Fermatpunkt mit Differentialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Mi 05.05.2004 | | Autor: | moonylo |
Hi,
ich habe ein Problem und zwar muss ich den Fermatpunkt als Referat halten (oder GFS, sagt vielleicht einigen was). Allerdings schaffe ich es nicht diese Funktion:
Fermatpunkt Kurz gesagt ist dieser Punkt: Gibt es in jedem Dreieck einen Punkt F so, daß die Summe der Entfernungen von F zu den drei Eckpunkten minimal ist?
dA = der Abstand des gesuchten Punktes zu A, dB = Abstand zu B, usw.
u(x,y)=dA(x,y)+dB(x,y)+dC(x,y).
(von dieser Seite: http://did.mat.uni-bayreuth.de/geonet/beispiele/minimum/) zu minimieren.. und zwar so, dass ich auf das Ergebnis komme wie Gruson.
Minimieren dachte ich eigentlich, dass ich einfach jeweils die Ableitung Bilde, aber da ja im Grunde immer nur eine Variable da ist wird diese = 1, und zwar egal welche Punkte A, B und C ich habe.
Mit Freundlichen Grüßen
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jan,
willkommen im MatheRaum! 
> ich habe ein Problem und zwar muss ich den Fermatpunkt als
> Referat halten (oder GFS, sagt vielleicht einigen was).
> Allerdings schaffe ich es nicht diese Funktion:
>
> Fermatpunkt Kurz gesagt ist dieser Punkt: Gibt es in jedem
> Dreieck einen Punkt F so, daß die Summe der Entfernungen
> von F zu den drei Eckpunkten minimal ist?
>
> dA = der Abstand des gesuchten Punktes zu A, dB = Abstand
> zu B, usw.
>
> u(x,y)=dA(x,y)+dB(x,y)+dC(x,y).
>
> (von dieser Seite:
> http://did.mat.uni-bayreuth.de/geonet/beispiele/minimum/)
> zu minimieren.. und zwar so, dass ich auf das Ergebnis
> komme wie Gruson.
>
> Minimieren dachte ich eigentlich, dass ich einfach jeweils
> die Ableitung Bilde, aber da ja im Grunde immer nur eine
> Variable da ist wird diese = 1, und zwar egal welche Punkte
> A, B und C ich habe.
Diesen Satz verstehe ich nicht ganz; was meinst du mit "im Grunde immer nur eine Variable da ist" und mit "wird diese =1"?
Da der Satz auch vom Satzbau nicht vollständig zu sein scheint, fällt es mir schwer, die Bedeutung zu erraten.
Vielleicht meinst du ja aber das:
Die Funktion u(x,y) ist von zwei Variablen abhängig, die auch untereinander keine Abhängigkeit besitzen (der gesuchte Punkt soll ja frei wählbar in der Ebene sein). Deswegen kommt man mit Schul-Differenzialrechnung hier nicht weiter.
Oder hat dir der Lehrer vielleicht noch mehr Informationen gegeben, z.B., ob es sich um ein spezielles Dreieck handelt oder ob der Fermatpunkt auf einer speziellen Transversalen (Winkelhalbierende, Höhe, Seitenhalbierende etc.) liegen soll?
Falls du keine weiteren Infos hast, könntest du ja mal überlegen, ob es sinnvoll ist, vielleicht zunächst eine feste y-Koordinaten zu betrachten und für alle Punkte mit dieser festen y-Koordinate (die anschaulich alle auf einer Geraden liegen) denjenigen zu finden, dessen Summe seiner Abstände zu den Eckpunkten minimal wird.
Viel Erfolg und melde dich bei weiteren Fragen bitte einfach wieder,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Mi 05.05.2004 | | Autor: | moonylo |
Hallo und danke :)
Es geht um ein beliebiges Dreieck A, B, C. "Gibt es in jedem Dreieck einen Punkt F so, daß die Summe der Entfernungen von F zu den drei Eckpunkten minimal ist? "
Dann geht man von der Gleichung aus: u(x,y) ist abhängig von x und y koordinate des gesuchten Punktes F(ermatpunkt) und u(x,y) soll die Länge der 3 Strecken von F zu A, B, C darstellen.
dA(x,y) ist also die Entfernung von F zu A und eben abhängig von den Koordinaten von F, die ich ja im Prinzip versuche herauszufinden.
