Fibonacchi < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Sa 29.10.2011 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | Es sei [mm] $(f_n)$ [/mm] die Folge der Fibonacchi-Zahlen. Definiere die Potenzreihe
[mm] $f(z):=\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}z^n$
[/mm]
a) Berechne den Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] von $f(z)$ und zeigen sie für [mm] $|z|<\rho$, [/mm] dass
[mm] $(1-z-z^2)f(z) [/mm] = 1$
b)Leiten Sie die explizite Formel für die Fibonacchi-Zahlen her, in dem Sie die Partialbruch von [mm] $\bruch{1}{1-z-z^2}$ [/mm] bestimmen. |
Hallo zusammen
Kann mir jemand helfen bei dieser Aufgabe?
Also den Konvergenzradius konnte ich bestimmen mit dem Quotientenkriterium, also [mm] $\rho=\bruch{\wurzel{5}-1}{2}$. [/mm] Nun sollte ich also zeigen, dass
[mm] $(1-z-z^2)f(z) [/mm] = 1$ für [mm] $z<\rho$
[/mm]
Ich habe nun versucht, die Funktion $f(z)$ einzusetzen ...
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(f_n-f_nz-f_nz^2)z^n
[/mm]
Nun habe ich bereits auf verschiedenste Varianten versucht, [mm] $f_n=f_{n-1}+f_{n_2}$ [/mm] einzusetzen, damit anschliessend die einzelnen Terme in der Summe wegfallen, aber ich weiss irgendwie nicht, in welche Richtung ich suchen muss :)
Hat mir jemand einen Tipp?
Viele Grüsse und danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm](f_n)[/mm] die Folge der Fibonacchi-Zahlen. Definiere die
> Potenzreihe
> [mm]f(z):=\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}z^n[/mm]
> a) Berechne den Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] von [mm]f(z)[/mm] und zeigen
> sie für [mm]|z|<\rho[/mm], dass
> [mm](1-z-z^2)f(z) = 1[/mm]
> b)Leiten Sie die explizite Formel für
> die Fibonacchi-Zahlen her, in dem Sie die Partialbruch von
> [mm]\bruch{1}{1-z-z^2}[/mm] bestimmen.
> Hallo zusammen
>
> Kann mir jemand helfen bei dieser Aufgabe?
>
> Also den Konvergenzradius konnte ich bestimmen mit dem
> Quotientenkriterium, also [mm]\rho=\bruch{\wurzel{5}-1}{2}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun
> sollte ich also zeigen, dass
> [mm](1-z-z^2)f(z) = 1[/mm] für [mm]z<\rho[/mm]
>
> Ich habe nun versucht, die Funktion [mm]f(z)[/mm] einzusetzen ...
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(f_n-f_nz-f_nz^2)z^n[/mm]
>
> Nun habe ich bereits auf verschiedenste Varianten versucht,
> [mm]f_n=f_{n-1}+f_{n_2}[/mm] einzusetzen, damit anschliessend die
> einzelnen Terme in der Summe wegfallen, aber ich weiss
> irgendwie nicht, in welche Richtung ich suchen muss :)
Das ist schon der richtige Ansatz. Teile [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(f_n-f_nz-f_nz^2)z^n[/mm] mal ni drei Reihen auf, mache eine Indexverschiebung, und fuege das ganze wieder zu einer Reihe zusammen (wobei du bei zwei der Summen jeweils ein bzw. zwei Glieder rausnehmen musst).
Dann solltest du sehen, dass von der uebrigbleibenden Reihe alle Summanden 0 sind (wegen [mm]f_n=f_{n-1}+f_{n_2}[/mm]).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 29.10.2011 | | Autor: | fernweh |
Hallo Felix
Vielen Dank, das hat mir geholfen, aber ein kleines Problem gibt es noch:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(f_n-f_nz-f_nz^2)z^n [/mm] = ... = [mm] \summe_{n=3}^{\infty}(f_{n}z^n-f_{n-1}z^n-f_{n-2}z^n)+f_{1}z+f_{2}z^2-f_{1}z^2=z$
[/mm]
Aber gem. Aufgabenstellung sollte das ja 1 und nicht z geben?
