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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Sa 21.04.2012 | | Autor: | hello111 |
Zeigen Sie, dass für m,n Element, n<m der natürlichen Zahlen gilt:
[mm] 2^{2^n} [/mm] + 1 teilt [mm] 2^{2^m} [/mm] - 1
habe bewiesen, dass F(m)= F(0)......F(m-1)+2 ist, weiß trotzdem nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll?
Wäre um jede Hilfe dankbar :)
LG
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moin,
Kennst du schon modulo-Rechnung?
Damit ist das ganze kein so großes Problem.
Lass bei [mm] $2^{2^m} [/mm] - 1$ erst einmal die 1 weg und zeige, dass [mm] $2^{2^m} \equiv [/mm] 1$ (mod [mm] $2^{2^n} [/mm] + 1$)
Dazu: Wie kannst du dir [mm] $2^{2^m}$ [/mm] als Vielfaches, Potenz, Summe, etc (will ja nicht alles verraten^^) von [mm] $2^{2^n}$ [/mm] schreiben?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 So 22.04.2012 | | Autor: | hello111 |
Danke erstmal für deine Antwort! :)
Nein, modulo Rechnung kenn ich leider nicht :(
ich probier zwar die ganze Zeit [mm] 2^{2^m} [/mm] durch [mm] 2^{2^n} [/mm] auszudrücken, aber irgendwie kommt da bei mir nichts raus?!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 So 22.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke erstmal für deine Antwort! :)
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> Nein, modulo Rechnung kenn ich leider nicht :(
>
> ich probier zwar die ganze Zeit [mm]2^{2^m}[/mm] durch [mm]2^{2^n}[/mm]
> auszudrücken, aber irgendwie kommt da bei mir nichts
> raus?!
Es ist doch [mm] $2^{2^m} [/mm] = [mm] 2^{2^n \cdot 2^{m-n}} [/mm] = [mm] (2^{2^n})^{2^{m-n}}$.
[/mm]
Weiterhin kannst du [mm] $(2^{2^n})^{2^{m-n}} [/mm] = [mm] ((2^{2^n})^{2^{m-n-1}})^2$ [/mm] schreiben, da $m - n - 1 [mm] \ge [/mm] 0$ gilt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 So 22.04.2012 | | Autor: | hello111 |
super, danke, das hab ich jetzt verstanden. wäre selbst nicht drauf gekommen!
kann ich das jetzt für den beweis verwenden? also mach ich es besser nicht mit induktion?
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Ja, das kannst du verwenden.
Wenn du noch keine modulo-Rechnung kennst würde ich dir eine Division mit Rest (Euklidischer Algorithmus) empfehlen um dann festzustellen, dass der Rest Null ist.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 22.04.2012 | | Autor: | hello111 |
Also soll ich
[mm] [(2^{2^n})^{2^{m-n}} [/mm] ] -1 : [mm] 2^{2^n} [/mm] + 1
dividieren?
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Jo.
Natürlich nicht in einem Schritt sondern eine schrittweise Division mit Rest bis du begründen kannst, wieso der Rest 0 ist.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 22.04.2012 | | Autor: | hello111 |
kann ich das auch auf die art wie man eine polinomdivision macht, machen?
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Achso, ihr hattet den euklidischen Algorithmus noch nicht?
Dann ja, versuch es mit etwas wie einer Polynomdivision; oder guck nochmal genau im Skript nach, vielleicht hattet ihr den doch schon, vielleicht zur Berechnung des ggT zweier Zahlen?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:05 So 22.04.2012 | | Autor: | hello111 |
Doch, den hab ich schon durchgemacht, aber bei diesem Fall weiß ich nicht, wie ich das machen sollte.. ?
Tut mir leid, hab ewig kein Mathe mehr gehabt und muss mich erst wieder einüben..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 So 22.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
Man kann bei dieser Aufgabe recht gut ohne Polynomdivision etc. auskommen, wenn man die zwei folgenden Rechenregeln beachtet:
a) $(a + 1) (a - 1) = [mm] a^2 [/mm] - 1$;
b) [mm] $b^k [/mm] - 1 = (b - 1) (1 + b + [mm] b^2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] b^{k-1})$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 22.04.2012 | | Autor: | hello111 |
Ich weiß trotzdem leider nicht, wie ich das machen soll. Ich brauche diese Aufgabe aber unbedingt. Kannst du mir noch zeigen wie ich weiter mache?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 So 22.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich weiß trotzdem leider nicht, wie ich das machen soll.
> Ich brauche diese Aufgabe aber unbedingt. Kannst du mir
> noch zeigen wie ich weiter mache?
Na, setz doch mal $a := [mm] 2^{2^n}$. [/mm] Dann kannst du mit den beiden Identitaeten zeigen: [mm] $a^{2 k} [/mm] - 1 = [mm] (a^2)^k [/mm] - 1$ ist ein Vielfaches von $a + 1 = [mm] 2^{2^n} [/mm] + 1$.
Jetzt musst du $k$ passend waehlen, so dass [mm] $a^{2 k} [/mm] - 1 = [mm] 2^{2^m} [/mm] - 1$ ist. Das solltest du noch selber hinbekommen...
LG Felix
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damit a^(2k)-1 = [mm] 2^{2^m}-1 [/mm] ist muss k = m-n --> a^(2k)-1= [mm] (2^2^n)^{2*(m-n)} [/mm] -1
oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 24.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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