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Finden einer Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 So 13.08.2006
Autor: Elbi

Aufgabe
Es sei [mm]h: \IR \to \IR[/mm] stetig, [mm]h(x)>0 \forall x \in \IR[/mm]. und [mm] \integral_{0}^{ \infty}{ \bruch{dy}{h(y)}}[/mm] divergiere.
Zeigen Sie, dass für jedes AWP [mm]y_0 \in \IR[/mm] das Anfangswertproblem (AWP) [mm]y'=h(y) , y(0)=y_0[/mm] eine auf [mm][0, \infty)[/mm] erklärte Lsg. [mm]\phi[/mm] besitzt und dass diese Lsg unbeschränkt ist.

Hallo ihr's

ich mal wieder, und ich habe ihr bei der Aufgabe keinen Ansatz. Und auch keine Idee mit was ich da anfangen / drangehen könnte? Hat jemand vielleicht einen Ansatz oder tipp? Wäre echt klasse.
Vielen Dank im voraus

LG
Elbi

        
Bezug
Finden einer Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Mo 14.08.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo Elbi,

> Es sei [mm]h: \IR \to \IR[/mm] stetig, [mm]h(x)>0 \forall x \in \IR[/mm].
> und [mm]\integral_{0}^{ \infty}{ \bruch{dy}{h(y)}}[/mm] divergiere.
>  Zeigen Sie, dass für jedes AWP [mm]y_0 \in \IR[/mm] das
> Anfangswertproblem (AWP) [mm]y'=h(y) , y(0)=y_0[/mm] eine auf [mm][0, \infty)[/mm]
> erklärte Lsg. [mm]\phi[/mm] besitzt und dass diese Lsg unbeschränkt
> ist.


du kennst doch die methode der trennung der variablen, oder?

Die Dgl. $y'=h(y)$ ist eine Gleichung mit getrennten Variablen und insofern relativ leicht zu behandeln.

Die Lösung $y=y(x)$ der Dgl. ist durch folgende gleichung definiert

[mm] $\int_{y_0}^y \frac{dt}{h(t)}=\int_{x_0}^x dt=\int_{0}^x [/mm] dt=x$

Das erste Integral ist eine Funktion in $y$, man kann also schreiben:

$F(y)=x$ mit

[mm] $F(y)=\int_{y_0}^y \frac{dt}{h(t)}$ [/mm]

Wenn F (was ja bekanntlich die stammfunktion von 1/h ist) das Intervall [mm] $[y_0;\infty]$ [/mm] bijektiv auf [mm] $[0;\infty]$ [/mm] abbildet, bist du fertig, denn dann kannst Du mittels

[mm] $y=F^{-1}(x)$ [/mm]

die Lösung auf [mm] $[0;\infty]$ [/mm] definieren. du musst natürlich auch noch ein wenig argumentieren, dass F überhaupt wohldefiniert ist.
Da F kompakte mengen auf kompakte mengen abbildet, muss die lösung auch unbeschränkt sein (etwas abgekürzt, musst du dir selber klarmachen).

Gruß
Matthias





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