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| Aufgabe | Sei q eine Primzahl. Finde den Unterring U des Matrixringes [mm] K:=\IF_p^{q \times q} [/mm] mit den Eigenschaften
- U ist ein [mm] \IF_p [/mm] Vektorraum mit Dimension > 1
- die Eins (Identität) ist enthalten
- jede Matrix, die nicht ein Vielfaches der Eins ist, hat ein irreduzibles charakteristisches Polynom
Zeigen Sie auch, dass die Eigenschaften gelten! |
Guten Abend miteinander
Ich habe nicht wirklich Ideen, wie ich das angehen soll.
Ist jede Matrix mit einem irreduziblen Polynom als charakteristisches Polynom schon ein Generator von K ? Muss die Matrix, damit sie ein Generator ist, nicht ein primitives Polynom als char. Polynom haben, weil sonst nicht immer folgt, dass ihre Ordnung maximal ist?
Die Ordnung in [mm] \IF_p [/mm] ist [mm] \Phi(p), [/mm] wobei [mm] \Phi [/mm] die Euler-Phi Funktion ist. Es steht in der Aufgabe aber nirgends, dass auch p eine Primzahl ist? Dann wäre die Ordnung in [mm] \IF_p [/mm] p-1 .
Inwiefern spielt q eine Rolle? Nilpotente Matrizen hätten also Nilpotenzindex kleiner gleich q-1 ?
Ist die Ordnung [mm] $q^{2^p} [/mm] -1 $ ? Warum? Es ist doch ein [mm] \IF_p [/mm] Vektorraum?
Sorry, ich finde keinen sinnvollen Ansatz. p müsste doch eine Primzahl sein? Habt ihr vlt. Ideen?
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 18.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Di 19.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei q eine Primzahl. Finde den Unterring U des Matrixringes
> [mm]K:=\IF_p^{q \times q}[/mm] mit den Eigenschaften
>
> - U ist ein [mm]\IF_p[/mm] Vektorraum mit Dimension > 1
> - die Eins (Identität) ist enthalten
> - jede Matrix, die nicht ein Vielfaches der Eins ist, hat
> ein irreduzibles charakteristisches Polynom
>
> Zeigen Sie auch, dass die Eigenschaften gelten!
>
> Guten Abend miteinander
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> Ich habe nicht wirklich Ideen, wie ich das angehen soll.
>
> Ist jede Matrix mit einem irreduziblen Polynom als
> charakteristisches Polynom schon ein Generator von K ? Muss
> die Matrix, damit sie ein Generator ist, nicht ein
> primitives Polynom als char. Polynom haben, weil sonst
> nicht immer folgt, dass ihre Ordnung maximal ist?
Nein, es reicht aus, wenn es irreduzibel ist.
> Die Ordnung in [mm]\IF_p[/mm] ist [mm]\Phi(p),[/mm] wobei [mm]\Phi[/mm] die Euler-Phi
> Funktion ist. Es steht in der Aufgabe aber nirgends, dass
> auch p eine Primzahl ist? Dann wäre die Ordnung in [mm]\IF_p[/mm]
> p-1 .
Es reicht aus, dass $p$ eine Primzahlpotenz ist: dann gibt es einen endlichen Koerper der Ordnung $p$, naemlich [mm] $\IF_p$.
[/mm]
> Inwiefern spielt q eine Rolle?
Schau dir den Koerper [mm] $\IF_{p^q}$ [/mm] an. Diesen kannst du als Unterring von [mm] $\IF_p^{q \times q}$ [/mm] realisieren; der Unterring hat dann die Dimension $q$ ueber [mm] $\IF_p$. [/mm] Weiterhin ist das char. Polynom einer jeden solchen Matrix das char. Polynom des entsprechenden Elementes von [mm] $\IF_{p^q}$ [/mm] ueber [mm] $\IF_p$, [/mm] und somit nach dem Gradsatz entweder irreduzibel oder von der Form $(X - [mm] \lambda)^q$.
[/mm]
LG Felix
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