Und nachher mach ich mich dann mal noch an b 
Ach ja noch eine kleine allgemeine Frage - wie muss eigentlich das Sigma "geklammert" werden (oben z.B. werden in dieser Schreibweise [mm] $f_{1}z$, [/mm] etc. noch mehrfach addiert?
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Vielen Dank, das hat mir geholfen, aber ein kleines Problem
> gibt es noch:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(f_n-f_nz-f_nz^2)z^n = ... = \summe_{n=3}^{\infty}(f_{n}z^n-f_{n-1}z^n-f_{n-2}z^n)+f_{1}z+f_{2}z^2-f_{1}z^2=z[/mm]
>
> Aber gem. Aufgabenstellung sollte das ja 1 und nicht z
> geben?
das kommt daher, dass die Summe in der Definition von $f(z) = [mm] \sum_{n=1}^\infty f_n z^n$ [/mm] nicht bei $n = 0$, sondern bei $n = 1$ anfaengt. Faengt die Reihe in der Aufgabenstellung wirklich bei $n = 1$ an? In dem Fall ist die Aufgabenstellung fehlerhaft. Falls du dich einfach nur verlesen hast, musst du die Rechnung etwas anpassen und bekommst dann wirklich 1 heraus :)
> Und nachher mach ich mich dann mal noch an b
>
> Ach ja noch eine kleine allgemeine Frage - wie muss
> eigentlich das Sigma "geklammert" werden (oben z.B. werden
> in dieser Schreibweise [mm]f_{1}z[/mm], etc. noch mehrfach addiert?
Normalerweise behandelt man [mm] $\sum$ [/mm] aehnlich wie die Operation $+$: $1 + [mm] \sum [/mm] 2 + 3$ wird also etwa [mm] $\left( 1 + \left( \sum 2 \right) \right) [/mm] + 3$ geklammert, und $1 + [mm] \sum [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 + 4 [mm] \cdot [/mm] 5$ wird als $1 + [mm] \left( \left( \sum \left( 2 \cdot 3 \right) \right) + \left( 4 \cdot 5 \right) \right)$ [/mm] geklammert. Weiterhin ist $1 + 2 [mm] \cdot \sum [/mm] 3 + 4 = 1 + [mm] \left( \left( 2 \cdot \left( \sum 3 \right) \right) + 4 \right)$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Sa 29.10.2011 | | Autor: | fernweh |
Hallo Felix
Danke für deine Erklärungen!
Ich habe es nochmals überprüft, also die Aufgabe steht wirklich so wie ich sie gestellt habe. Ist dann also z korrekt so als Lösung?
Habe nun rein aus Interesse was geschieht auch noch mit $n=0$ begonnen. Da ändert sich logischerweise fast nichts.
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(f_n-f_nz-f_nz^2)z^n [/mm] = ... = [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(f_{n}z^n-f_{n-1}z^n-f_{n-2}z^n)+f_{0}z^0+f_{1}z^1-f_{0}z^1 [/mm] $
Der Summenterm hebt sich auch hier auf. Da [mm] $f_{0}z^0=f_{0}z^1=1$ [/mm] und [mm] $f_{1}z^1=z$, [/mm] komme ich aber auch hier auf $z$?
Viele Grüsse
Lukas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lukas
> Danke für deine Erklärungen!
>
> Ich habe es nochmals überprüft, also die Aufgabe steht
> wirklich so wie ich sie gestellt habe. Ist dann also z
> korrekt so als Lösung?
Ja.
Wobei das noch etwas fragwuerdig ist. Du hast ja als Ergebnis [mm] $f_1 [/mm] z + [mm] f_2 z^2 [/mm] - [mm] f_1 z^2$ [/mm] heraus. Falls [mm] $f_0 [/mm] = [mm] f_1 [/mm] = 1$ und [mm] $f_2 [/mm] = 2$ ist, kommt da eben nicht $z$ heraus, sondern $z + [mm] z^2$.
[/mm]
Falls jedoch [mm] $f_1 [/mm] = [mm] f_2 [/mm] = 1$ und dann [mm] $f_3 [/mm] = 2$ ist (verschobene Fibonacci-Folge), dann kommt schon $z$ raus.