Das gleiche gilt für dB(x,y) und dC(x,y).
Wenn ich diese 3 Längen dA, dB und dC addiere, dann erhalte ich u. Diese Länge lässt sich ja durch eine Funktion darstellen in abhängigkeit der Koordinaten von F(x,y):
u(x,y)=dA(x,y)+dB(x,y)+dC(x,y)
Wenn man diese Funktion minimiert, soll man angeblich auf Folgendes Ergebnis kommen:
"Mit den bekannten Kriterien der Differentialrechnung erhält Gruson als Ergebnis:
"Der gesuchte Punct muß also so liegen, daß die aus demselben an die drei gegebenen Puncte gezogenen geraden Linien gleiche Winkel mit einander machen, und es darf, wenn die Aufgabe möglich seyn soll, keiner der drei Winkel des Triangels, an dessen Spitzen die drei gegebenen Puncte liegen, größer als 120° seyn."
Und ich weiß leider nicht wie :)
Es würde auch zumindest einmal reichen, wenn ich den Punkt mit Hilfe von 3 Punkten ausrechnen könnte. Z.b. A(1/1), B(1/5) und C(5/1).
Es gibt viele geometrische Beweiße, die auch sehr einfach sind, allerdings dauern diese zu lange als sie in einer Stunde zu führen, daher möchte ich gerne den Beweiß mit hilfe der Differentialrechnung :)
Mit freundlichen Grüßen
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Mi 05.05.2004 | | Autor: | moonylo |
Achso ja.. also mal angenommen ich nehme diese Punkt A(1/1), B(1/5) und C(5/1) und möchte die Funktion minimieren. Dann leite ich die Funktion ab und setze sie gleich 0.
u(x)=x-1 + x-1 + 5-x
u(y)=y-1 + 5-y + y-1
Da ich mal davon ausgehen, dass der Fermatpunkt sich innerhalb des Dreiecks befindet..
Allerdings wenn ich nun u(x,y) ableiten will erhalte ich ja:
u'(x)=1 + 1 + 5
u'(y)=1 + 5 + 1
und da scheint wohl irgendwie ein Fehler zu sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jan!
> Achso ja.. also mal angenommen ich nehme diese Punkt
> A(1/1), B(1/5) und C(5/1) und möchte die Funktion
> minimieren. Dann leite ich die Funktion ab und setze sie
> gleich 0.
>
> u(x)=x-1 + x-1 + 5-x
> u(y)=y-1 + 5-y + y-1
Das verstehe ich nicht. Wie Marcel ja mittlerweile auch hier schrieb, lautet die zu minimierende Funktion für diese drei Punkte
$u(x,y)$
[mm] $=d_A(x,y)+d_B(x,y)+d_C(x,y)$
[/mm]
[mm] $=\wurzel( (x-1)^2+(y-1)^2 [/mm] ) + [mm] \wurzel( (x-1)^2+(y-5)^2 [/mm] ) + [mm] \wurzel( (x-5)^2+(y-1)^2 [/mm] )$
Mein Vorschlag ist/war nun, den die y-Koordinate zunächst als fest vorgegeben zu betrachten. Der Vorteil ist, dass die Variable $y$ in der obigen Formel zu einer Konstante wird und die Funktion nur noch von x abhängt:
[mm] $u(x)=\wurzel( (x-1)^2+(y-1)^2 [/mm] ) + [mm] \wurzel( (x-1)^2+(y-5)^2 [/mm] ) + [mm] \wurzel( (x-5)^2+(y-1)^2 [/mm] )$
Diese Funktion würde ich nun mal minimieren.
Das gleiche dann mit x fest für y minimieren.
> Da ich mal davon ausgehen, dass der Fermatpunkt sich
> innerhalb des Dreiecks befindet..
Davon ist auszugehen, obwohl einem diese Vermutung nicht viel weiterhilft.
