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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mo 21.11.2011 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | | [mm]F(n)=2^{2^n}+1[/mm] Fermat-Zahl, q|F(n), [mm] q\in\IP. [/mm] Dann ist [mm]q \equiv 1 (mod 2^{2+n})[/mm], [mm] n\ge2 [/mm] |
Hallo liebe Matheraumler,
ich komme bei dieser Aufgabe ab einem gewissen Punkt nicht weiter. Ich habe mir schon folgendes überlegt:
Aus der Vorraussetzung folgt:
[mm]2^{2^n}+1\equiv0(mod q)
\Rightarrow 2^{2^n}\equiv-1(mod q)
\Rightarrow 2^{2^{n+1}}\equiv1(mod q)
\Rightarrow ord(2)=2^{n+1}[/mm].
Hieraus müsste jetzt irgendwie die Behauptung folgen, aber wie?
Ich freue mich über jede Hilfe,
Gruß, m0ppel
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Hallo m0ppel,
Deine letzte Folgerung stimmt nicht.
> [mm]F(n)=2^{2^n}+1[/mm] Fermat-Zahl, q|F(n), [mm]q\in\IP.[/mm] Dann ist [mm]q \equiv 1 (mod 2^{2+n})[/mm],
> [mm]n\ge2[/mm]
>
> ich komme bei dieser Aufgabe ab einem gewissen Punkt nicht
> weiter. Ich habe mir schon folgendes überlegt:
> Aus der Vorraussetzung folgt:
> [mm]2^{2^n}+1\equiv0(mod q) \Rightarrow 2^{2^n}\equiv-1(mod q) \Rightarrow 2^{2^{n+1}}\equiv1(mod q) \Rightarrow ord(2)=2^{n+1}[/mm].
Es könnte genausogut gelten [mm] ord(2)=2^k [/mm] mit k<n+1.
> Hieraus müsste jetzt irgendwie die Behauptung folgen, aber
> wie?
[mm] 2^{2^{n+1}}\equiv 1\mod{q} [/mm] sollte Dir formal bekannt vorkommen, wo die Aufgabe doch schon nach Pierre de Fermat benannt ist...
Grüße
reverend
> Ich freue mich über jede Hilfe,
> Gruß, m0ppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 21.11.2011 | | Autor: | m0ppel |
Hm... also das mit der Ordnung müsste m.E. richtig sein, da [mm]2^{2^n}\equiv-1(mod q)[/mm] gilt. Aber es scheint ja unwichtig zu sein :P
Ich versteh aber leider nicht ganz, woher mir das formal bekannt sein sollte, willst du damit auf den kleinen Satz von fermat anspielen? Aber da müsste der Exponent doch q-1 sein :/
Gruß m0ppel
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Hallo nochmal,
> Hm... also das mit der Ordnung müsste m.E. richtig sein,
> da [mm]2^{2^n}\equiv-1(mod q)[/mm] gilt.
Ah, sorry. Da hast Du natürlich Recht.
> Aber es scheint ja
> unwichtig zu sein :P
> Ich versteh aber leider nicht ganz, woher mir das formal
> bekannt sein sollte, willst du damit auf den kleinen Satz
> von fermat anspielen? Aber da müsste der Exponent doch q-1
> sein :/
Ja, kleiner Fermat. Daraus kannst du eine Beziehung zwischen q-1 und [mm] 2^{n+1} [/mm] gewinnen. Mit einfachem Gleichsetzen ist es allerdings leider nicht (unbedingt) getan.
Grüße
reverend
> Gruß m0ppel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Mo 21.11.2011 | | Autor: | m0ppel |
Vielen Dank erstmal, werd ich ausprobieren.
Gruß m0ppel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:11 Di 22.11.2011 | | Autor: | m0ppel |
Lieber reverend,
ich komme da leider immernoch nicht so richtig weiter, vor allem, da ich ja zeigen soll, dass [mm]q\equiv1(mod2^{2+n})[/mm] ist. Ich weiß halt leider gar nicht, wie man überhaupt auf dieses [mm] mod2^{2+n} [/mm] dann schließen soll mit Euler. Vielleicht bin ich jetzt auch einfach nur zu müde und check es deshalb nicht. Werde es mir morgen nochmal angucken, bin aber auch weiterhin über Tips o.Ä. dankbar.
Gruß m0ppel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:00 Di 22.11.2011 | | Autor: | hippias |
Tip: Du hast festgestellt, dass die Ordnung von $2$ mod $q$= [mm] $2^{n+2}$ [/mm] ist. Andererseits weisst Du auch etwas ueber [mm] $2^{q-1}$ [/mm] mod $q$. Und da die Ordnung die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist,folgt die Behauptung...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Di 22.11.2011 | | Autor: | m0ppel |
Eben das habe ich meiner Meinung nach nicht. Ich habe ja in der ersten Frage geschrieben, dass ord(2) mod q =[mm]2^{n+1}[/mm] und eben nicht [mm]2^{n+2}[/mm] ist. Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Di 22.11.2011 | | Autor: | hippias |
Du hast natuerlich recht: Wir wissen bisher nur [mm] $2^{n+1}\vert [/mm] q-1$. So auf die schnelle faellt mir nur das ein: Meist beweist man im Zusammenhang mit dem Quadratischen Reziprozitaetsgesetz, dass $2$ genau dann ein Quadrat mod $q$ ist, wenn $q= 1, -1$ mod $8$ gilt. Da bei uns [mm] $n\geq [/mm] 2$ ist, gilt $q=1$ mod $8$, so dass es ein $x$ gibt mit [mm] $x^{2}= [/mm] 2$ mod $q$. Nun betrachte die Ordnung von $x$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 24.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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