matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathematik-WettbewerbeFinde ganze Lösungspaare
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Finde ganze Lösungspaare
Finde ganze Lösungspaare < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Finde ganze Lösungspaare: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 23:31 Mo 23.08.2004
Autor: Stefan

Eine ähnliche Aufgabe, wie wir sie zuletzt schon mal gelöst hatten:

Finde alle ganzzahligen Lösungspaare von

[mm] $y^2 [/mm] + y = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x$.

Liebe Grüße
Stefan

        
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Di 24.08.2004
Autor: Karl_Pech

Hallo Stefan,


Ich habe jetzt ein wenig "geschummelt", und die "geballte" 300MHZ-Power meines PCs dazu benutzt 1000000 Möglichkeiten für x und y durchzuprobieren.


Hier das kurze Python-Programm für deine Aufgabe:


1: for x in range(1000):
2:   for y in range(1000):
3:     if (y*y+y) == (x**4 + x**3 + x*x + x):
4:       print x, ", ", y


Und hier die Ausgabe:

0 ,  0
2 ,  5

Wobei ich die erste Lösung auch vorher schon gewußt habe. ;-)


Da selbst bei einer solchen Anzahl an Versuchen nur zwei Lösungen rausgekommen sind, nehme ich an, daß es eher unwahrscheinlich, daß es noch weitere Lösungen gibt.



Viele Grüße
Karl



Bezug
                
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Di 24.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Karl!

Das sind die Lösungen in [mm] $\IN_0 \times \IN_0$. [/mm] Aber:

Vorsicht [tatue] [aufgemerkt] [tatue] :

$x$ und/oder $y$ können auch negativ sein.

Außerdem warte ich noch auf einen Beweis. Moment mal, ich rufe mal den Meister [lehrerin]:

[director] Hanno??!!

Antreten zum Beweis! ;-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:14 Di 24.08.2004
Autor: Hanno

Hi ;)
Zur Stelle!
Mal im Ernst: schön, dass du mich so hoch einschätzt, aber ich habe jetzt nach einer halben Stunde noch nicht wirklich einen Erfolg verbuchen können. Einige algebraische Umformungen, mehr nicht. Ich muss noch viel für die Schule machen, eventuell werde ich mich nachher nochmal damit beschäftigen :)

Danke aber für die Motivation, das ist wirklcih lieb - aber überschätz mich nicht ;) Die Meister sind immernoch du und Marc =o)

Gruß,
Hanno

Bezug
                                
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Di 24.08.2004
Autor: Marc

Hallo Hanno!

> überschätz mich nicht ;) Die Meister sind immernoch du und
> Marc =o)

Uuuuahh, [schleimer] ;-)
Und vor allem werde ich damit gar nicht von dir überschätzt...

Liebe Grüße,
Marc

Bezug
                                        
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Di 24.08.2004
Autor: Hanno

Ich finde das stimmt, das ist nur die Wahrheit :) Oder etwa bei den Olympi-Aufgaben nicht @ Marc?

Gruß,
Hanno

Bezug
                        
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:36 Di 24.08.2004
Autor: Karl_Pech

Hallo Stefan,


Hab' deine Antwort gerade erst gelesen. Einen Beweis habe ich im Moment nicht, und meine Antwort ist deshalb eigentlich keine Antwort sondern eine "schlichte" Mitteilung. ;-)


Aber hier ist eine etwas erweiterte Version des vorherigen Programms.


1: for x in range(-500, 500):
2:   for y in range(-500, 500):
3:     if y*y + y == x**4 + x**3 + x*x + x:
4:       print x, ", ", y


Und die Ausgabe:


[mm] $\begin{array}{rr}x&y\\ -1& -1\\ -1& 0\\ 0& -1\\ 0& 0\\ 2& -6\\ 2& 5\end{array}$ [/mm]



Grüße
Karl



Bezug
                                
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Di 24.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Karl!

Stimmt, das sind alle Lösungen. Gilt das bei euch Informatikern jetzt nicht als Beweis? ;-) (Kleiner Scherz, nicht ernst gemeint, ich habe Respekt vor den Informatikern.)

Jedenfalls weiß Hanno jetzt (Wo ist der denn schon wieder? Hausaufgaben machen, so was Überflüssiges... ;-)) wenigstens, was er beweisen soll. Und wie ich ihn kenne, kriegt er das auch noch hin. ;-)

Liebe Grüße
Stefan




Bezug
        
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Di 24.08.2004
Autor: AT-Colt

Hallo Leute,

ich hab mal ein bissl rumgeknobelt und die Gleichungen umgestellt, dabei bin ich auf eine (genauergesagt zwei) Funktion(en) gestoßen, mit der man zumindest die Werte überprüfen könnte, vielleicht fällt einem von euch damit ja was ein.