> Allerdings wenn ich nun u(x,y) ableiten will erhalte ich
> ja:
>
> u'(x)=1 + 1 + 5
> u'(y)=1 + 5 + 1
>
> und da scheint wohl irgendwie ein Fehler zu sein
Das sehe ich auch so. Der Grund ist, dass deine Funktion u nicht die Summe der Abstände wieder gibt.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jan,
sollte ich dich richtig verstehen, so berechnet hier:
> u(x,y)=dA(x,y)+dB(x,y)+dC(x,y)
doch (z.B.) die 'Abstandsfunktion' [mm] $d_A(x,y)$ [/mm] (ich habe sie nur etwas schöner geschrieben ) den (im [mm] $\IR^2$ [/mm] üblichen) Abstand eines Punktes $X(x,y)$ zu dem (festen) Punkt [mm] A(a_1,a_2).
[/mm]
D.h. $x,y$ sind die Komponenten von $X$. Jetzt mal davon abgesehen, dass du eine Funktion $u: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR$ [/mm] minimieren willst und ihr vermutlich noch gar nicht wißt, welche Kriterien dafür in Frage kommen (oder sagt dir z.B. der Begriff Gradient etwas?), so sollte doch die Funktion [mm] d_A(x,y) [/mm] frei nach Pythagoras  folgende Gestalt haben:
[mm] $d_A(x,y) [/mm] = [mm] \sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}$.
[/mm]
Analog sehen die Funktionen [mm] $d_B(x,y)$ [/mm] und [mm] $d_C(x,y)$ [/mm] aus.
Damit solltest du dann folgendes Ergebnis für $u(x,y)$ erhalten:
[mm]u(x,y)=d_A(x,y)+d_B(x,y)+d_C(x,y)
=\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}+\sqrt{(x-b_1)^2+(y-b_2)^2}+\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}[/mm].
Hierbei ist [mm] $A(a_1,a_2)$, $B(b_1,b_2)$ [/mm] und [mm] $C(c_1,c_2)$.
[/mm]
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 05.05.2004 | | Autor: | moonylo |
Ah stimmt,
vielen vielen dank :)
Nun muss ich diese Funktionen nur jeweils nochmal ableiten.. hmm wie leite ich diese ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jan,
und jetzt sind wir bei reellwertigen Funktionen mehrerer Variablen angelangt
Also:
[mm]u(x,y)=\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}+\sqrt{(x-b_1)^2+(y-b_2)^2}+\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}[/mm] willst du ableiten. Dazu braucht man partielle Ableitungen:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/pdfANAI.pdf
-> Kapitel 19 und Beispiel 19.3 kannst du dir ja mal angucken.
(Ich verweise im Folgenden immer auf Sachverhalte aus diesem Skript.)
Hier haben wir ja (wie in dem Beispiel 19.3) eine reellwertige Funktion gegeben. Schaust du nun in Definiton 19.8, so solltest du folgendes feststellen:
Man leitet (hier) die Funktion zuerst nach der ersten Komponente ab (also nach $x$) und erhält (mit der Kettenregel):
[mm] \partial_1 u(x,y)
=\bruch{2*(x-a_1)}{2*\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}}+\bruch{2*(x-b_1)}{2*\sqrt{(x-b_1)^2+(y-b_2)^2}}+\bruch{2*(x-c_1)}{2*\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}} [/mm]
(Stell dir dazu einfach vor, dass das $y$ eine Konstante wäre und leite dann $u(x,y)$ nach $x$ ab.)
Nun leitet man nach der zweiten Komponente ab (wieder Kettenregel):
[mm] \partial_2 u(x,y)
=\bruch{2*(y-a_2)}{2*\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}}+\bruch{2*(y-b_2)}{2*\sqrt{(x-b_1)^2+(y-b_2)^2}}+\bruch{2*(y-c_2)}{2*\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}} [/mm]
(Hierbei stell dir dazu einfach vor, dass das $x$ eine Konstante wäre und leite dann $u(x,y)$ nach $y$ ab.)
Nach der Definition 19.8 (für andere interessierte:
im obigen Skript wurde der Gradient als Zeilenvektor definiert im Gegensatz zu vielen anderen ) gilt also:
$grad$ $u(x,y)$
[mm] $=(\partial_1 u(x,y),\partial_2 [/mm] u(x,y)) $
Nach Satz 20.17 ist (hier) notwendig für das vorliegen eines Extremums von $u$ an der Stelle [mm] $E(e_1,e_2)$:
[/mm]
$grad$ [mm] $u(e_1,e_2)=(0,0)$, [/mm] mit anderern Worten:
[mm] $\partial_1 u(e_1,e_2)=0$ [/mm] und
[mm] $\partial_2 u(e_1,e_2)=0$.