Aber 1 kommt eben niemals raus, da $(1 - z - [mm] z^2) [/mm] f(z)$ bei der Definition von $f$ aus der Aufgabenstellung keinen konstanten Term hat.
> Habe nun rein aus Interesse was geschieht auch noch mit [mm]n=0[/mm]
> begonnen. Da ändert sich logischerweise fast nichts.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(f_n-f_nz-f_nz^2)z^n = ... = \summe_{n=2}^{\infty}(f_{n}z^n-f_{n-1}z^n-f_{n-2}z^n)+f_{0}z^0+f_{1}z^1-f_{0}z^1[/mm]
>
> Der Summenterm hebt sich auch hier auf. Da
> [mm]f_{0}z^0=f_{0}z^1=1[/mm]
Moment! [mm] $f_0 z^1$ [/mm] ist nicht 1, sondern $1 [mm] \cdot [/mm] z = z$.
> und [mm]f_{1}z^1=z[/mm], komme ich aber auch
> hier auf [mm]z[/mm]?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Sa 29.10.2011 | | Autor: | fernweh |
> Wobei das noch etwas fragwuerdig ist. Du hast ja als
> Ergebnis [mm]f_1 z + f_2 z^2 - f_1 z^2[/mm] heraus. Falls [mm]f_0 = f_1 = 1[/mm]
> und [mm]f_2 = 2[/mm] ist, kommt da eben nicht [mm]z[/mm] heraus, sondern [mm]z + z^2[/mm].
>
> Falls jedoch [mm]f_1 = f_2 = 1[/mm] und dann [mm]f_3 = 2[/mm] ist
> (verschobene Fibonacci-Folge), dann kommt schon [mm]z[/mm] raus.
>
> Aber 1 kommt eben niemals raus, da [mm](1 - z - z^2) f(z)[/mm] bei
> der Definition von [mm]f[/mm] aus der Aufgabenstellung keinen
> konstanten Term hat.
Ich bin davon ausgegangen, dass [mm] $f_0=0$, $f_1=f_2=1$ [/mm] ist. Aber mittlerweile habe ich gesehen, dass wir ursprünglich definiert haben, dass die Folge der Fibonacchi-Zahlen gegeben sei durch
[mm] $a_0=a_1=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ [/mm]
Also nehme ich einfach wieder an diese Definition gelte und dann ist halt die Lösung [mm] $z+z^2$ [/mm] 
> Moment! [mm]f_0 z^1[/mm] ist nicht 1, sondern [mm]1 \cdot z = z[/mm].
Stimmt, ich wollte eigentlich $ [mm] f_{0}z^0=f_{0}z^1=0 [/mm] $ schreiben, weil ich ja zuerst [mm] $f_{0}=0$ [/mm] annahm.
Wie soll ich nun am besten für die zweite Teilaufgabe fortfahren, dass ich es mir nicht komplizierter mache als es ist (andererseits auch nicht unbedingt viel einfacher, das will ich auch nicht) :D Müsste die dann lauten:
b)Leiten Sie die explizite Formel für die Fibonacchi-Zahlen her, in dem Sie die Partialbruch von $ [mm] \bruch{z}{1-z-z^2} [/mm] $ bestimmen.
Wenn ich die naheliegenste Variante nehme und denke, dass in der Aufgabenstellung $f(z)$ falsch definiert wurde ...
Und dann wäre ja
[mm] $(1-z-z^2)f(z)=z$
[/mm]
also [mm] $f(z)=\bruch{z}{(1-z-z^2)}$, [/mm] wobei [mm] $f(z):=\summe_{n=0}^{\infty}f_{n}z^n$
[/mm]
Ich weiss aus einer vorherigen Übung, dass die explizite Formel, die resultieren sollte, so lauten muss:
[mm] $a_n=\bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}$
[/mm]
Viele Grüsse
Lukas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Wobei das noch etwas fragwuerdig ist. Du hast ja als
> > Ergebnis [mm]f_1 z + f_2 z^2 - f_1 z^2[/mm] heraus. Falls [mm]f_0 = f_1 = 1[/mm]
> > und [mm]f_2 = 2[/mm] ist, kommt da eben nicht [mm]z[/mm] heraus, sondern [mm]z + z^2[/mm].