Die Idee dazu:
In die Umkehrfunktion von einer der Funktionen setzt man das Ergebnis der anderen für ganze Zahlen ein und schaut, ob wieder eine ganze Zahl rauskommt.

Ich habe also (weil es einfacher ist ^^; ) [mm] $y^2 [/mm] + y = x$ umgestellt, dabei kam raus:
[mm] $f_1(x) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + x}$ [/mm]
[mm] $f_2(x) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + x}$ [/mm]

Jetzt setze man für x jeweils die andere Funktion ein und erhalte:
$f(x) = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + x^4 + x^3 + x^2 + x}$ [/mm]

Für $x=2$ ergibt sich z.B. ausser dem bekannten Zahlenpaar $(2,5)$ auch $(2,-6)$

Daraus ergibt sich übrigens auch, dass [mm] $4*(x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x) + 1$ eine Quadratzahl sein muss, das könnte man also mit einem Quadratzahlgenerator verbinden...

greetz

AT-Colt

Bezug
                
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Di 24.08.2004
Autor: Stefan

Hallo AT-Colt!

> Daraus ergibt sich übrigens auch, dass [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
> eine Quadratzahl sein muss

That's it! Du bist auf einer ganz heißen Spur. [respekt2]

Und jetzt, Hanno, denk mal an unsere letzte Aufgabe. Wie hat SirJective die gelöst? So ähnlich geht es hier jetzt auch.

Zeigt einfach, dass  [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm] für gewisse $x$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahl liegt (und zwar echt dazwischen, also echt größer als die kleinere von beiden und echt kleiner als die größere von beiden).

Da [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm] ja eine Quadratzahl ist, kommen solche $x$, für die Da [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm] echt zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen liegt, natürlich nicht in Frage. Die verbleibendenden $x$'s ($4$ an der Zahl) kann man dann leicht überprüfen.

Liebe Grüße
Stefan



Bezug
                        
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Do 26.08.2004
Autor: KaiAhnung

Hallo.

> Zeigt einfach, dass  [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm] für
> gewisse [mm]x[/mm] zwischen zwei aufeinanderfolgenden
> Quadratzahlen liegt

Ich werde es einmal versuchen:
Meistens gilt
[mm](2x^2+x)^2 < 4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
und
[mm](2x^2+x+1)^2 > 4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
Es lässt sich nun zeigen für welche x eine der beiden Ungleichungen nicht zutrifft:
[mm](2x^2+x)^2 = 4x^4 + 4x^2 + 2x[/mm]
[mm]4x^4 + 4x^3 + x^2 < 4x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x + 1[/mm]
[mm]3x^2 + 4x + 1 > 0[/mm]
Für positive x (und x=0) gilt diese Ungleichung immer.
[mm]x = -n[/mm]
[mm]3n^2 - 4n +1 > 0[/mm]
[mm]n*(n-\bruch{4}{3}) + 1 > 0[/mm]
Für alle [mm]n > \bruch{4}{3}[/mm] (also für alle n>1) ist die Ungleichung gültig. Bleibt also nur n=1 und somit x=-1.
Nun muss man noch prüfen auf welche x die zweite Ungleichung nicht zutrifft:
[mm](2x^2+x+1)^2 > 4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
[mm]4x^4+4x^3+5x^2+2x+1 > 4x^4+4x^3+4x^2+4x+1[/mm]
[mm]x^2 > 2x[/mm] Dies gilt offensichtlich für alle negativen x ...
[mm]x*(x-2) > 0[/mm] ... und für alle x>2.
Somit bleiben alle x von 0 bis 2.

Die y lassen sich dann durch Einsetzen der x-Werte (von -1 bis 2) per pq-Formel errechnen.

Ich hoffe mal das stimmt :-)

MfG
Jan

Bezug
                                
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:56 Fr 27.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Jan!

Du hast sehr schöne Ideen :-), nur schade, dass du ab und an etwas unsauber wirst.


> > Zeigt einfach, dass  [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm] für
> > gewisse [mm]x[/mm] zwischen zwei aufeinanderfolgenden
> > Quadratzahlen liegt
>  
> Ich werde es einmal versuchen:
>  Meistens gilt
>  [mm](2x^2+x)^2 < 4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
>  und
>  [mm](2x^2+x+1)^2 > 4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
>  Es lässt sich
> nun zeigen für welche x eine der beiden Ungleichungen nicht
> zutrifft:
>  [mm](2x^2+x)^2 = 4x^4 + 4x^2 + 2x[/mm]
>  [mm]4x^4 + 4x^3 + x^2 < 4x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x + 1[/mm]
>  
> [mm]3x^2 + 4x + 1 > 0[/mm]
>  Für positive x (und x=0) gilt diese
> Ungleichung immer.