[/mm]
Diese Werte [mm] $e_1, e_2$ [/mm] nun konkret zu berechnen ist mir nun aber ehrlich zu viel Arbeit. Wenn du willst, kannst du es ja mal versuchen...
Mit Satz 20.21 könntest du dann prüfen, ob $u$ an [mm] $E(e_1,e_2)$ [/mm] tatsächlich ein (lokales) Extremum hat (und evtl. von welcher Art, also ob Maximum oder Minimum).
So, aber das geht nun doch ein ganz klein wenig über den Bereich der Schulmathematik hinaus, oder? (und ich müßte (eigentlich) manches sogar noch konkreter kommentieren...)
Viele Grüße
Marcel
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 05.05.2004 | | Autor: | informix |
Hallo Jan und Marcel,
> Hallo Jan,
> sollte ich dich richtig verstehen, so berechnet hier:
> > u(x,y)=dA(x,y)+dB(x,y)+dC(x,y)
>
> doch (z.B.) die 'Abstandsfunktion' [mm] $d_A(x,y)$ [/mm] (ich habe sie
> nur etwas schöner geschrieben ) den (im [mm] $\IR^2$ [/mm]
> üblichen) Abstand eines Punktes $X(x,y)$ zu dem (festen)
> Punkt [mm] A(a_1,a_2).
[/mm]
> D.h. $x,y$ sind die Komponenten von $X$. Jetzt mal davon
> abgesehen, dass du eine Funktion $u: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR$ [/mm]
> minimieren willst und ihr vermutlich noch gar nicht wißt,
> welche Kriterien dafür in Frage kommen (oder sagt dir z.B.
> der Begriff Gradient etwas?), so sollte doch die Funktion
> [mm]d_A(x,y)[/mm] frei nach Pythagoras folgende Gestalt haben:
> [mm] $d_A(x,y) [/mm] = [mm] \sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}$.
[/mm]
> Analog sehen die Funktionen [mm] $d_B(x,y)$ [/mm] und [mm] $d_C(x,y)$ [/mm] aus.
>
> Damit solltest du dann folgendes Ergebnis für $u(x,y)$
> erhalten:
> [mm]u(x,y)=d_A(x,y)+d_B(x,y)+d_C(x,y) =\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}+\sqrt{(x-b_1)^2+(y-b_2)^2}+\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}[/mm].
>
>
> Hierbei ist [mm] $A(a_1,a_2)$, $B(b_1,b_2)$ [/mm] und [mm] $C(c_1,c_2)$.
[/mm]
>
> Viele Grüße
> Marcel
>
Was haltet Ihr davon, diese Funktion in zwei Funktionen zu splitten?
Der Abstand wird doch sicherlich am kleinsten,
wenn jeweils die x-Anteile und die y-Anteile minimal werden:
[mm] d_1(x)=(x-a_1)^2+(x-b_1)^2+(x-c_1)^2 [/mm]
und
[mm] d_2(y)=(y-a_2)^2+(y-b_2)^2+(y-c_2)^2 [/mm]
Damit haben wir zwei Funktionen, die nur von einer Variablen abhängen.
Jetzt mal fröhlich differenziert und dann sollte eine Lösung schon heraus kommen, probiert's mal!
Postet Eure Lösungen, damit wir weitersehen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo informix
> Hallo Jan und Marcel,
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Obwohl ich nicht angesprochen bin, eine kleine Wette gefällig?
>
> > erhalten:
> > [mm]u(x,y)=d_A(x,y)+d_B(x,y)+d_C(x,y) =\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}+\sqrt{(x-b_1)^2+(y-b_2)^2}+\sqrt{(x-c_1)^2+(y-c_2)^2}[/mm].
>
> Was haltet Ihr davon, diese Funktion in zwei Funktionen zu
> splitten?
