Fibonacci-Folge Teilerfremd < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Sa 10.11.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe 1 | Aufgabe bezieht sich auf Definition aus einer Tutoriumsaufgabe:
Sei [mm] a_{0}:=0, a_{1}:=1, a_{n+2}:=a_{n+1}+a_{n} [/mm] für n [mm] \in \IN_{0}. [/mm] Man bezeichnet diese Folge als Fibonacci-Folge. Zu Sie: Für alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] ist
[mm] a_{n}=\bruch{(1+\wurzel{5})^{n}-(1-\wurzel{5})^{n}}{2^{n}\wurzel{5}}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Nun zur eigentlichen Aufgabe:
Sei [mm] a_{n} [/mm] zu n [mm] \in \IN_{0} [/mm] definiert wie in Tutoriumsaufgabe. Beweisen Sie:
für n [mm] \ge [/mm] 1 sind [mm] a_{n} [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] teilerfremd. (Bemerkung: man bezeichnet
a, b [mm] \in \IN [/mm] als teilerfremd, falls es keine Zahlen p, q, r [mm] \in \IN [/mm] gibt mit p [mm] \ge [/mm] 2
und a = pr, b = pq.) |
N'Abend,
sitze gerade an obiger Aufgabe (hier als Aufgabe 2 betitelt).
Ich denke, dass es mit vollständiger Induktion bewiesen werden müsste, allerdings scheitere ich schon am Induktionsanfang.
Induktionsanfang:
n [mm] \ge [/mm] 1
Damit ist [mm] a_{1}=1 [/mm] und [mm] a_{2}=1 [/mm] und somit nicht teilerfremd...
Nun bin ich am Überlegen, was genau ich falsch mache bzw. wie ich es richtig machen kann.
Kann auch nicht wirklich etwas mit teilerfremd anfangen... lese immer nur etwas von mod n (was wir meines Wissens nach nicht benutzen dürfen) bzw. Euklidische Algorithmus (mit dem ich auch nichts anfangen kann).
Habe gerade auch nochmal im Skript geschaut ... vergebens.
Kann mir da bitte jemand einen Ansatz/Hilfestellung geben?
Silfide
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Hallo silfide,
> Sei [mm]a_{0}:=0, a_{1}:=1, a_{n+2}:=a_{n+1}+a_{n}[/mm] für n [mm]\in \IN_{0}.[/mm]
> Man bezeichnet diese Folge als Fibonacci-Folge.
> Nun zur eigentlichen Aufgabe:
>
> Sei [mm]a_{n}[/mm] zu n [mm]\in \IN_{0}[/mm] definiert wie in
> Tutoriumsaufgabe. Beweisen Sie:
> für n [mm]\ge[/mm] 1 sind [mm]a_{n}[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] teilerfremd.
> (Bemerkung: man bezeichnet
> a, b [mm]\in \IN[/mm] als teilerfremd, falls es keine Zahlen p, q,
> r [mm]\in \IN[/mm] gibt mit p [mm]\ge[/mm] 2
> und a = pr, b = pq.)
> N'Abend,
>
> sitze gerade an obiger Aufgabe (hier als Aufgabe 2
> betitelt).
>
> Ich denke, dass es mit vollständiger Induktion bewiesen
> werden müsste, allerdings scheitere ich schon am
> Induktionsanfang.
>
> Induktionsanfang:
> n [mm]\ge[/mm] 1
>
> Damit ist [mm]a_{1}=1[/mm] und [mm]a_{2}=1[/mm] und somit nicht
> teilerfremd...
So wie Teilerfremdheit hier definiert ist, schon. Oder kannst Du p,q,r mit [mm] p\ge2 [/mm] angeben?
> Nun bin ich am Überlegen, was genau ich falsch mache bzw.
> wie ich es richtig machen kann.
>
> Kann auch nicht wirklich etwas mit teilerfremd anfangen...
Die Definition oben reicht hier völlig aus.
> lese immer nur etwas von mod n (was wir meines Wissens nach
> nicht benutzen dürfen) bzw. Euklidische Algorithmus (mit
> dem ich auch nichts anfangen kann).
Brauchst Du hier auch nicht, wie gesagt.
