die einzigen Fälle sind).
Man könnte jetzt zwar vermuten, dass das heißt, die Varianzen müssten in einem bestimmten Intervall nach oben und unten liegen, dem ist aber nicht so, wie man schnell an
[mm] $\left(\sigma_j\right)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{j}$
[/mm]
erkennt.
Man sieht aber, dass auf keinen Fall Fall 2.) auftritt, und für Fall 1.) fallen die Varianzen nicht schnell genug ab 
Demgegenüber steht die Folge
[mm] $\left(\sigma_j\right)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{j^2}$
[/mm]
die das Kriterium nicht erfüllt, aber im gleichen Intervall liegt, wie die vorherige.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 06.10.2012 | | Autor: | dennis2 |
Das heißt die Bedingung verhindert die Situationen 1.) und 2.)
Aber wieso ist das wichtig?
Bzw: Wie folgt aus dieser Bedingung ein zentraler Grenzwertsatz?
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Hiho,
> Bzw: Wie folgt aus dieser Bedingung ein zentraler Grenzwertsatz?
tut es doch gar nicht!
Da steht:
Aus [mm] "(X_i) [/mm] erfüllt die Lindeberg-Bedingung" folgt [mm] "(X_i) [/mm] genügt dem zentralen Grenzwertsatz".
Die Umkehrung:
Aus [mm] "(X_i) [/mm] genügt dem zentralen Grenzwertsatz" folgt [mm] "(X_i) [/mm] erfüllt die Lindeberg-Bedingung" gilt NICHT dafür benötigt man ZUSÄTZLICH die Fellersche Bedingung.
D.h:
Aus [mm] "(X_i) [/mm] genügt dem zentralen Grenzwertsatz UND erfüllt die Fellersche Bedingung" folgt [mm] "(X_i) [/mm] erfüllt die Lindeberg-Bedingung".
D.h. dass [mm] (X_i) [/mm] dem zentralen Grenzwertsatz genügt wird vorausgesetzt und folgt nicht direkt aus der von dir betrachteten Bedingung.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Sa 06.10.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich verstehe aber nicht, wieso man den zentralen Grenzwertsatz voraussetzen kann, denn die [mm] X_i [/mm] sind ja als unabhängig (aber nicht als identisch verteilt) vorausgesetzt, während man für den dort verlinkten zentralen Grenzwertsatz auch braucht, dass die [mm] X_i [/mm] identisch verteilt sind.
Mir wird auch nicht klar, wieso diese Fellersche Bedingung gelten muss, warum ist es schlimm, wenn sie nicht gilt...
Sehr verzwickt, wie ich finde.
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Hiho,
> Ich verstehe aber nicht, wieso man den zentralen Grenzwertsatz voraussetzen kann, denn die [mm]X_i[/mm] sind ja als unabhängig (aber nicht als identisch verteilt) vorausgesetzt, während man für den dort verlinkten zentralen Grenzwertsatz auch braucht, dass die [mm]X_i[/mm] identisch verteilt sind.
Warum kannst du sie als unabhängig voraussetzen?
Einfach weil es eben vorausgesetzt wird, d.h. es gilt eben nur für solche [mm] $X_i$, [/mm] die die Voraussetzungen erfüllen.
Da wird ja nichts aus der Unabhängigkeit hergeleitet, sondern, ich betone es nochmal, vorausgesetzt.
Ist die der Unterschied nicht klar?
Wie hast du denn Sätze bisher bewiesen? Ganz ohne Voraussetzungen? Das wage ich mal zu bezweifeln.....
> Mir wird auch nicht klar, wieso diese Fellersche Bedingung
> gelten muss, warum ist es schlimm, wenn sie nicht gilt...
Weil es dann eben (mindestens) eine Folge von [mm] X_i [/mm] gibt, die dem zentralen Grenzwertsatz genügt, aber nicht der Lindeberg-Bedingung.
Ein Beispiel hatte ich dir ja bereits gegeben mit [mm] (X_i) [/mm] unabhängig, [mm] $\sigma_i^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{i^2}$
[/mm]
> Sehr verzwickt, wie ich finde.
Nein, du darfst nur Begrifflichkeiten nicht durcheinander werfen.
Und gerade bei solchen Thematiken reicht es eben nicht mehr aus, sich bei Wikipedia zu belesen, sondern da muss man sich ein paar Fachbücher zur Hand nehmen und sich dort belesen.
Dort wirst du auch Beispiele zu deinen Fragen finden, denn gerade zum Thema des zentralen Grenzwertsatzes gibt es viel schwächere Bedingungen als "iid"
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Sa 06.10.2012 | | Autor: | dennis2 |
Also man setzt voraus, dass die Xi den zentralen GWS erfüllen, also insbesondere unabhängig und identisch verteilt sind?
Und dann kann man versuchen die Feller bedingung nachzuweisen, für die schon reicht, dass die [mm] X_i [/mm] unabhängig verteilt sind?
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Hiho,
> Also man setzt voraus, dass die Xi den zentralen GWS erfüllen
Ja.
> also insbesondere unabhängig und identisch verteilt sind?
Nein, wie kommst du darauf?
Ich hab doch eben geschrieben, dass der ZGW für weit mehr als nur i.i.d Zufallsvariablen gilt!
Du solltest dich dringend nochmal damit auseinandersetzen, was Implikationen (Folgerungen) sind, und dass aus ihnen nicht auch die Umkehrung eines Satze folgt.
Heißt: Wenn aus A folgt B gilt, folgt aus B nicht umgekehrt auch zwangsweise A!
> Und dann kann man versuchen die Feller bedingung
> nachzuweisen, für die schon reicht, dass die [mm]X_i[/mm] unabhängig verteilt sind?
Das kannst du versuchen, sobald du nachgewiesen hast, dass deine Zufallsvariablen unabhängig sind, ja.
MFG,
Gono.
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Feller'sche Bedingung (s. bei der Überschrift "Umkehrung")