> Der Abstand wird doch sicherlich am kleinsten,
> wenn jeweils die x-Anteile und die y-Anteile minimal
> werden:
>
> [mm]d_1(x)=(x-a_1)^2+(x-b_1)^2+(x-c_1)^2[/mm]
> und
> [mm]d_2(y)=(y-a_2)^2+(y-b_2)^2+(y-c_2)^2[/mm]
>
> Damit haben wir zwei Funktionen, die nur von einer
> Variablen abhängen.
>
> Jetzt mal fröhlich differenziert und dann sollte eine
> Lösung schon heraus kommen, probiert's mal!
> Postet Eure Lösungen, damit wir weitersehen können.
>
>
Ich wette, dass du nicht recht hast.
Auf dien Art kommt man auf [mm]x = \bruch{a_1 + b_1 + c_1}{3}[/mm] und [mm]y = \bruch{a_2 + b_2 + c_2}{3}[/mm]
Und das ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
Sollte die Lösung nach Jan, Marcel und Marc etwas anderes ergeben, dann habe ich die Wette gewonnen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Jan,
> Wenn man diese Funktion minimiert, soll man angeblich auf Folgendes
> Ergebnis kommen:
> "Mit den bekannten Kriterien der Differentialrechnung erhält Gruson als
> Ergebnis:
> "Der gesuchte Punct muß also so liegen, daß die aus demselben an die
> drei gegebenen Puncte gezogenen geraden Linien gleiche Winkel mit
> einander machen, und es darf, wenn die Aufgabe möglich seyn soll,
> keiner der drei Winkel des Triangels, an dessen Spitzen die drei
> gegebenen Puncte liegen, größer als 120° seyn."
wie Du den Antworten entnehmen kannst, lässt sich das Problem zwar tatsächlich mit Hilfe der Differentialrechnung lösen, allerdings eben nicht mit dem Schulstoff. Und da Du das Ganze ja in einem Referat vortragen willst und Dir Sorgen machst, elementargeometrische Beweise würden zu lange dauern: glaube mir, Deinen Mitschülern das partielle Differenzieren beizubringen dauert noch länger :))
Außerdem sind die geometrischen Beweise teilweise ohnehin "schöner" ...
Mach's gut
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mi 05.05.2004 | | Autor: | moonylo |
Hi, erstmal vielen dank an alle :)
ich habe nun die u(x,y) und auch u(x) / u(y) abgeleitet und versucht diese gleich 0 zu setzen und x, bzw y herauszukriegen mit definierten Werten von A(a1/a2) usw.
Allerdings steht nun schon seid 2 Stunden beim Taschenrechner "Busy" und naja solange sollte das eigentlich nicht dauern ;)
Ich würde es nun gern über eine geometrischen Lösung probieren. Allerdings komme ich nicht darauf wie es mit der Hofmann'schen Lösung funktioniert.
Siehe URL: http://did.mat.uni-bayreuth.de/geonet/beispiele/minimum/
einfach nach "Phase" suchen und direkt darunter ist das Java-Applett Bild.
Ich verstehe nicht, wieso dieses Streckenlänge gleich mit dem Dreibein ist (Mit dem Dreibein ist wohl die Strecke X bis A + X bis B + X bis C gemeint.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mi 05.05.2004 | | Autor: | moonylo |
Oh, wie dumm, hätte ich gemerkt, dass man mit dem Java-Applett herumspielen kann wär ich auch früher drauf gekommen ;)
Ist ganz einfach, die Länge P'P ist die gleiche wie AP, da dies ein gleichseitiges Dreieck ist, egal wie man P legt. Das Dreieck AP'C' ist kongruent zu APC, da es ja einfach nur um 60° gedreht wurde, daraus ergibt sich die Länge C'P' = CP. Die Länge PB kommt dann einfach dazu, PB bleibt PB, daher ist hier kein Nachweiß erforderlich.
Und da C' und B immer auf der gleichen Stelle sind, egal wie man P legt, ergibt sich darauf, dass die kürzeste Entfernung von 2 Punkten eine Gerade ist. Daraus ergibt sich, das P auf der Verbindungsgerade von C' und P liegen muss. Das geht natürlich auch mit allen anderen Ecken und der Punkte liegt daher im Schnittpunkt der Geraden C'B, A'C und B'A.
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