Fischauge - komplexe Funktion < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein sogenanntes Fischauge ist eine spezielle Linse in der Fotografie, die die Krümmung des Bildes zum Rand hin verstärkt. Durch eine Transformation der komplexen Ebene lässt sich der Effekt nachbilden: man betrachtet die Funktion
[mm] f:\IC\to\IC, f(z)=\bruch{z}{|z|+a}
[/mm]
für ein fixiertes a>0.
a) Veranschaulichen Sie diese Funktion anhand von Polarkoordinaten. Auf welche Teilmenge von [mm] \IC [/mm] wird die reelle Achse abgebildet? Zu welchen geometrischen Objekten werden kreise um den Ursprung transformiert?
b) Zeigen Sie, dass f in den Einheitskreis abbildet, d.h.
[mm] f(\IC)\subset{\IB}=\{z\in\IC| |z|<1\}.
[/mm]
Berechnen Sie dann die Umkehrfunktion
[mm] f^{-1}:\IB\to\IC.
[/mm]
Dabei darf angenommen werden, dass f überhaupt invertierbar ist. |
a)
Die komplexe zahl z ist nicht gegeben. Soll ich die polarkoordinaten ganz allgemein bestimmen?
[mm] f(z)=\bruch{z}{|z|+a}=\bruch{x+iy}{\wurzel{x^2+y^2}+a}=r*e^{i\varphi}
[/mm]
mit [mm] r=\wurzel{(\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}+a})^2+(\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}+a})^2}
[/mm]
Kann man das vereinfachen?
Die Phase [mm] \varphi [/mm] kann ich ja eigentlich nicht bestimmen, weil je nachdem ob [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] positiv oder negativ sind, gibt es ja fallunterscheidungen. und wie bestimme ich nun die Phase?
Ich habe irgendwie das gefühl ich habe die aufgabe nicht ganz verstanden. Ich soll die Polarkoordinaten von f(z) bestimmen richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Fr 01.04.2016 | | Autor: | Fulla |
> a)
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> Die komplexe zahl z ist nicht gegeben. Soll ich die
> polarkoordinaten ganz allgemein bestimmen?
>
> [mm]f(z)=\bruch{z}{|z|+a}=\bruch{x+iy}{\wurzel{x^2+y^2}+a}=r*e^{i\varphi}[/mm]
>
> mit
> [mm]r=\wurzel{(\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}+a})^2+(\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}+a})^2}[/mm]
>
> Kann man das vereinfachen?
>
> Die Phase [mm]\varphi[/mm] kann ich ja eigentlich nicht bestimmen,
> weil je nachdem ob [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] positiv oder negativ sind, gibt
> es ja fallunterscheidungen. und wie bestimme ich nun die
> Phase?
>
> Ich habe irgendwie das gefühl ich habe die aufgabe nicht
> ganz verstanden. Ich soll die Polarkoordinaten von f(z)
> bestimmen richtig?
Hallo Rebellismus,
ich denke, bei a) sollst du [mm]z=r\cdot e^{i\varphi}[/mm] in die Funktion einsetzen und anhand des Ergebnisses die weiteren Fragen beantworten.
Was gilt für [mm]r[/mm] und [mm]\varphi[/mm], wenn [mm]z[/mm] auf der reellen Achse liegt? Was passiert mit diesen Zahlen, wenn sie von [mm]f[/mm] abgebildet werden?
Analog für Zahlen auf einem Kreis um den Ursprung.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
[mm] z=r*e^{i\varphi}
[/mm]
[mm] |z|=|r*e^{i\varphi}|=|r|*|e^{i\varphi}|
[/mm]
|r|=r
was gilt für [mm] |e^{i\varphi}| [/mm] ?
Was passiert mit dem i im exponenten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Fr 01.04.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo,
Huhu,
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> [mm]z=r*e^{i\varphi}[/mm]
>
> [mm]|z|=|r*e^{i\varphi}|=|r|*|e^{i\varphi}|[/mm]
>
> |r|=r
Ja
>
> was gilt für [mm]|e^{i\varphi}|[/mm] ?
Das ist eigentlich eine Identitaet, die man kennen sollte, aber wenn nicht, dann nutze man
[mm] $e^{i\varphi}=\cos(i\varphi)+i\sin(i\varphi)$
[/mm]
und berechne ganz normal den Betrag dieser komplexen Zahl :)
>
> Was passiert mit dem i im exponenten?
>
Gruss,
Chris
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Hallo,
[mm] f(z)=\bruch{z}{|z|+a}=\bruch{r*e^{i\varphi}}{|r*e^{i\varphi}|+a}=\bruch{r*e^{i\varphi}}{r*\wurzel{cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)}+a}=\bruch{r*e^{i\varphi}}{r+a}
[/mm]
Kann man das weiter vereinfachen?
Ich verstehe die folgende Frage "Auf welche Teilmenge von $ [mm] \IC [/mm] $ wird die reelle Achse abgebildet?" nicht. Was ist damit gemeint?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Sa 02.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> [mm]f(z)=\bruch{z}{|z|+a}=\bruch{r*e^{i\varphi}}{|r*e^{i\varphi}|+a}=\bruch{r*e^{i\varphi}}{r*\wurzel{cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)}+a}=\bruch{r*e^{i\varphi}}{r+a}[/mm]
>
> Kann man das weiter vereinfachen?
für die weiteren Fragen in der Aufgabe würde ich real- und imaginäre bestimmen.