>
> >
> > Falls jedoch [mm]f_1 = f_2 = 1[/mm] und dann [mm]f_3 = 2[/mm] ist
> > (verschobene Fibonacci-Folge), dann kommt schon [mm]z[/mm] raus.
> >
> > Aber 1 kommt eben niemals raus, da [mm](1 - z - z^2) f(z)[/mm] bei
> > der Definition von [mm]f[/mm] aus der Aufgabenstellung keinen
> > konstanten Term hat.
>
>
> Ich bin davon ausgegangen, dass [mm]f_0=0[/mm], [mm]f_1=f_2=1[/mm] ist. Aber
> mittlerweile habe ich gesehen, dass wir ursprünglich
> definiert haben, dass die Folge der Fibonacchi-Zahlen
> gegeben sei durch
> [mm]a_0=a_1=1[/mm], [mm]a_{n+2}=a_{n+1}+a_n[/mm]
> Also nehme ich einfach wieder an diese Definition gelte und
> dann ist halt die Lösung [mm]z+z^2[/mm]
Ok :)
Ich vermute, dass in der Aufgabenstellung in dem Fall die Reihe bei $n = 0$ anfangen sollte. Dann wuerde zumindest die Aussage in a) korrekt sein.
> > Moment! [mm]f_0 z^1[/mm] ist nicht 1, sondern [mm]1 \cdot z = z[/mm].
>
> Stimmt, ich wollte eigentlich [mm]f_{0}z^0=f_{0}z^1=0[/mm]
> schreiben, weil ich ja zuerst [mm]f_{0}=0[/mm] annahm.
>
> Wie soll ich nun am besten für die zweite Teilaufgabe
> fortfahren, dass ich es mir nicht komplizierter mache als
> es ist (andererseits auch nicht unbedingt viel einfacher,
> das will ich auch nicht) :D Müsste die dann lauten:
> b)Leiten Sie die explizite Formel für die
> Fibonacchi-Zahlen her, in dem Sie die Partialbruch von
> [mm]\bruch{z}{1-z-z^2}[/mm] bestimmen.
Also falls [mm] $f_0 [/mm] = [mm] f_1 [/mm] = 1$ ist, dann musst du den Partialbruch von [mm] $\frac{z^2 + z}{1 - z - z^2}$ [/mm] bestimmen. Zumindest wenn die definierende Reihe von $f$ bei $n = 1$ anfaengt.
Ich wuerd in der Aufgabenstellung eher bei $f$ den Startindex von $n$ auf 0 setzen, dann musst du am wenigsten aendern und es macht am meisten Sinn
> Wenn ich die naheliegenste Variante nehme und denke, dass
> in der Aufgabenstellung [mm]f(z)[/mm] falsch definiert wurde ...
Genau.
> Und dann wäre ja
> [mm](1-z-z^2)f(z)=z[/mm]
Moment. Wenn $f(z) = [mm] \sum_{n=0}^\inty f_n z^n$ [/mm] ist und [mm] $f_0 [/mm] = [mm] f_1 [/mm] = 1$ ist, dann gilt $(1 - z - [mm] z^2) [/mm] f(z) = 1$.
Wenn $f(z) = [mm] \sum_{n=1}^\inty f_n z^n$ [/mm] ist und [mm] $f_0 [/mm] = 0$, [mm] $f_1 [/mm] = [mm] f_2 [/mm] = 1$ ist, dann gilt $(1 - z - [mm] z^2) [/mm] f(z) = z$.
Was von beiden willst du jetzt annehmen?
> also [mm]f(z)=\bruch{z}{(1-z-z^2)}[/mm], wobei
> [mm]f(z):=\summe_{n=0}^{\infty}f_{n}z^n[/mm]
>
> Ich weiss aus einer vorherigen Übung, dass die explizite
> Formel, die resultieren sollte, so lauten muss:
>
> [mm]a_n=\bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^(n+1)-(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n+1}[/mm]
Dann ist [mm] $f_0 [/mm] = 1$, [mm] $f_1 [/mm] = 1$, [mm] $f_2 [/mm] = 2$, ...