> Habe gerade auch nochmal im Skript geschaut ... vergebens.
>
> Kann mir da bitte jemand einen Ansatz/Hilfestellung geben?
Nach obiger Definition sind [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] teilerfremd. Sie haben also keinen gemeinsamen Teiler >1.
Nun ist [mm] a_3=a_2+a_1.
[/mm]
Wie müsste [mm] a_3 [/mm] beschaffen sein, damit es zu [mm] a_2 [/mm] nicht teilerfremd ist, und was würde dann rückwärts für [mm] a_1 [/mm] folgen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Sa 10.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo reverend,
Damit [mm] a_{3} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] nicht teilerfremd sind, müsste es eine Zahl p [mm] \ge [/mm] 2 geben.
Rückwärts zu [mm] a_{1} [/mm] müsste dann folgen, dass [mm] a_{3} [/mm] teilerfremd ist??
Neee, das klingt irgendwie absurd.
Okay, ich versuche es mal so.
Wenn [mm] a_{2} [/mm] und [mm] a_{3} [/mm] nicht teilerfremd wären, dann gäbe es eine Zahl p>1, so dass [mm] a_{2}=pr [/mm] und [mm] a_{3}=pq [/mm] mit r,q [mm] \in \IN.
[/mm]
Da [mm] a_{3}=a_{2}+a_{1} [/mm] ist, gälte [mm] pq=pr+a_{1} [/mm] bzw. [mm] a_{1}=p(q-r). [/mm] Und damit wäre [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] nicht teilerfremd.
Und das wäre wieder ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Klingt auch irgendwie merkwürdig...
Silfide
Editiert: Jetzt sieht es auch nicht mehr merkwürdig aus... Fehler ist mir beim formal aufschreiben aufgefallen!
Danke schön!
(Hoffe es ist richtig...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Sa 10.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso merkwürdig? wenn dich der anfang der Induktion bei 1 stört fang höher oben an, 5 und 8 sind sicher teilerfremd,
jetzt ist die Behauptung 5+8 dann auch teilerfremd.zu 8
wie sieht man das ein (ohne dass du das direkt wegen der 13 siehst, also ohne die 13 konkret auszurechnen?
entsprechend läuft dann dein Argument für [mm] a_{n+1} [/mm] teilerfremd zu [mm] a_n+a_{n-1}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Sa 10.11.2012 | | Autor: | silfide |
Danke, habe es jetzt - denke ich.
Guten Abend/Nacht
Silfide
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Hallo silfide,
noch einfacher:
> Damit [mm]a_{3}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] nicht teilerfremd sind, müsste es
> eine Zahl p [mm]\ge[/mm] 2 geben.
...die beide teilt.
> Rückwärts zu [mm]a_{1}[/mm] müsste dann folgen, dass [mm]a_{3}[/mm]
> teilerfremd ist??
Nein, es würde folgen, dass p auch [mm] a_1 [/mm] teilt!
Und das war ja laut Voraussetzung ausgeschlossen.
Fertig.
> Neee, das klingt irgendwie absurd.
>
> Okay, ich versuche es mal so.
>
> Wenn [mm]a_{2}[/mm] und [mm]a_{3}[/mm] nicht teilerfremd wären, dann gäbe
> es eine Zahl p>1, so dass [mm]a_{2}=pr[/mm] und [mm]a_{3}=pq[/mm] mit r,q [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Da [mm]a_{3}=a_{2}+a_{1}[/mm] ist, gälte [mm]pq=pr+a_{1}[/mm] bzw.
> [mm]a_{1}=p(q-r).[/mm] Und damit wäre [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] nicht
> teilerfremd.
> Und das wäre wieder ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Ja, so ist es doch gut.
> Klingt auch irgendwie merkwürdig...
>
> Silfide
>
> Editiert: Jetzt sieht es auch nicht mehr merkwürdig aus...
> Fehler ist mir beim formal aufschreiben aufgefallen!
>
> Danke schön!
> (Hoffe es ist richtig...)
Ja, das ist es.
Gute Nacht!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 So 11.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo reverend,
vielen Dank für deine Hilfe.
Auch dir: Gute Nacht.
Silfide
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