>
> Ich verstehe die folgende Frage "Auf welche Teilmenge von
> [mm]\IC[/mm] wird die reelle Achse abgebildet?" nicht. Was ist damit
> gemeint?
>
>
du sollst die Menge [mm] f(\IR) [/mm] bestimmen.
fred
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Hallo,
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> du sollst die Menge [mm]f(\IR)[/mm] bestimmen.
>
bin mir sicher ob ich das verstehe. meinst du so?
[mm] f(\IR)=\bruch{r*e^{i*0}}{r+a}=\bruch{r}{r+a}
[/mm]
und
[mm] f(\IR)=\bruch{r*e^{i*\pi}}{r+a}
[/mm]
ich habe für die Phase [mm] \varphi [/mm] den winkel 0 und [mm] \pi [/mm] eingesetzt, weil der Definitionsbereich nur dann reell ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 So 03.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja die Abbildung sieht so aus, für die positive x- Achse wenn du r>=0 annimmst sonst musst du r im Zähler auch negativ zulassen dann imNenner |r| schreiben.
Welcher Teil der komplexen ebene ist es jetzt?
anders als fred würde ich dir raten alles in der Polarform zu überlegen, wie sehen all z mit festen Radius R um 0 aus?
Gruß ledum
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Hallo,
> ja die Abbildung sieht so aus, für die positive x- Achse
> wenn du r>=0 annimmst sonst musst du r im Zähler auch
> negativ zulassen dann imNenner |r| schreiben.
r ist doch immer positiv? r ist der betrag der komplexen zahl z
> Welcher Teil der komplexen ebene ist es jetzt?
Ich verstehe diese frage nicht. Was meinst du mit "es" ? und zu welcher aufgabe gehört diese frage?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 So 03.04.2016 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo
r ist immer positiv aber r=e^{i\pi) =-r
die fUnktion f((R) aber dass hat ja L.G: schonbeantwortet, jetzt musst du nur noch das Bild von Kreisen um 0 finden. schreib einen mit Radius R beliebig hin und finde sein Bild.
Gruß leduart
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Hallo,
> Was gilt für [mm]r[/mm] und [mm]\varphi[/mm], wenn [mm]z[/mm] auf der reellen Achse
> liegt?
Für Phase gilt dann [mm] \varphi=0 [/mm] oder [mm] \varphi=\pi
[/mm]
und für den betrag r der komplexen zahl z=x+iy gilt dann: r=|x|
> Was passiert mit diesen Zahlen, wenn sie von [mm]f[/mm]
> abgebildet werden?
die frage verstehe ich nicht
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In der Aufgabe ist verlangt, mit Polarkoordinaten zu arbeiten. Nun gut, dann muß es wohl so sein.
Ich selbst finde aber, daß man ohne sie ebenso gut oder besser zurechtkommt.
Nehmen wir ein [mm]t \in \mathbb{R}[/mm] und wenden wir [mm]f[/mm] darauf an:
[mm]f(t) = \frac{t}{|t| + a} \, , \ t \in \mathbb{R}[/mm]
Offenbar gilt [mm]f(-t) = -f(t)[/mm], der Graph von [mm]f[/mm] ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. Es genügt daher, [mm]t \geq 0[/mm] zu betrachten. Für solche [mm]t[/mm] gilt:
[mm]f(t) = \frac{t}{|t| + a} = \frac{t}{t+a} = \frac{(t+a)-a}{t+a} = 1 - \frac{a}{t+a}[/mm]
Es ist [mm]f(0)=0[/mm]. Wenn nun [mm]t \in [0,\infty)[/mm] wächst, dann wächst im letzten Term der Nenner, womit der Bruch selbst kleiner wird, es wird somit von 1 immer weniger abgezogen. Lange Rede, kurzer Sinn: [mm]f(t)[/mm] ist streng monoton wachsend. Ferner liest man ab: [mm]f(t) \to 1[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm]. Und das zeigt, daß das Intervall [mm][0,\infty)[/mm] auf das Intervall [mm][0,1)[/mm] abgebildet wird. Wegen der Punktsymmetrie folgt: [mm]f(\mathbb{R}) = (-1,1)[/mm]. Und das war zu zeigen. Wir haben sogar etwas mehr gezeigt: [mm]f(t)[/mm] ist dabei streng monoton wachsend.
Und jetzt nehmen wir einen Kreis [mm]k[/mm] um den Ursprung, sagen wir [mm]|z| = R[/mm]. Für solche [mm]z[/mm] gilt:
[mm]w = f(z) = \frac{z}{|z| + a} = \frac{z}{R+a}[/mm]
Und hier gehen wir zum Betrag über:
[mm]|w| = |f(z)| = \left| \frac{z}{R+a} \right| = \frac{\left| z \right|}{\left| R+a \right|} = \frac{R}{R+a}[/mm]
Also liegt [mm]w[/mm] auf einem Kreis [mm]k'[/mm] vom Radius [mm]R' = \frac{R}{R+a}[/mm]. Daß auch jeder Kreispunkt von [mm]k'[/mm] erreicht wird, zeigt man am besten, wenn man sich zuvor die Umkehrabbildung aus Teil b) beschafft hat. Tip: In [mm]w = \frac{z}{|z| + a}[/mm] zum Betrag übergehen und die Gleichung nach [mm]|z|[/mm] auflösen. Dies verwendend dann in die Gleichung einsetzen und diese nach [mm]z[/mm] auflösen.
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