Wenn $f(x) = [mm] \sum_{n=0}^\infty f_n z^n$ [/mm] ist, machst du eine Partialbruchzerlegung von [mm] $\frac{1}{1 - z - z^2}$ [/mm] und erhaelst damit diese Formel.
Wenn $f(x) = [mm] \sum_{n=1}^\infty f_n z^n$ [/mm] ist, dann machst du eine Partialbruchzerlegung von [mm] $\frac{z^2 + z}{1 - z - z^2}$ [/mm] und erhaelst damit diese Formel.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 So 30.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lukas!
> Also, ich habe mich jetzt dafür entschieden:
>
> > Wenn [mm]f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n z^n[/mm] ist, machst du eine
> > Partialbruchzerlegung von [mm]\frac{1}{1 - z - z^2}[/mm] und
> > erhaelst damit diese Formel.
Gut, das halte ich naemlich fuer die "beste" Wahl
> Partialbruchzerlegung ging problemlos:
> [mm]\frac{1}{1 - z - z^2} = \bruch{-\bruch{1}{\wurzel{5}}}{z+\bruch{1-\wurzel{5}}{2}}+\bruch{\bruch{1}{\wurzel{5}}}{z+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}}=\summe_{n=0}^{\infty}f_{n}z^n[/mm]
>
> Und jetzt? Muss ich das nun irgendwie auf eine Form
> bringen, dass das links sozusagen zwei
> Grenzwertberechnungen geometrischer Reihen sind?
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}(\bruch{1}{z+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}}-\bruch{1}{z+\bruch{1-\wurzel{5}}{2}})=\summe_{n=0}^{\infty}f_{n}z^n[/mm]
Genau.
Ueberlege dir, wie du [mm] $\frac{1}{x + \alpha}$ [/mm] schreiben kannst in der Form [mm] $\beta \cdot \frac{1}{1 - \gamma x}$ [/mm] mit passenden [mm] $\beta, \gamma$. [/mm] Dann ist [mm] $\frac{1}{x + \alpha} [/mm] = [mm] \beta \sum_{n=0}^\infty \alpha^n x^n$.
[/mm]
> Bei diesem Punkt komme ich nicht mehr so recht weiter. Was
> ich mir überlegt habe: Wenn ich z=1 einsetzen würde,
> macht das für mich zwar auf der linken Seite keinen
> direkten Sinn,
doch, auf der linken Seite gibt es einen Wert.
> aber auf der rechten Seite berechne ich dann
> ja, gegen was die Summe der einzelnen [mm]f_n[/mm] konvergieren
> (bzw. divergieren ).
Ja, es kommt unendlich raus, da 1 vom Absolutbetrag her groesser als der Konvergenzradius ist.
> Heisst das jetzt irgendwie, dass das links die Grenzwerte
> zweier geometrischer Reihen ist, in die die Reihe auf der
> rechten Seite sozusagen aufgeteilt ist?
Links hast du nur dann die Summe zweier Grenzwerte geometrischer Reihen, wenn $z$ im Konvergenzbereich beider Reihen liegt.
