Filtration Stoch. Prozess < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Cramer |
Sei [mm] $X:\Omega\times[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm] sein Stochastischer
Prozess. Nun haben wir die Filtration [mm] $F_{t}=\sigma(X_{s}s
Im diskreten ist mir klar wie das aussieht.
Also seien [mm] $X_{1},...,X_{n}$$\mathbb{R}$ [/mm] Zufallsvariablen, so ist
[mm] $\sigma(X_{1},...,X_{n})=\sigma(\{X_{i}^{-1}(A)|A\in\mathbb{\mathcal{B}}(\mathbb{R})i=1,...,n\})$
[/mm]
.Doch wie kann ich mir das im Zeitstetigen Fall vorstellen?
Sieht das dann genau gleich aus? Und weiter kann ich im diskretem
auch schreiben: [mm] $\sigma(X_{1},...,X_{n})=\sigma(\{(X_{1},...,X_{n})^{-1}(A)|A\in\mathbb{\mathcal{B}}(\mathbb{R}^{n})\})$.
[/mm]
Wie sieht das im Zeitstetigen Fall aus?
So: [mm] $F_{t}=\sigma(X_{s}s
(wobei [mm] $\mathbb{R}^{[0,\infty)}$ [/mm] natürlich die Funktionen von [mm] $[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
[/mm]
sein sollen).?
Vielen dank im Vorraus
ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/,http://www.onlinemathe.de/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Cramer |
Sry ich meine natürlich [mm] $F_{t}=\sigma(X_{s}s
(wobei [mm] $\mathbb{R}^{[0,\infty)}$ [/mm] natürlich die Funktionen von [mm] $[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
[/mm]
sein sollen)
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Hiho,
interessante Frage und viel zum Auseinandernehmen 
> Sei [mm]X:\Omega\times[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}[/mm] sein
> Stochastischer Prozess. Nun haben wir die Filtration
> [mm]F_{t}=\sigma(X_{s}s
Schreiben wir das mal sauberer: [mm] $F_{t}=\sigma(X_{s} [/mm] | s<t)$
Und vermutlich habt ihr sogar folgendes definiert: [mm] $F_t [/mm] = [mm] \sigma(X_{s} [/mm] | [mm] s\le [/mm] t)$
> Im diskreten ist mir klar wie das aussieht.
>
> Also seien [mm]X_{1},...,X_{n}[/mm][mm]\mathbb{R}[/mm] Zufallsvariablen, so ist
>
> [mm]\sigma(X_{1},...,X_{n})=\sigma(\{X_{i}^{-1}(A)|A\in\mathbb{\mathcal{B}}(\mathbb{R})i=1,...,n\})[/mm]
Ja.
> Und weiter kann ich im diskretem auch schreiben:
> [mm]\sigma(X_{1},...,X_{n})=\sigma(\{(X_{1},...,X_{n})^{-1}(A)|A\in\mathbb{\mathcal{B}}(\mathbb{R}^{n})\})[/mm].
Unter den von dir gegebenen Bedingungen ja!
Aber nur, wenn du im Bildraum die Borel-Sigma-Algebra betrachtest, da für diese gilt: [mm] $\mathcal{B}(\IR^n) [/mm] = [mm] \bigotimes_{k=1}^n \mathcal{B}(\IR)$
[/mm]
Aber schon, wenn du statt der Borel-Sigma-Algebra die Lebesgue-Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{L}(\IR)$ [/mm] verwendest, stimmt die Gleichheit nicht mehr.
Dann stimmt nur die erste Notation.
> Wie sieht das im Zeitstetigen Fall aus?
>
> So:
> [mm]F_{t}=\sigma(X_{s}s
> (wobei [mm]\mathbb{R}^{[0,\infty)}[/mm] natürlich die Funktionen
> von [mm][0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}[/mm]
> sein sollen).?
Mit dem Hinweis von mir: Nein.
Dort gilt einfach: [mm] $F_t [/mm] = [mm] \sigma(X_s^{-1}(A) [/mm] , [mm] A\in \mathcal{B}(\IR), [/mm] s [mm] \le [/mm] t)$
Oder in Worten: [mm] F_t [/mm] ist einfach die [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] so dass alle Zufallsvariablen bis einschließlich zum Zeitpunkt t meßbar sind.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Cramer |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Stimmt, dass die alternative
darstellung nur unter bestimmten Vorraussetzungen gilt, hab ich garnicht
mehr gewusst. Trozdem bleibt eine Frage noch offen für mich:
Wären dann aber zb Mengen wie [mm] $X|_{[0,t]}^{-1}(A)$ [/mm] für ein gewissen
[mm] $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)})$ [/mm] in [mm] $F_{t}$?