[ok]

>  [mm]x = -n[/mm]
>  [mm]3n^2 - 4n +1 > 0[/mm]
>  [mm]n*(n-\bruch{4}{3}) + 1 > 0[/mm]

Was machst du hier? Du musst doch jeden Summanden durch $3$ teilen?

> Für alle [mm]n > \bruch{4}{3}[/mm] (also für alle n>1)

Warum folgt eine Sache, die für alle $n> [mm] \bruch{4}{3}$ [/mm] gilt, insbesondere für $n>1$? Das macht keinen Sinn.

Die Aussage insgesamt stimmt zwar, aber du hast sie falsch begründet. Richtig lautet es so:

Die Ungleichung

[mm] $3x^2+4x+1 [/mm] = (3x+1)(x+1)>0$

gilt für $x<-1$ (denn dann ist $3x+1<-2<0$ und $x+1<0$) oder für $x>0$ (klar).


> Ungleichung gültig. Bleibt also nur n=1 und somit x=-1.
>  Nun muss man noch prüfen auf welche x die zweite
> Ungleichung nicht zutrifft:
>  [mm](2x^2+x+1)^2 > 4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
>  
> [mm]4x^4+4x^3+5x^2+2x+1 > 4x^4+4x^3+4x^2+4x+1[/mm]
>  [mm]x^2 > 2x[/mm] Dies
> gilt offensichtlich für alle negativen x ...

[ok]

>  [mm]x*(x-2) > 0[/mm] ... und für alle x>2.

[ok]

>  Somit bleiben alle x von 0 bis 2.

> Die y lassen sich dann durch Einsetzen der x-Werte (von -1
> bis 2) per pq-Formel errechnen.

Ja, das ist richtig. [daumenhoch]

Bis auf die Flüchtigkeitsfehler eine sehr gute Leistung!! [super]

Liebe Grüße
Stefan
  

Bezug
                                        
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Fr 27.08.2004
Autor: KaiAhnung

Hallo Stefan.

> >  [mm]x = -n[/mm]

>  >  [mm]3n^2 - 4n +1 > 0[/mm]
>  >  [mm]n*(n-\bruch{4}{3}) + 1 > 0[/mm]
>  
>
> Was machst du hier? Du musst doch jeden Summanden durch [mm]3[/mm]
> teilen?

Ja, das habe ich schlichtweg übersehen.

> > Für alle [mm]n > \bruch{4}{3}[/mm] (also für alle n>1)
>  
> Warum folgt eine Sache, die für alle [mm]n> \bruch{4}{3}[/mm] gilt,
> insbesondere für [mm]n>1[/mm]? Das macht keinen Sinn.

Das habe ich wohl etwas unglücklich formuliert. n soll ja eine positive ganze Zahl sein. Für alle [mm]n \ge 2[/mm] trifft die Ungleichung zu. Somit bleibt noch [mm]n=1[/mm] ([mm]x=-1[/mm]). Ist das so korrekt?

> Bis auf die Flüchtigkeitsfehler eine sehr gute Leistung!! [super]

Danke! :-)

MfG
Jan

Bezug
                                                
Bezug
Finde ganze Lösungspaare: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Fr 27.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Kai!

Also, schauen wir noch mal:

> [mm]n*(n-\bruch{4}{3}) + 1 > 0[/mm]
>  >  
> >
> > Was machst du hier? Du musst doch jeden Summanden durch [mm]3[/mm]
>
> > teilen?
>  
> Ja, das habe ich schlichtweg übersehen.

Okay, das dachte ich mir.

Wir haben also:

$n [mm] \cdot \left(n - \frac{4}{3} \right) [/mm] + [mm] \frac{1}{3} [/mm] > 0$

Die ist für $n=1$ noch nicht erfüllt, aber für alle $n >1$ und damit für alle natürlichen Zahlen $n [mm] \ge [/mm] 2$. Ich nehme mal an, das meintest du.

[sorry], wenn ich dich da falsch verstanden hatte.

So stimmt es jetzt jedenfalls.

> > Bis auf die Flüchtigkeitsfehler eine sehr gute Leistung!!
> [super]
>  
> Danke! :-)

Nichts zu danken. Du bist richtig fit und motiviert. Super! :-) Unser $U20$-Matheraum-Team wird immer stärker. ;-)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]