Nimm mal an, $z$ ist vom Betrag her klein genug. Dann kannst du mit dem, was ich oben schrieb, die Brueche als geometrische Reihen umschreiben. Daraus erhaelst du dann insgesamt eine Potenzreihe, die du dann mit [mm] $\sum f_n z^n$ [/mm] vergleichen kannst, und bekommst somit eine Formel fuer [mm] $f_n$ [/mm] (Koeffizientenvergleich).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 30.10.2011 | | Autor: | fernweh |
Hallo Felix
Also wenn ich
$ [mm] \frac{1}{x + \alpha} [/mm] $ als $ [mm] \beta \cdot \frac{1}{1 - \gamma x} [/mm] $ schreiben will, dann ist ja [mm] $\gamma [/mm] = [mm] -\beta$ [/mm] und [mm] $\beta [/mm] = [mm] \bruch{1}{\alpha}$
[/mm]
D.h. $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}(\bruch{1}{z+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}}-\bruch{1}{z+\bruch{1-\wurzel{5}}{2}})= \bruch{1}{\wurzel{5}}(\bruch{\bruch{2}{1+\wurzel{5}}}{1+z\bruch{2}{1+\wurzel{5}}}-\bruch{\bruch{2}{1-\wurzel{5}}}{1+z\bruch{2}{1-\wurzel{5}}})=\summe_{n=0}^{\infty}f_{n}z^n$
[/mm]
Nun kann ich ja das in die geometrische Reihe bringen, also
[mm] $\bruch{1}{1+z(\bruch{2}{1+\wurzel{5}})}=\summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{2}{1+\wurzel{5}})^{n}z^{n}$
[/mm]
Dies setze ich für beide Seiten ein, dann ist $z=1$ und die einzelnen Summenglieder sollten sich damit auch entsprechen, gibt dann schlussendlich:
[mm] f_n=\bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{2}{1+\wurzel{5}})^{n+1}-(\bruch{2}{1-\wurzel{5}})^{n+1})(-1)^n$
[/mm]
Problem: Mit Mathematica bekomme ich die Glieder
{1., 1., 2., 3., 5., 8., 13., 21., 34., 55., 89., 144., 233., 377., 610., 987., 1597., 2584., 4181., 6765., 10946., 17711., 28657., 46368., 75025., 121393., 196418., 317811., 514229., 832040., [mm] 1.34627x10^6}
[/mm]
Mag den Fibonacchi-Zahlen entsprechen, aber entspricht nicht der gesuchten Formel :-D
Hast du eine Idee, wo der Fehler zu suchen ist?
Viele Grüsse
Lukas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 So 30.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lukas!
> Also wenn ich
> [mm]\frac{1}{x + \alpha}[/mm] als [mm]\beta \cdot \frac{1}{1 - \gamma x}[/mm]
> schreiben will, dann ist ja [mm]\gamma = -\beta[/mm] und [mm]\beta = \bruch{1}{\alpha}[/mm]
>
> D.h.
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}(\bruch{1}{z+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}}-\bruch{1}{z+\bruch{1-\wurzel{5}}{2}})= \bruch{1}{\wurzel{5}}(\bruch{\bruch{2}{1+\wurzel{5}}}{1+z\bruch{2}{1+\wurzel{5}}}-\bruch{\bruch{2}{1-\wurzel{5}}}{1+z\bruch{2}{1-\wurzel{5}}})=\summe_{n=0}^{\infty}f_{n}z^n[/mm]
>
> Nun kann ich ja das in die geometrische Reihe bringen,
> also
>
> [mm]\bruch{1}{1+z(\bruch{2}{1+\wurzel{5}})}=\summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{2}{1+\wurzel{5}})^{n}z^{n}[/mm]
>
> Dies setze ich für beide Seiten ein, dann ist [mm]z=1[/mm] und die
> einzelnen Summenglieder sollten sich damit auch
> entsprechen, gibt dann schlussendlich:
>
> [mm]f_n=\bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{2}{1+\wurzel{5}})^{n+1}-(\bruch{2}{1-\wurzel{5}})^{n+1})(-1)^n$[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das kann man ja noch weiter umformen Erstmal ist $\frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{2 (1 - \srqt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})} = \frac{2 (1 + \sqrt{5})}{1 - 5} = -\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Und genauso kannst du $\frac{2}{1 - \sqrt{5}}$ umformen. Damit solltest du herausbekommen, dass diese Formel gleich der schon bekannten entspricht.
> Problem: Mit Mathematica bekomme ich die Glieder
> {1., 1., 2., 3., 5., 8., 13., 21., 34., 55., 89., 144.,
> 233., 377., 610., 987., 1597., 2584., 4181., 6765., 10946.,
> 17711., 28657., 46368., 75025., 121393., 196418., 317811.,
> 514229., 832040., [mm]1.34627x10^6}[/mm]
> Mag den Fibonacchi-Zahlen entsprechen, aber entspricht
> nicht der gesuchten Formel :-D
>
> Hast du eine Idee, wo der Fehler zu suchen ist?
Es ist kein Fehler, nur eine andere Schreibweise
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:10 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fernweh |
Hallo Felix
Vielen Dank, ich habe es nun damit hingekriegt.
Herzlichen Dank für deine Hilfe
Gruess
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