[/mm]
Für mich ist die [mm] $F_{t}$ [/mm] immer die $t$ Vergangenheit, also der Prozess
bis zum Zeitpunkt $t$.
[mm] $X|_{[0,t]}^{-1}(A)$ [/mm] sind für mich alle Scenarien für welche gilt,
dass der prozess einen gewissen Verlauf hatte, hier genau $A$. i.e
[mm] $\{\omega|X|_{[0,t]}(\omega)\in A\}$. [/mm] Dies ist meiner Auffassung
nach auch eine Mögliche entwicklung von $X$ bis zu Zeitpunkt $t$
und müsste deshalb auch in [mm] $F_{t}$ [/mm] enthalten sein. Jedoch wäre nicht
gesagt, dass der überabzählbare Schnitt von Elementen einer Sigma.Algebra
ebenfalls wieder in der Sigma-Algebra ist. Somit weiss ich nicht genau
ob meine Überlegung so stimmt. Und wenn nicht, was ist dann mit diesen
ebend genannten Ereignissen.
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Hiho,
eigentlich solltest du dir die entgegengesetzte Frage stellen: Wer sagt dir, dass du zu einzelnen, von dir gewünschte Pfade f immer gilt: [mm] $\{f\}\in \mathcal{B}(R^{[0,\infty)})$.
[/mm]
Im Allgemeinen sind die einelementigen Mengen nämlich nicht Teil von [mm] $\mathcal{B}(R^{[0,\infty)})$.
[/mm]
Das geht nur unter zusätzlichen Stetigkeitsannahmen. Und wenn du weißt, dass dein [mm] X_t [/mm] stetig ist, reichen dir ja auch abzählbar viele Punkte um den Pfad festzulegen....
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Cramer |
Ok also mal sehen ob ich das richtig verstanden habe. Wenn ich die
entwicklung des Prozesses nur bzgl 2 Punkten betrachte i.e [mm] $\{X_{s_{1}}\le y_{1},X_{s_{2}}\le y_{2}\}=\{\omega|X(\omega)\in A\}$,
[/mm]
wobei [mm] $A=\{f:[0,\infty)\mapsto\mathbb{R}|f(s_{1})\le y_{1},f(s_{2})\le y_{2}\}$
[/mm]
für [mm] $s_{1}
gilt ja eig sogar direkt nach der Definition). Nehme ich nun aber
[mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)$ [/mm] für [mm] $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,t]})$
[/mm]
, dann kann doch $A$ garkeine 1 elementige Menge sein. $A$ ist für
mich einfach eine Menge von Pfaden. Ich sehe mir mit [mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)$
[/mm]
nun alle Scenarien [mm] $\omega$ [/mm] an für die gilt, dass der Pfad [mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}(\omega)$
[/mm]
in $A$ liegt.
Das ist so ja eig völlig legitim. Aber ist nun diese menge [mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}(\omega)$
[/mm]
auch in [mm] $F_{t}$? [/mm] Ich steig da irgendwie noch nicht ganz hinter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Cramer |
*Aber ist nun diese menge [mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)$ [/mm] auch
in [mm] $F_{t}$?
[/mm]
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Hiho,
> Nehme ich nun aber [mm]X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)[/mm] für
> [mm]A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,t]})[/mm]
> , dann kann doch [mm]A[/mm] garkeine 1 elementige Menge sein.
Warum sollte A das nicht sein können? Das ist so im Allgemeinen gar nicht klar? In dem Fall stimmt das zwar, aber würdest du bspw. statt [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,t]})$ [/mm] die [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,t]} \cap C^0)$ [/mm] betrachten (dich also auf die stetigen Abbildungen beschränken), könnte A sehr wohl einelementig sein.
> [mm]A[/mm] ist für mich einfach eine Menge von Pfaden.
Nicht nur für dich, aber wieso sollte ich nicht eine Menge auswählen können, die nur einen expliziten Pfad enthält?
Das ist schon keine so einfache Frage.
> Ich sehe mir mit [mm]X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)[/mm]
> nun alle Scenarien [mm]\omega[/mm] an für die gilt, dass der Pfad [...]
> in [mm]A[/mm] liegt.
korrekt.
> Aber ist nun diese menge [mm]X|_{\Omega\times[0,t]}(\omega)[/mm] auch in [mm]F_{t}[/mm]?
Im Allgemeinen wohl nicht.
Hast du aber bspw. einen Prozess mit stetigen Pfaden, dann schon.
Gruß,
Gono
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