Fibonacci-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Do 22.10.2009 | | Autor: | tAtey |
| Aufgabe | wir haben in der Vorlesung die Fibonacci-Reihe betrachtet, die durch f1=f2=1 und fn+1 = fn +fn-1 für n größer,gleich 2 definiert ist. wir suchen nun einen expliziten Ausdruck für die fn.
es wurde gefragt: lösen a und b die quadratische Gleichung x² - x - 1 = 0 und sind [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] beliebig reelle Zahlen, so genügt die Folge fn = [mm] \alpha a^{n} [/mm] + [mm] \beta b^{n} [/mm] der Differenzengleichung fn+1 - fn - fn-1 = 0
das hatte ich gelöst, nun kam die darauf aufbauende Aufgabe:
Bestimmen Sie nun [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so, dass die Folge fn ? [mm] \alpha a^{n} [/mm] + [mm] \beta b^{n} [/mm] auch den Bedingungen f1=f2=1 genügt. |
Hallo!
Blick da nicht durch. Habe für die Aufgabe, auf die das alles aufbaut herausbekommen
[mm] \alpha a^{n-1} [/mm] * (a² - a - 1) + [mm] \beta b^{n-1} [/mm] * (b² - b - 1) = 0.
löst also die quadratische Gleichung x² - x - 1 = 0.
Jedoch weiß ich nicht wie ich jetzt vorgehen muss. Kann mir da jemand helfen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Do 22.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wir haben in der Vorlesung die Fibonacci-Reihe betrachtet,
> die durch f1=f2=1 und fn+1 = fn +fn-1 für n
> größer,gleich 2 definiert ist. wir suchen nun einen
> expliziten Ausdruck für die fn.
>
> es wurde gefragt: lösen a und b die quadratische Gleichung
> x² - x - 1 = 0 und sind [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] beliebig reelle
> Zahlen, so genügt die Folge fn = [mm]\alpha a^{n}[/mm] + [mm]\beta b^{n}[/mm]
> der Differenzengleichung fn+1 - fn - fn-1 = 0
>
> das hatte ich gelöst, nun kam die darauf aufbauende
> Aufgabe:
> Bestimmen Sie nun [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] so, dass die Folge fn ?
> [mm]\alpha a^{n}[/mm] + [mm]\beta b^{n}[/mm] auch den Bedingungen f1=f2=1
> genügt.
> Hallo!
>
> Blick da nicht durch. Habe für die Aufgabe, auf die das
> alles aufbaut herausbekommen
> [mm]\alpha a^{n-1}[/mm] * (a² - a - 1) + [mm]\beta b^{n-1}[/mm] * (b² - b
> - 1) = 0.
> löst also die quadratische Gleichung x² - x - 1 = 0.
>
> Jedoch weiß ich nicht wie ich jetzt vorgehen muss. Kann
> mir da jemand helfen?
Du hast doch allgemein
[mm] f_n = \alpha a^n + \beta b^n [/mm],
und damit [mm] $f_1 [/mm] = [mm] \alpha a^1 [/mm] + [mm] \beta b^1 [/mm] $ und [mm] $f_2 [/mm] = [mm] \alpha a^2 [/mm] + [mm] \beta b^2 [/mm] $. Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$. [/mm] Löse dieses lineare Gleichungssystem!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Fr 23.10.2009 | | Autor: | tAtey |
krieg da irgendwie nichts gescheites raus..
kann doch nicht so schwer sein. ARGH!
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